2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步章末檢測含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE10立體幾何初步(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥α，則PA與對角線BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交但不垂直C．相交垂直 D．異面垂直解析：選D∵PC⊥平面α，BD?平面α，∴PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴BD⊥PA.明顯PA與BD異面，故PA與BD異面垂直．2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點Q是棱DD1上的動點，則過A，Q，B1三點的截面圖形是()A．等邊三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．以上都有可能解析：選D當點Q與點D1重合時，截面圖形為等邊三角形AB1D1，如圖①；當點Q與點D重合時，截面圖形為矩形AB1C1D，如圖②；當點Q不與點D，D1重合時，令Q，R分別為DD1，C1D1的中點，則截面圖形為等腰梯形AQRB1，如圖③.3．已知直線PG⊥平面α于點G，直線EF?α，且PF⊥EF于點F，那么線段PE，PF，PG的長度的大小關(guān)系是()A．PE>PG>PF B．PG>PF>PEC．PE>PF>PG D．PF>PE>PG解析：選CRt△PFE中，PE>PF，Rt△PGF中，PF>PG，所以PE>PF>PG.4．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿意l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：選D由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿意l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.5．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，VA1-BCD＝()A．60 B．30C．20 D．10解析：選DVA1-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10.6．底面半徑為eq\r(3)，母線長為2的圓錐的外接球O的表面積為()A．6π B．12πC．8π D．16π解析：選D由題意，圓錐軸截面的頂角為120°，設(shè)該圓錐的底面圓心為O′，球O的半徑為R，則O′O＝R－1，由勾股定理可知R2＝(R－1)2＋(eq\r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面積為4πR2＝16π.故選D.7．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時二面角B-AD-C的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小為60°.故選C.8.過空間幾何體上的某兩點的直線，假如把該幾何體繞此直線旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<360°)，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一平面內(nèi)．則這個八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有()A．7條 B．9條C．13條 D．14條解析：選C由對稱性結(jié)合題意可知，過EF，AC，BD的直線為旋轉(zhuǎn)軸，共3條，此時旋轉(zhuǎn)角α最小為90°；過正方形ABCD，AECF，BEDF對邊中點的直線為旋轉(zhuǎn)軸，共6條，此時旋轉(zhuǎn)角α最小為180°；過八面體相對面中心的直線為旋轉(zhuǎn)軸，共4條，此時旋轉(zhuǎn)角α最小為120°.綜上，這個八面體的旋轉(zhuǎn)軸共有13條．故選C.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)9．a(chǎn)，b為不重合直線，β為平面，下列結(jié)論正確的是()A．若a⊥β，b⊥β，則a∥bB．若a∥β，b∥β，則a∥bC．若a∥β，b⊥β，則a⊥bD．若a∥β，b?β，則a∥b解析：選AC若a⊥β，b⊥β，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得a∥b，故A正確；若a∥β，b∥β，則a∥b或a與b相交或a與b異面，故B錯誤；若b⊥β，則b垂直于β內(nèi)的全部直線，b也垂直于平行于β的全部直線，又a∥β，可得a⊥b，故C正確；若a∥β，b?β，則a∥b或a與b異面，故D錯誤．故選A、C.10.如圖，在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，則下列結(jié)論中正確的是()A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直線PD與直線MN所成角的大小為90°解析：選ABC連接AC(圖略)，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，故A正確；同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，故B正確；由于四棱錐的棱長均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以O(shè)M⊥PA，故C正確；由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，所以MN∥AB.又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，所以直線PD與直線MN所成的角即為直線PD與直線CD所成的角，即∠PDC.又△PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，故D錯誤．11.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則下列四個結(jié)論正確的是()A．直線A1C1與AD1為異面直線B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥ACD．三棱錐D1-ADC的體積為eq\f(8,3)解析：選ABC對于A，直線A1C1?平面A1B1C1D1，AD1?平面ADD1A1，D1?直線A1C1，則易得直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確；對于B，因為A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正確；對于C，連接BD(圖略)，因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正確；對于D，三棱錐D1-ADC的體積V三棱錐D1-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，故D錯誤．故選A、B、C.12.如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的是()A．存在某個位置，使得CN⊥AB1B．翻折過程中，NC的長是定值C．若AB＝BM，則AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，當三棱錐B1-AMD的體積最大時，三棱錐B1-AMD的外接球的表面積是4π解析：選BD對于A，如圖①，取AD中點E，連接EC交MD于F，連接NE，NF，則NE∥AB1，NF∥MB1，假如CN⊥AB1，∵∠AB1M＝∠ABM＝90°，∴可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，∴CN⊥AB1不行能，故A錯誤；對于B，如圖①，易得∠NEC＝∠MAB1(定值)，NE＝eq\f(1,2)AB1(定值)，EC＝AM(定值)，在△NEC中，由余弦定理可得NC2＝NE2＋EC2－2NE·ECcos∠NEC，∴NC的長是定值，故B正確；對于C，如圖②，取AM中點O，連接B1O，DO，假設(shè)AM⊥B1D成立，由AB＝BM知B1D⊥AM，易得AM⊥平面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD＝MD，由題意不成立，故C錯誤；對于D，當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1-AMD的體積最大，易得AD的中點就是三棱錐B1-AMD外接球的球心，球半徑為1，表面積是4π，故D正確．