函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用- 利潤(rùn)最值問(wèn)題（訓(xùn)練）（解析版）-中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專題匯總

利潤(rùn)最值問(wèn)題（專題訓(xùn)練）

1.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件

按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件.假定每月的銷售件數(shù)了是銷售價(jià)格x（單位：元）

的一次函數(shù).

（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn).

【答案】（l）y=-30x+960（10<x<32）

（2）價(jià)格為21元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3630元

【分析】（1）設(shè)了=履+。（左W0）,把x=20,了=360和x=30,了=60代入求出hb的值,

從而得出答案；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)x每月銷售量列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求解可得答案.

⑴解：設(shè)了=Ax+b（左/0）,把x=20,y=360和x=30,y=60代入可得

「20上+6=360%=一30

13。左+6=60'解得5=960'

貝lJy=-30x+960（10V_rV32）；

（2）解：每月獲得利潤(rùn)P=（-30%+960）（x-10）

=30（-x+32）（x-10）

=30（*+42x-320）

=-30（尤-21『+3630.

V-30<0,

.,.當(dāng)x=21時(shí)，P有最大值，最大值為3630.

答：當(dāng)價(jià)格為21元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3630元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意

找到其中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此得出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，然后再利用二次函數(shù)

求最值.

2.某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出

300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售

單價(jià)提高X元.

（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問(wèn)T

恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利

潤(rùn)是多少元？

【答案】（1）2元；（2）當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元

【分析】

（1）根據(jù)題意，通過(guò)列一元二次方程并求解，即可得到答案；

（2）設(shè)利潤(rùn)為“元，結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算得利潤(rùn)最大值對(duì)應(yīng)的X的值，

從而得到答案.

【詳解】

（1）由題意列方程得：（x+40-30）（300-10%）=3360

解得：無(wú)1=2,?=18

:要盡可能減少庫(kù)存，

，X2=18不合題意，故舍去

恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；

（2）設(shè)利潤(rùn)為新元，由題意可得：

M=（x+40-30）（300-1Ox）=-10x2+200x+3000=-10（x-10）2+4000

.".當(dāng)x=10時(shí),M最大值=4000元

，銷售單價(jià)：40+10=50元

當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函

數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

3.某企業(yè)投入60萬(wàn)元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)

量等于銷售量）.經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量?（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足

函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=24—x,第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件.

(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)卬(萬(wàn)元)與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，第二年將它全部作為技改資金再次投入(只計(jì)入第二年成

本)后，其他成本下降2元/件.①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；②若第二年售價(jià)不高于第一年,

銷售量不超過(guò)13萬(wàn)件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元？

【答案】⑴.=-f+32;>(：-252

⑵①第一年的售價(jià)為每件16元，②第二年的最低利潤(rùn)為61萬(wàn)元.

【分析】(1)由總利潤(rùn)等于每件產(chǎn)品的利潤(rùn)乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，從而可得答

案；

(2)①把校=4代入(1)的函數(shù)解析式，再解方程即可，②由總利潤(rùn)等于每件產(chǎn)品的利潤(rùn)

乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，列函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤(rùn)范圍即

可得到答案.

(1)解：由題意得：

w=(x-8)y-60

=(x-8)(24_x)~60

=~x2+32x_252,

⑵①由(1)得：當(dāng)w=4時(shí)，

貝I]-X?+32x-252=4,即X2-32x+256=0,

解得：x{=x2=16,

即第一年的售價(jià)為每件16元，

②；第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過(guò)13萬(wàn)件，

、ix￡16

\匕一。，解得：11叔16,

???其他成本下降2元/件，

w=(x-6)(24-X)-4=-X2+30X-148,

30…

對(duì)稱軸為尤—_2，(_1)_"，a=-l<0,

當(dāng)x=15時(shí)，利潤(rùn)最高，為77萬(wàn)元，而1116,

當(dāng)x=ll時(shí)，w=5,13-4=61（萬(wàn)元）

當(dāng)x=16時(shí)，w=10,8-4=76（萬(wàn)元）

\6177,

所以第二年的最低利潤(rùn)為61萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式,

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.

4.某水果店將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果.經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降

價(jià)的百分率相同.

（1）求該水果每次降價(jià)的百分率；

（2）從第二次降價(jià)的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷量及儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用的相關(guān)信

息如下表所示：

時(shí)間（天）X

銷量（斤）120-x

儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用（元）3x2-64x+400

已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤(rùn)為y（元），求y與x（l<x

<10）之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）10%；（2）y=-3x2+60x+80,第9天時(shí)銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是377兀

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得相應(yīng)的百分率；

（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以求得y與x（l<x<10）之間的函數(shù)解析式，然后利用

二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少.

【詳解】

解：（1）設(shè)該水果每次降價(jià)的百分率為X,

10（1-x）2=8.1,

解得，xi=0.1,X2=1.9（舍去），

答：該水果每次降價(jià)的百分率是10%；

（2）由題意可得，

y=(8.1-4.1)x(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,

Vl<x<10,

...當(dāng)x=9時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=377,

由上可得，y與x(Yx<10)之間的函數(shù)解析式是y=-3X2+60X+80,第9天時(shí)銷售利潤(rùn)最

大，最大利潤(rùn)是377元.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)和方程的知識(shí)解答.

5.國(guó)慶節(jié)前，某超市為了滿足人們的購(gòu)物需求，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售.經(jīng)了解,

甲種水果和乙種水果的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如下表所示：

水果單價(jià)甲乙

進(jìn)價(jià)(元/千克)Xx+4

售價(jià)(元/千克)2025

已知用1200元購(gòu)進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量相同.

(1)求x的值；

(2)若超市購(gòu)進(jìn)這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍,

則超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

【答案】(1)16；(2)購(gòu)進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤(rùn)425

元

【分析】

(1)根據(jù)用1200元購(gòu)進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量相同列出分式方

程，解之即可；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果根千克，則乙種水果100-機(jī)千克，利潤(rùn)為y,列出y關(guān)于加的表達(dá)式,

根據(jù)甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)

求出最大值.

【詳解】

解：(1)由題意可知：

12001500

xx+4'

解得：x=16,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=16是原方程的解；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果心千克，則乙種水果100-機(jī)千克，利潤(rùn)為

由題意可知：

y=(20-16)m+(25-16-4)(100-m)=-m+500,

..?甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，

m>3(100-m),

解得：m>15,即75sM<100,

在廣加+500中，-l<0,則y隨冽的增大而減小，

當(dāng)加=75時(shí)，y最大，且為-75+500=425元，

???購(gòu)進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤(rùn)425元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)表達(dá)

式.

6.某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如下表.已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80

元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1千克.

營(yíng)養(yǎng)品信息表

營(yíng)養(yǎng)成份每千克含鐵42毫克

原料每千克含鐵

配料表甲食材50毫克

乙食材10毫克

規(guī)格每包食材含量每包單價(jià)

N包裝1千克45元

5包裝0.25千克12元

(1)問(wèn)甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)該公司每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完.

①問(wèn)每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？

②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出.若4的數(shù)量不低于8的數(shù)

量，則/為多少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少元？

【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元；（2）①每日購(gòu)進(jìn)甲食材400

千克，乙食材100千克：②當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大.最大總利潤(rùn)為2800元

【分析】

（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為。元，根據(jù)用80元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1

千克列分式方程即可求解；

（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材丁千克.根據(jù)每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食

材并恰好全部用完，利用進(jìn)貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求

解；

②設(shè)A為機(jī)包，根據(jù)題意，可以得到每日所獲總利潤(rùn)與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)/的數(shù)量

不低于3的數(shù)量，可以得到加的取值范圍，從而可以求得總利潤(rùn)的最大值.

【詳解】

解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為。元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為2a元，

on20

由題意得--------=1,解得a=20.

2aa

經(jīng)檢驗(yàn)，a=20是所列方程的根，且符合題意.

2a=40（元）.

答：甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元.

（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材〉千克.

40x+20j=18000x=400

由題意得《uc1n\>解得<

50x+10j=42（x+y）j=100

答：每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克.

500—vyj

②設(shè)A為加包，則3為-025=（2000—4加）包.

記總利潤(rùn)為獷元，則

沙=45加+12（2000-4^）-18000-2000=-3m+4000.

???A的數(shù)量不低于8的數(shù)量，

m>2000-4m，m>400.

???左二—3<0,，少隨加的增大而減小。

，當(dāng)加=400時(shí)，少的最大值為2800元.

答：當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大.最大總利潤(rùn)為2800元.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題時(shí)要明確題意、

弄清表格數(shù)據(jù)的意義及各種量之間關(guān)系，利用方程的求未知量和一次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意

分式方程要檢驗(yàn).

7.某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售

出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克.

(1)當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？

(2)當(dāng)月利潤(rùn)為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？

(3)當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？

【分析】

(1)由月銷售量=500-(銷售單價(jià)-50)xio,可求解；

(2)設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，由利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)又銷售的數(shù)量，可列方程，即可求解;

(3)設(shè)每千克水果售價(jià)為N元，獲得的月利潤(rùn)為y元，由利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)x銷售的數(shù)

量，可得夕與x的關(guān)系式，有二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【解析】

(1)當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果=500-10x(55-50)=450千克；

(2)設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，

由題意可得：8750=(x-40)[500-10(%-50)],

解得:xi=65,忿=75,

答：每千克水果售價(jià)為65元或75元；

(3)設(shè)每千克水果售價(jià)為加元，獲得的月利潤(rùn)為y元，

由題意可得：y=(m-40)[500-10Cm-50)]=-10(m-70)2+9000,

當(dāng)心=70時(shí)，＞有最大值為9000元，

答：當(dāng)每千克水果售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大值為9000元.

8.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每周的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)

之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y=fcc+6,且當(dāng)售價(jià)定為50元/件時(shí)，每周銷售30件，當(dāng)

售價(jià)定為70元/件時(shí)，每周銷售10件.

(1)求左，b的值；

（2）求銷售該商品每周的利潤(rùn)卬（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式，并求出銷

售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn).

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）由銷售該商品每周的利潤(rùn)卬=銷售單價(jià)x銷售量，可求函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)

可求解.

【解析】

（1）由題意可得：雷=鑿"，

（10=70k+b

.（k-1

=80）

答：k=-1,6=80；

（2）Vw=（x-40）y=（x-40）（-x+80）=-（x-60）2+400,

.?.當(dāng)x=60時(shí)，w有最大值為400元，

答：銷售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn)為400元.

9.在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A,5兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原

料的單價(jià)是8原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)A原料會(huì)比用900元收購(gòu)8原料少

100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和2原料4kg,每盒還需其他成本9元.市場(chǎng)調(diào)

查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10

盒.

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費(fèi)+其他成本）；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是x元（x是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析

式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；

（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)。元（。是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最

大利潤(rùn).

【答案】（1）每盒產(chǎn)品的成本為30元.（2）w=-10x2+1400%-33000；（3）當(dāng)a?70

時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為16000元；當(dāng)60＜。＜70時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為

（-10/+14004-33000）元.

【分析】

（1）設(shè)8原料單價(jià)為加元，則A原料單價(jià)為1.5加元.然后再根據(jù)“用900元收購(gòu)A原料會(huì)

比用900元收購(gòu)8原料少100kg”列分式方程求解即可;

（2）直接根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x銷售數(shù)量”列出解析式即可;

（3）先確定叩=-10/+1400》-33000的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)求最值即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)B原料單價(jià)為/"元，則A原料單價(jià)為1.5冽元.

依題意，得理—以上=100.

m1.5m

解得，m=3,1.5m=4.5.

經(jīng)檢驗(yàn)，加=3是原方程的根.

，每盒產(chǎn)品的成本為：4.5x2+4x3+9=30（元）.

答：每盒產(chǎn)品的成本為30元.

(2)w=(x-30)[500-10(x-60)]

=-10x2+1400%-33000：

（3）??,拋物線.=—10%2+i400x—33000的對(duì)稱軸為w=70,開(kāi)口向下

，當(dāng)aN70時(shí),a=70時(shí)有最大利潤(rùn),此時(shí)w=16000,即每天的最大利潤(rùn)為16000元；

當(dāng)60<a<70時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為（-10/+1400a-33000）元.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意、列出分式方程

和函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵.

10.某工廠計(jì)劃在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件.

（1）如圖，設(shè)第X（0<x<20）個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備售價(jià)Z萬(wàn)元/件，Z與X之間的關(guān)系用圖中的

函數(shù)圖象表示.求z關(guān)于x的函數(shù)解析式（寫(xiě)出x的范圍）.

（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設(shè)備為y件,y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=5x+40（0〈爛20）.在

（1）的條件下，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大為多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)=收入-

成本）

【分析】

(1)分別得出當(dāng)0〈爛12時(shí)和當(dāng)12〈爛20時(shí)，Z關(guān)于X的函數(shù)解析式即可得出答案；

(2)設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，①當(dāng)0〈爛12時(shí)，可得出卬關(guān)于x的一

次函數(shù),根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值；②當(dāng)12〈爛20時(shí)，可得出w關(guān)于x的二

次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值.?、佗谥休^大的最大值即可.

【解析】

(1)由圖可知，當(dāng)0＜爛12時(shí)，z=16,

當(dāng)12＜爛20時(shí)，z是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)2=履+6,

則產(chǎn)+—6,

[20k+b=14,

解得：4

b=19,

1

，z=一產(chǎn)+19,

16,(0<%<12)

；.Z關(guān)于X的函數(shù)解析式為2=1

Z=一如+19,(12<x<20)

(2)設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元,

①當(dāng)。〈爛12時(shí)，w=(16-10)x(5x+40)=30x+240,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=12時(shí)，w最大值=30x12+240=600(萬(wàn)元);

②當(dāng)12〈爛20時(shí),

-1

廣(一尹19-1。)(5x+40)

=—42+35%+360

4

=--(x-14)2+605,

4

???當(dāng)％=14時(shí)，w最大值=605(萬(wàn)元).

綜上所述，工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大，最大是605萬(wàn)元.

11.甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費(fèi)

每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850

元.

說(shuō)明：①汽車數(shù)量為整藜；

②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；

③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn).

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是元；當(dāng)每個(gè)公司租出的

汽車為輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；

(2)求兩公司月利潤(rùn)差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出。元(?！?)給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公

司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的

月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求。的取值范圍.

【答案】(1)48000,37；(2)33150元；(3)50<a<150

【分析】

(1)用甲公司未租出的汽車數(shù)量算出每輛車的租金，再乘以10,減去維護(hù)費(fèi)用可得甲公司

的月利潤(rùn)；設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，根據(jù)月利潤(rùn)相等得到方程，解之即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y甲，y乙，月利潤(rùn)差為》同(1)可得y,和y4的表達(dá)式，

再分甲公司的利潤(rùn)大于乙公司和甲公司的利潤(rùn)小于乙公司兩種情況，列出y關(guān)于x的表達(dá)式，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x(chóng)的范圍求出最值，再比較即可；

(3)根據(jù)題意得到利潤(rùn)差為了=-50/+(1800-a八+1850,得到對(duì)稱軸，再根據(jù)兩公司租

出的汽車均為17輛，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)可得關(guān)于。的不等式16.5〈端發(fā)<17.5,即可求出。

的范圍.

【詳解】

解：(1)[(50-10)x50+3000]x10-200x10=48000元，

當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元;

設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，

由題意可得：[（50-X）X50+3000]X-200X=3500X-1850,

解得：x=37或x=-l（舍），

..?當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等;

（2）設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為y申，y乙，月利潤(rùn)差為y,

則yv=[（50-X）X50+3000]x-200x,

y乙=3500x-1850,

當(dāng)甲公司的利潤(rùn)大于乙公司時(shí)，0<x<37,

v.y乙=[（50-x）x50+3000]x-200x-（3500x-1850）

=-50x2+1800%+1850，

當(dāng)產(chǎn)一粵4=18時(shí)，利潤(rùn)差最大，且為18050元；

-50x2

當(dāng)乙公司的利潤(rùn)大于甲公司時(shí)，37c爛50,

y=y乙-y,=3500x-1850-[（50-x）x50+3000]x+200x

=50/-1800x-1850，

???對(duì)稱軸為直線x=-三怨=18,

50x2

當(dāng)產(chǎn)50時(shí)，利潤(rùn)差最大，且為33150元；

綜上：兩公司月利潤(rùn)差的最大值為33150元；

（3）?.?捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn),

貝IJ利潤(rùn)差為了=-50f+1800x+1850-ar=-50x2+（1800-a）x+1850,

對(duì)稱軸為直線卡愣之，

只能取整數(shù)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，月利潤(rùn)之差最大,

解得：50<a<150.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題時(shí)要讀懂題意，列出二次函

數(shù)關(guān)系式，尤其（3）中要根據(jù)x為整數(shù)得到。的不等式.

12.黔東南州某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件甲商品和2件乙商品，需60元；購(gòu)

進(jìn)2件甲商品和3件乙商品，需65兀.

(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？

(2)設(shè)甲商品的銷售單價(jià)為x(單位：元/件)，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)11SE19時(shí)，甲商品

的日銷售量y(單位：件)與銷售單價(jià)x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)

關(guān)系如表：

銷售單價(jià)X(元/件)1119

日銷售量V(件)182

請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)UWXW19時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在(2)的條件下，設(shè)甲商品的日銷售利潤(rùn)為卬元，當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)x(元/件)

定為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】

(1)設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是0、6元/件，由題意得關(guān)于a、b的二元一次方程

組，求解即可.

(2)設(shè)夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=Aix+bi,用待定系數(shù)法求解即可.

(3)根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后寫(xiě)成頂點(diǎn)式，按照二次函

數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解析】

(1)設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是6元/件，由題意得：

(3a+2b=60

(2a+3b=65'

解得:

二甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是10、15元/件.

(2)設(shè)夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=hx+6i,將(11,18),(19,2)代入得：

(11^1+瓦=18.,作1=-2

119kl+比=2，斛倚：1瓦=40，

；.了與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+40(ll<x<19).

(3)由題意得：

w=(-2x+40)(x-10)

-2x2+6Qx-400

=-2（x-15）2+50（ll<x<19）.

...當(dāng)x=15時(shí)，卬取得最大值50.

，當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)定為15元/件時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是50元.

13.超市購(gòu)進(jìn)某種蘋(píng)果，如果進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元；如果進(jìn)價(jià)減少2元/千克，同樣

數(shù)量的蘋(píng)果只用200元.

（1）求蘋(píng)果的進(jìn)價(jià).

（2）如果購(gòu)進(jìn)這種蘋(píng)果不超過(guò)100千克，就按原價(jià)購(gòu)進(jìn)；如果購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果超過(guò)100千克，超

過(guò)部分購(gòu)進(jìn)價(jià)格減少2元/千克.寫(xiě)出購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果的支出y（元）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（千克）之間的

函數(shù)關(guān)系式.

（3）超市一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量不超過(guò)300千克，且購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果當(dāng)天全部銷售完.據(jù)統(tǒng)計(jì)，銷售

單價(jià)z（元/千克）與一天銷售數(shù)量x（千克）的關(guān)系為2=-二一x+12.在（2）的條件下，

100

要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)?（元）最大，求一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量.（利潤(rùn)=銷售收入-購(gòu)進(jìn)支出）

【答案】

（1）蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為10元/千克；

fl0x（x<100）

（2）>；

[8x+200（x>100）

（3）要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w最大，一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量為200千克.

【分析】

（1）設(shè)蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；

（2）分兩種情況：當(dāng)爛100時(shí)，當(dāng)x>100時(shí)，分別列出函數(shù)解析式，即可；

（3）分兩種情況：若爛100時(shí)，若x>100時(shí)，分別求出w關(guān)于尤的函數(shù)解析式，根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

解：（1）設(shè)蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，

由題意得：網(wǎng)_=222_,解得：產(chǎn)io,

x+2x-2

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=10是方程的解，且符合題意，

答：蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為10元/千克；

（2）當(dāng)爛100時(shí)，_y=10x,

當(dāng)x>100時(shí)，尸10x100+（10-2）x（x-100）=8x+200,

10x(x<100)

y=s

l8x+200(x>100)

(3)若x<100時(shí)，w=zx-y=f-------x+12|x—1Ox=-------x2

一-I100J100100

.,.當(dāng)x=100時(shí)，w**=100,

若x>100時(shí)，

1,

w==zx-y=f-------x+12jx—8x+200=-------x~+4x+200=-—(x-200)+600

■{100J100

當(dāng)x=2Q0時(shí),w最大=600,

綜上所述：當(dāng)x=200時(shí)，超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w最大，

答：要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)卬最大，一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量為200千克.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式

和分式方程，是解題的關(guān)鍵.

14.某商家銷售一款商品，進(jìn)價(jià)每件80元，售價(jià)每件145元，每天銷售40件，每銷售一件

需支付給商場(chǎng)管理費(fèi)5元，未來(lái)一個(gè)月（按30天計(jì)算），這款商品將開(kāi)展“每天降價(jià)1元”

的促銷活動(dòng)，即從第一天開(kāi)始每天的單價(jià)均比前一天降低1元，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品

單價(jià)每降1元，每天銷售量增加2件，設(shè)第x天（1VXV30且x為整數(shù)）的銷售量為y件.

（1）直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)第x天的利潤(rùn)為w元，試求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天的利潤(rùn)最大？

最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】⑴y=2x+40；（2）第20天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3200元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)銷量=原價(jià)的銷量+增加的銷量即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)每天售出的件數(shù)x每件盈利=利潤(rùn)即可得到的W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)

論.

【詳解】

（1）由題意可知y=2x+40；

（2）根據(jù)題意可得:w=（145-x-80-5）（2x+40）,

=-2x2+80x+2400，

=-2（X-20）2+3200,

?/a=-2<0.

函數(shù)有最大值，

???當(dāng)x=20時(shí)，w有最大值為3200元，

第20天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3200元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找準(zhǔn)等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出函數(shù)關(guān)

系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.某工藝品廠設(shè)計(jì)了一款每件成本為11元的工藝品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得

出每天銷售量y（件）是每件售價(jià)x（元）（x為正整數(shù)）的一次函數(shù)，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下

表所示：

每件售價(jià)X（元）15161718

每天銷售量y（件）150140130120

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）若用w（元）表示工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)，試求0關(guān)于x的函數(shù)解析

式；

（3）該工藝品每件售價(jià)為多少元時(shí)，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利

潤(rùn)是多少元？

【答案】（1）y=-10x+300；（2）w=-10x2+410x-3300；（3）售價(jià)為20元或21元，利潤(rùn)最大,

為900元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求解；

（2）利用利潤(rùn)=銷售量x（售價(jià)-成本）即可表示出w；

（3）根據(jù)（2）中解析式求出當(dāng)x為何值，二次函數(shù)取最大值即可.

【詳解】

解：（1）y=kx+b,

由表可知：當(dāng)x=15時(shí)，y=150,當(dāng)x=16時(shí)，y=140,

150=15k+b左=—10

則《,解得:

140=16k+66=300

二〉關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=-10x+300；

（2）由題意可得：

w=（-Wx+300）（x-11）=-10x2+410x-3300,

'.w關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w=-10x2+41Ox-3300；

410

⑶???3^f205

當(dāng)x=20或21時(shí)，代入，

可得：w=900,

該工藝品每件售價(jià)為20元或21元時(shí)，工藝品廠試銷該工藝品每天獲得的利潤(rùn)最大，最大

利潤(rùn)是900兀.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求一次函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題中所含的數(shù)量關(guān)

系，正確列出相應(yīng)表達(dá)式.

16.某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量?（件）

與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價(jià)、日銷售量的三組對(duì)應(yīng)數(shù)值如下表：

銷售單價(jià)X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）直接寫(xiě)出夕與x的關(guān)系式；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤(rùn)；

（3）銷售一段時(shí)間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價(jià)部門規(guī)定該

商品銷售單價(jià)不能超過(guò)。元，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系

不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，求。的值.

【答案】（1）y=-x+120；（2）當(dāng)銷售單價(jià)是75元時(shí)，最大日利潤(rùn)是2025元；（3）70

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù)，可以直接寫(xiě)出其關(guān)系式；

(2)根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以件數(shù)，再利用配方法求得其最值;

(3)根據(jù)題意，列出關(guān)系式，再分類討論求最值，比較得到結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)解析式為＞=區(qū)+6,

「40左+6=80[k=-l

將(40,80)和(60,60)代入，可得「八，,‘八，解得＜…，

60左+6=60[Z?=120

所以y與x的關(guān)系式為V=-x+120,

所以答案為y=-X+120；

(2)w=(x-30)j

=(x-30)(-x+120)

=—x"+15Ox—3600

=-(x-75)2+2025

x—300,—x+1200

30x120

a=-1＜0,

...拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值

...當(dāng)x=75時(shí)，w最大=2025

答：當(dāng)銷售單價(jià)是75元時(shí)，最大日利潤(rùn)是2025元.

(3)w=(x-30-10)(-x+120)

=-x2+160%-4800

=—(x—80)2+1600

當(dāng)w最大=1500時(shí)，—(x—80)2+1600=1500

解得X1=70,%=90

v40xa,.,.有兩種情況

①a<80時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，卬隨x的增大而增大，

，當(dāng)x=a=70時(shí)，w最大=1500

②a80時(shí)，在40xa范圍內(nèi)w最大=1600w1500,

這種情況不成立，，。二？。.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)應(yīng)用題,

在解題的過(guò)程中，注意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題目.

17.小紅經(jīng)營(yíng)的網(wǎng)店以銷售文具為主，其中一款筆記本進(jìn)價(jià)為每本10元，該網(wǎng)店在試銷售期

間發(fā)現(xiàn)，每周銷售數(shù)量J（本）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，三對(duì)對(duì)應(yīng)值如

下表：

銷售單價(jià)X（元）121416

每周的銷售量V（本）500400300

（1）求〉與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）通過(guò)與其他網(wǎng)店對(duì)比，小紅將這款筆記本的單價(jià)定為x元（12x15,且x為整數(shù)）,

設(shè)每周銷售該款筆記本所獲利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)每周所獲利潤(rùn)最大，最

大利潤(rùn)是多少元？

【答案】（1）j=-50x+1100；（2）銷售單價(jià)為15元時(shí)，每周所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)

是1750元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

（2）根據(jù)每周銷售利潤(rùn)=每本筆記本的利潤(rùn)x每周銷售數(shù)量可得w與x的二次函數(shù)關(guān)系式，

再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）設(shè)歹與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=+

把x=12,y=500和x=14,y=400代入，得

122+6=500,億=—50

[14k+6=400,解得：%=1100‘

y=-50x+1100；

（2）根據(jù)題意，得w=（x-10）》

=（x-10）（-50x+1100）

=-50x2+1600%-11000

=-50（16）2+1800；

?/a=-50<0?

有最大值，且當(dāng)x<16時(shí)，w隨x的增大而增大，

V12x15,x為整數(shù)，

.”=15時(shí)，w有最大值，且卬最大=-50（15-16『+1800=1750（元）.

答：銷售單價(jià)為15元時(shí)，每周所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1750元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

18.某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量〉（件）與每件的售價(jià)X（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如

下表：

售價(jià)X（元/件）606570

銷售量y（件）140013001200

（1）求出〉與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量x的取值范圍）

（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給

這種襯衫定價(jià)？

（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,設(shè)這種襯衫每月的總利

潤(rùn)為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【答案】(1)＞與X之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-20X+2600；(2)這種襯衫定價(jià)為每件70

元；(3)價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x

之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)根據(jù)“總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)x銷售量，，列出方程并求解，最后根據(jù)盡量給客戶實(shí)惠，

對(duì)方程的解進(jìn)行取舍即可；

(3)求出w的函數(shù)解析式，將其化為頂點(diǎn)式，然后求出定價(jià)的取值，即可得到售價(jià)為多少

萬(wàn)元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少.

【詳解】

解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b(k^O),

把x=60,y=1400和x=65,y=1300代入解析式得，

W+6=1400

165左+6=1300'

優(yōu)=—20

解得,1,“八八,

歷=2600

，》與x之間的函數(shù)表達(dá)式為J=-20x+2600；

(2)設(shè)該種襯衫售價(jià)為x元，根據(jù)題意得，

(x-50)(-20x4-2600)=24000

解得，再=70,x2=110,

V批發(fā)商