2024年全國研究生考試數(shù)學(xué)試卷及參考答案（三）

2024考研數(shù)學(xué)(三)

試卷及解析

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)函數(shù)/(x)=lim—、，則/(X)

“f8i+nxn

A.在x=l,x=-l處都連續(xù).

B.在x=l處連續(xù)，在x=-l處不連續(xù).

C.在x=l,x=-l處都不連續(xù).

D.在x=l處不連續(xù)，在x=-l處連續(xù).

1.【答案】D

【解析】當(dāng)卜<1時(shí)Jim)=1+「

當(dāng)忖〉1時(shí),limJ」：=0,

2

當(dāng)x=1時(shí),lim-----二0,

"一句+n

當(dāng)x=-1時(shí),lim—二0,

/、1+x,-1<x<1,

故/(%)=(甘/L故在X=—l時(shí)，連續(xù)；X=1時(shí)不連續(xù)?選口?

')[o,其他.

(?a+k7r..

2.設(shè)/=(卜in小x,左為整數(shù)，則/的值

A.只與。有關(guān)

B.只與左有關(guān)

C.與a,左均有關(guān)

D.與a,左均無關(guān)

2.【答案】B

pa+kn

【解析】/=f|sinx|dx

=(|sinx|dr=sinxdx=2k.

選B.

3.設(shè)/(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則口改「f(x,y)dy=

J—Jsinx

pl「arcsiny

A.-f(x,y)dx.

26

B.fidyf2,f(x,y)dx.

J—Jarcsmy

rlrarcsin,

CJo2d班f(x,y)dx.

1兀

D.￡24yf2.f(x,y)dx.

JOJarcsmy

3.【答案】A

r—(?1plrarcsiny

【解析】"時(shí)

/(x,j)dj==f.d4nf(x,y)dx.

J—Jsin%J—J—

626

選A.

0000

4.幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)為ln(2+x),則=

M=0"=0

4.【答案】A

【解析】ln(2+x)=ta1+—j+ln2=ln2+

2)

00

Zna2n=0+/+2a4+3%+4%H—

n=0

1

——+???

26.6

11

23=_8=_J_X4=_1

43836

4

5.設(shè)二次型/(x15x2,x3)-x^Ax在正交變換下可化成才-2月+3只,則二次型f的

矩陣N的行列式與跡分別為

A.-6,-25.6,-2C.-6,2￡).6,2

5.【答案】C

【解析】/(七,苫2，W)=爐":正交變換下化為％!—2只+3*=4的特征值為1,—2,3

n|N|=L(—2>3=—6,tr(N)=l+(—2)+3=2.

"100、+2c0c、

6.設(shè)N為3階矩陣，P=010，若Plp2=0b0,則力=

J0b、2c0c.

700、q00、

A.0a0B.0c0

0b)0

。a00、'c00、

C.0b0D.0b0

0、°0aJ

6.【答案】C

'a+2c0c](\00、

【解析】PyAP2=0b0=B,<P=010=%(l)

c01J

、2c0)I1

故N=(戶廠5儼廠=(晶⑴]B[琮(I)]-1

=[司⑴15閔⑴蜀⑴=蜀對(duì)(-1)

<10，a+2c0c、p00、p00、

—0i00b0010010

2c

N01,、0%、T0L、T0b

<000、p00、p00、'a00、

—0b0010010—0Z)0

J。0、T0、T0b(00%

7+1b3、

aj1,朋；表示N的行/列元素的余子式，若|N|=-g.且

7.設(shè)矩陣N

112

\7

--^^21+^^22—^^23=0.貝U

A..CI—0^4^——

2

、3

B.a=0或a=—

2

C.b=\^b=--

2

D.b=-l^b=-

2

7.【答案】B

hh

1——20——10

Q+1b322

b2

【解析】同=a1=a1—a)1

222

112112112

nab-2a---------bl二一

22

=

3^.0——l\d2]+22—23^21+/22+/23

a+1b3a+1b3

Q+1b

=111111=。+1—b=0,

11

112001

nb=a+l代入(1)中，得(+1)-2jLo

22

=>。=0或。=—=>Z?=1或一.

22

6x(1-x)0<x<1,

8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=則X的三階中心矩

0,其他，

E[X-EX^=

11

A.——B.0D.

32162

8.【答案】B

【解析】￡￥=^6x2(l-x)dx=6-Q-^J=6x^-=

2

=—x)[x—g]dr2&=0.

9.隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立，且X?N(0,2),y?N(—l,l),設(shè)

Pl=P{2X>Y},p2=P{X-2Y>l},則

1C1

A4.P\>P2>-B,P2>A>-

r1

<22<5Da<A<-

9.【答案】B

【解析】￡(2X-y)=2EX-"=0+1=1,D(2X-Y)=4DX+DY=4x2+1=9,

所以2X—丫?N(l,9)；

E(X-2Y)=EX-2EY=0+2=2,D(X-2Y)=DX+4DY=2+4=6,

所以X—2V?N(2,6)；

2X-K-10-1

J"〉

所以P2〉Pi〉g,故選B.

10.設(shè)隨機(jī)變量x,y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，令z=|x-",則下列隨機(jī)

變量中與Z同分布的是

X+Y

A.X+Y

C.2XD.X

10.【答案】D

【解析】x與y的聯(lián)合概率密度為/(x,y-)=fx(x)-/r(j)='

、0,其他

設(shè)Z的分布函數(shù)為Fz(z),則%(z)=P{Z?z}=P^X-Y\<z]

①當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0；

②當(dāng)zNO時(shí)，F(xiàn)z(z)=P[-z<X-Y<z}=2P{0<X-Y<z}

二2/加力?『加又口.

=2[加-2勿dy-2e-AZ\加-2辦dy

所以Z?E(l),從而Z與X服從相同的分布，選D.

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.

(l+r)smr,

11.當(dāng)x-0時(shí)，fX[——J—山與/是同階無窮小，貝!|左=_________.

J01+cost

11.【答案】3

【解析】當(dāng)Xf0時(shí),

222

(l+x)sinxx

1+cos2x2

戶(1+廠)sm廠,

則］——'――At-Ax3.從而k=3.

J01+cost

4-005

12.dx=

2x4+3x2-4

1兀

12.【答案】-ln3--

28

f+ooS

「+co5

［解析］f/_*dr

42=J

J2X+3X-42x2-l］X2+4

?4-001

—；-----------dr

2

2X+4

11

—~dx

x-1x+1X2+4

+00

+oo(2、

=fnx-11

—arctan

x+12、）

222

10-ln|71

2428

13.函數(shù)/(x,y)=2x3-9x2-6y4+12x+24y的極值點(diǎn)是.

13.【答案】（1,1）

fJ=6x2-18x+12=0,

【解析】4

/；=-24/+24=0,

解得(1,1),(2,1).A=f；=l2x-18,B=f；=0,C=f；=-72y2,

代入(1,1)得/C—^2=432〉0,Z=-6，故(1,1)是極大值點(diǎn)，=23.

代入(2,1)得/C—^2=—432<0,不是極值.

25—0.250,0<20,

14.某產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)是P*'（）為單價(jià)，單位：萬元；。為產(chǎn)量,

35-0.75。，Q>20

單位：件），總成本函數(shù)為。=150+5。+0.25。2（萬元），則經(jīng)營該產(chǎn)品可獲得的最大

利潤為（萬元）.

14.【答案】50

(25-0.2502-(150+50+0.2502^Q<20,

【解析】L=PQ-C=\

(35-0.750)0-(150+50+0.2502),°〉20.

-0.5(0_20『+50,0420,

整理得:

-(。-15>+75。20.

所以。=20時(shí)，￡=50為最大利潤.

15.設(shè)N為3階矩陣，N*為的N伴隨矩陣，E為3階單位矩陣，若

r（2E—4）=1/（E+/）=2,則J/*卜__________.

15.【答案】16

【解析】r（2E—N）=l<3,r（E+/）=2<3nN有特征值2,—1.

又3—r（2E—N）=2n%=2有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量n2=2至少有兩重根.

3—r（E+N）=ln%=—1有1個(gè)線性無關(guān)特征向量nX=-1至少有一重根.

又N為3階nN的特征值為2,2,-1,故

=2-2?（—1）=—4,9]="尸=|/『=16.

16.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)每次成功的概率為p,現(xiàn)進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在至少成功1次的條件下,

4

3次試驗(yàn)全部成功的概率為一,則p=.

16.【答案】p=-

【解析】A：全成功，B：至少成功一次.

P(AB)_P⑷_23_

尸(2忸)=

P(B)—P(B)一]_(1-夕)3-13

13P3=4-4(1-夕J

2

整理得?(30—2)(3夕+6)=0np=§.

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)平面有界區(qū)域。位于第一象限由曲線◎=；，◎=3與直線y=：x,y=3x圍成，計(jì)

算JJ(l+x-y)dxdy.

17.【解】令"=切，v=—,

lax

力

2)\-1

z-辦

2?

電

/

故原式=Jpi3dz/]pi31+

33<

18.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程z+e'-yln(l+z2)=0確定,

嗤7,代x=°n寡

18.【解】將j；=0代入得z=—e",=—1.

(0,0)

將x=0代入得z+l=yln(l+z2),得絲=山(1+z?)+且"”.

\'如''1+z2dy

代x=0,歹=0,z=—1得—=ln2.

如(0.0)

又

Jzdz'

d2z2zdz2zdz、J+z2-

----7--------9---------1---------9---------2V

dy2l+z~dy\+z~dySy

代》=0,y=0,z=-1,—=ln2得

勿

d2z\

--=-21n2.

如l(o,o)

故原式為—1—21n2.

19.設(shè)/〉0,平面有界區(qū)域。由曲線〉=xe“”與直線x=/,x=2/及x軸圍成，。的面積

為S。)，求S。)的最大值.

19.mS(t)=^xe-2xdx,則S'⑺=4/eT'Te-"=/e』(4—e2'),

令41'—J'=0n/=ln2.

當(dāng)0<ln2時(shí),S'(f)〉0;當(dāng)f〉ln2時(shí),S'(7)<0.故/=ln2時(shí)，S?)取最大值，有

ln4

S(ln2)=「：2也=-Axe-2'+1e-2xLc3

二——ln2+—.

ln21664

20.設(shè)函數(shù)/(x)具有2階導(dǎo)數(shù)，且/'(0)=/'⑴證明:

⑴當(dāng)xe(O,l)時(shí)，|/(X)—/()()小T二

⑵//("/(OH/⑴J

JoJ212

20.證明：(1)

/(X)=/(0)+八0)x+2①

/(x)=/(l)+/，(l)(x-l)+乙畀(x—1)2②

①.(1-X)+②,X

^/(x)=/(0)(l-x)+/(l)x+/W(l-x)+/，(l)(x-l>+^^x2(l-x)+^^(x-l)2x

|/W-/(O)(l-x)-/⑴X區(qū);f(1—x)+gx(l—x)=1x(l-x)(x+l-x)=|x(l-x).

I2v

⑵"0)(1-x)-/⑴xM='/(x)dx-/(O).^--/(I).1

fV(x)dx-〃0)+/(l)

wU2I-

P-10-1、<1012'，1、

21.設(shè)矩陣/=1103,B=1—1aa—1,向量a二2,P—0

k2126；(2-32-27

(1)證明：方程組工'=。的解均為方程組屏=尸的解;

(2)若方程組4?=。與方程組Ar=￡不同解，求。的值.

21.證明：(1)

Ax=a(A,a)二0

、一1，

Bx=R=(BQ二0

、一

又

q-10-10、-10-10、

i103202042

"Aa、2126303283

T

、B1012101131

1-1aa—1000aa0

2-32-2-1J、0-120-1J

,1-10-10、"1-10-10、

0102101021

0022000110

ff,故

0011000000

00aa000000

、00220,00000,

7a,

r(A,a)=r=3.

、B

即(4a)=0的解是(54)=0的解.

1)、—1,

即Nx=a的解是=/的解

(2)Ax=a與方程組麻=￡不同解，即4?=。與5k="不等價(jià)

又Nx=a的解是的解，故麻=/的解不是Nx=a的解.

7a、

即《8,2）用二3,故

、B

"i0121、0121、

1-1ad—\00-1a—1Q—3-1

2-32-2-1、0-30-6-3

(10121\0121、

T01021T01021

、011-a3-a17、001-a07

故1一。=0即。=1.

22.X服從［0冽上的均勻分布，ee（0,+oo）為未知參數(shù),乂,入2,…Xn為總體X的簡單

隨機(jī)樣本，記為X（“）=max｛乜,加，?一,匕｝/=%.）.

（1）求c使得E（4）=e；

(2)記〃（C）=￡（4—6）2,求C使得/（c）最小.

22.【解】⑴￡［7.）］=cEX（”）c￡m