故選B、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．將一個半徑為2的半圓面圍成一個圓錐，所得圓錐的軸截面面積等于________．解析：易知所得圓錐的母線長為2，底面周長為2π，故底面半徑為1，所以該圓錐的軸截面是一個邊長為2的正三角形，其面積為eq\r(3).答案：eq\r(3)14．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC與MN所成角的大小為________．解析：如圖，連接A1C1，BC1，A1B.∵M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，∴MN∥BC1.又A1C1∥AC，∴∠A1C1B為異面直線AC與MN所成的角或其補角．∵△A1BC1為正三角形，∴∠A1C1B＝60°.答案：60°15.如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為驕傲的發(fā)覺．我們來重溫這個宏大發(fā)覺，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表面積與球的表面積之比為________．解析：由題意，圓柱底面半徑r＝球的半徑R，圓柱的高h＝2R，則V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴eq\f(V柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.∴eq\f(S柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)eq\f(3,2)16．已知三棱錐P-ABC的體積為8eq\r(3)，且AB＝6，AC＝BC＝AP＝BP＝5，則CP的長為________．解析：如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，易知AB⊥CD，AB⊥PD，又PD∩CD＝D且PD，CD?平面PCD，所以AB⊥平面PDC.因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，那么P點到CD的距離即P點到平面ABC的距離．依題意可得CD＝eq\r(BC2－BD2)＝4，PD＝eq\r(PB2－BD2)＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝12，所以V三棱錐P-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PDsin∠PDC＝8eq\r(3)，解得sin∠PDC＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠PDC＝±eq\f(1,2)，在△PDC中，由余弦定理可得cos∠PDC＝eq\f(16＋16－CP2,2×4×4)，解得CP＝4或CP＝4eq\r(3).答案：4或4eq\r(3)四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明：如圖，設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ綉A1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)1C1，∴EQ綉B(tài)1C1，∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E綉C1Q.又∵Q，F(xiàn)是DD1，C1C兩邊的中點，∴QD綉C1F.∴四邊形QDFC1是平行四邊形．∴C1Q綉DF，∴B1E綉DF.∴四邊形B1EDF是平行四邊形．18．(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．(1)求證：AE⊥BE；(2)求三棱錐D-AEC的體積．解：(1)證明：由題意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ACE，∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，又∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE.(2)在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H(圖略)．∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABE，又∵平面ACD∩平面ABE＝AB，EH?平面ABE，∴EH⊥平面ACD.由已知及(1)得EH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，S△ADC＝2eq\r(2).故VD-AEC＝VE-ADC＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(4,3).19．(本小題滿分12分)如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.(1)求證：AE∥平面BCD；(2)求證：平面BDE⊥平面CDE.證明：(1)如圖，取BC的中點M，連接DM，AM.因為BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又DM?平面BCD，AE?平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM.因為△ABC為正三角形，所以AM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD?平面BCD，所以DE⊥CD.因為BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因為CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.20．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F(xiàn)分別為棱PB，PA的中點．(1)求證：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若AD＝2，直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：∵△PAD為正三角形，F(xiàn)為棱PA的中點，∴PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF＝D，∴PA⊥平面EFDC，又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面EFDC.(2)∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD為直線PC與平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝AD＝2.又AB＝2CD，∴AB＝4，∴S直角梯形ABCD＝eq\f(1,2)×AD×(CD＋AB)＝eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6.又AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.過P作PO⊥AD，垂足為O(圖略)，則PO⊥平面ABCD.∵△PAD為正三角形，∴PO＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×PO×S直角梯形ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×6＝2eq\r(3).21．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大?。猓?1)證明：如圖所示，連接BD.∵四邊形ABCD是菱形且∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形．∵E是CD的中點，∴BE⊥CD.∵AB∥CD，∴BE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，∴BE⊥平面PAB.又∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴PB⊥BE.又∵AB⊥BE，∴∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝eq\f(PA,AB)＝eq\r(3)，∴∠PBA＝60°，故二面角A-BE-P的大小是60°.22．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq\