廣西專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)綜合測試卷含解析新人教A版理

PAGEPAGE14綜合測試卷(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z滿意z(1+i)=1-2i,則z對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:∵z(1+i)=1-2i,∴z=1-2i1+i∴z=-12+32i,故z對應(yīng)的點(diǎn)位于其次2.若集合A={x|log12(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},則A∩B=(A.0,12 B.-12,答案:A解析:∵A={x|log12(2x+1)>-1}=B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=x0<x3.(2024全國Ⅲ,理3)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且∑i=14pi=A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案:B解析:四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)據(jù)都具有對稱性,平均數(shù)均為2.5,其中B選項(xiàng)的數(shù)據(jù)中,極端值最多,數(shù)據(jù)波動程度最大,故選B.4.依據(jù)下面的程序框圖,當(dāng)輸入x為2017時(shí),輸出的y=()A.2 B.4 C.10 D.28答案:B解析:由程序框圖可知,每運(yùn)行一次,x的值削減2,當(dāng)程序框圖運(yùn)行了1009次后,x=-1,此時(shí)終止循環(huán),由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故輸出y的值為4,故選B.5.為了探討某班學(xué)生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回來直線方程為y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,∑iA.160厘米 B.163厘米 C.166厘米 D.170厘米答案:C解析:由已知得x=110∑i=110xi=22.5,y=110·∑i=110yi=160,又b^=4,所以a^=y-b^x=1606.若將函數(shù)fx=34sinx-14cosx的圖象向右平移m(0<m<π)個(gè)單位長度,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則A.5π6 B.π6 C.2答案:A解析:f(x)=34sinx-14cosx=12sinx-π6,圖象向右平移m(0<m<π)個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=12sinx-π6-m的圖象,由于得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故是奇函數(shù),所以-π67.已知ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),a∈R,則“P(ξ>a)=0.5”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式ax+1x23的綻開A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分又不必要條件 D.充要條件答案:A解析:由P(ξ>a)=0.5,知a=1.因?yàn)槎?xiàng)式ax+1x23綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C3r(ax)3-r1x2r=C3ra3-rx3-3r,令3-3r=0,得r=1,所以其常數(shù)項(xiàng)為C31a2=3a2=3,解得a=±1,所以“P(ξ>a)=8.古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形如圖所示.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3答案:A解析:設(shè)AB=b,AC=a,BC=c,則a2+b2=c2.所以以BC為直徑的圓面積為πc22,以AB為直徑的圓面積為πb22,以AC為直徑的圓面積為πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa29.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.若a=3,S為△ABC的面積,則S+3cosBcosC的最大值為()A.3 B.2 C.2 D.3答案:A解析:由cosA=b2+c2-a22bc=-3故S=12bcsinA=12·asinBsinA·因此S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),于是當(dāng)B=C時(shí),S+3cosBcosC取得最大值3.10.直線y=kx+1與曲線f(x)=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則2a+b的值等于()A.2 B.-1 C.1 D.-2答案:C解析:依題意知,f'(x)=3x2+a,則13+a+b=311.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(-2)=1,則f(x-2)≤1的x的取值范圍是()A.[0,4] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[-2,2]答案:A解析:∵偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(-2)=1,∴不等式f(x-2)≤1等價(jià)于f(|x-2|)≤f(-2)=f(2),即|x-2|≤2.∴0≤x≤4,∴f(x-2)≤1的x的取值范圍是[0,4].故選A.12.設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn)A.2 B.3 C.2 D.5答案:A解析:如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A∴|OA|=c2.∴Pc2,又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,∴c24+c24=a∴e2=c2a2=2,∴e=二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1,x≥2,log2x,答案:2解析:當(dāng)m≥2時(shí),m2-1=3,∴m2=4,∴m=±2.∵m≥2,∴m=2.當(dāng)0<m<2時(shí),log2m=3,∴m=23=8.∵0<m<2,∴m∈?.綜上所述,m=2.14.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=答案:8解析:由題意知直線MN的方程為y=23(x+得y=2不妨設(shè)M(1,2),N(4,4).∵拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),∴FM=(0,2),FN=(3,4).∴FM·FN=0×3+2×4=15.由一個(gè)長方體和兩個(gè)14圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為.答案:2+π解析:由三視圖還原幾何體,如圖所示,故該幾何體的體積V=2×1×1+2×14π×12×1=2+π16.設(shè)C滿意約束條件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x答案:25解析:依據(jù)約束條件繪制可行域,如圖所示.將z=ax+by轉(zhuǎn)化為y=-abx+z∵a>0,b>0,∴直線y=-abx+zb的斜率為負(fù),最大截距對應(yīng)最大的易知點(diǎn)A為最大值點(diǎn).聯(lián)立方程組3解得x=4,y=6∵目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值為12,∴12=4a+6b,即2a+3∴2a+3b當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab即a=b=65時(shí)取等號三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(12分)若數(shù)列{an}滿意:a1=23,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2(1)證明:數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列;(2)求使1a1+1a2+答案:(1)證明由3(an+1-2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=23即(an+1-an)-(an-an-1)=23又a2-a1=43,故數(shù)列{an+1-an}是以43為首項(xiàng),2(2)解由(1)知an+1-an=43+23(n-1)=于是累加求和得an=a1+23(2+3+…+n)=13n(故1an=3因此1a1+1a2+1a3+故最小的正整數(shù)n為6.18.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是菱形,PO⊥底面ABCD,O,E分別是AD,AB的中點(diǎn),AB=6,AP=5,∠BAD=60°.(1)求證:AC⊥PE.(2)求直線PB與平面POE所成角的正弦值.(3)在DC邊上是否存在點(diǎn)F,使BF與PA所成角的余弦值為3310?若存在,確定點(diǎn)F答案:(1)證明連接BD,則由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知OE∥BD,故OE⊥AC.因?yàn)镻O⊥底面ABCD,AC?底面ABCD,所以AC⊥OP.因?yàn)镺P∩OE=O,所以AC⊥平面POE.因?yàn)镻E?平面POE,所以AC⊥PE.(2)解連接OB,由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示.則P(0,0,4),B(0,33,0),O(0,0,0),E32所以O(shè)P=(0,0,4),OE=設(shè)平面POE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m據(jù)此可得平面POE的一個(gè)法向量為m=(3,-1,0).而PB=(0,33,-4),設(shè)直線PB與平面POE所成角為θ,則sinθ=|PB(3)解存在滿意題意的點(diǎn)F,理由如下:由題意可得D(-3,0,0),C(-6,33,0),A(3,0,0),假設(shè)滿意題意的點(diǎn)F存在,設(shè)F(x,y,z),DF=λDC(0<λ<1),據(jù)此可得(x+3,y,z)=λ(-3,33,0),即x從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(-3λ-3,33λ,0),據(jù)此可得BF=(-3λ-3,33λ-33,0),PA=(3,0,-4),結(jié)合題意有|BF·PA||故點(diǎn)F為CD中點(diǎn)時(shí)滿意題意.19.(12分)為推動實(shí)施健康中國戰(zhàn)略,樹立國家大衛(wèi)生、大健康概念,手機(jī)APP也推出了多款健康運(yùn)動軟件,如“微信運(yùn)動”.楊老師的微信摯友圈內(nèi)有600名好友參加了“微信運(yùn)動”,他隨機(jī)選取了40名微信好友(女20人,男20人),統(tǒng)計(jì)其在某一天的走路步數(shù).其中,女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步數(shù)狀況可分為五個(gè)類別:A(0~2000步)(說明:“0~2000”表示大于等于0,小于等于2000.下同),B(2001~5000步),C(5001~8000步),D(8001~10000步),E(10001步及以上),且B,D,E三種類別人數(shù)比例為1∶3∶4,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成條形圖如圖所示.若某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“衛(wèi)健型”,否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.(1)若以楊老師選取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來估計(jì)全部微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請估計(jì)楊老師的微信摯友圈內(nèi)參加“微信運(yùn)動”的600名好友中,每天走路步數(shù)在5001~10000步的人數(shù);(2)請依據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此推斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān)?性別類型總計(jì)衛(wèi)健型進(jìn)步型男20女20總計(jì)40(3)若按系統(tǒng)認(rèn)定類型從選取的樣本數(shù)據(jù)中在男性好友中按比例選取10人,從中隨意選取3人,記選到“衛(wèi)健型”的人數(shù)為x;女性好友中按比例選取5人,從中隨意選取2人,記選到“衛(wèi)健型”的人數(shù)為y,求事務(wù)“|x-y|>1”的概率.附:K2=n(adP(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解:(1)在樣本數(shù)據(jù)中,男性好友B類別設(shè)為x人,則由題意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B類別有2人,D類別有6人,E類別有8人,走路步數(shù)在5001~10000步的包括C,D兩類別共計(jì)9人;女性好友走路步數(shù)在5001~10000步共有16人.用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)楊老師的微信摯友圈內(nèi)參加“微信運(yùn)動”的600名好友中,每天走路步數(shù)在5001~10000步的人數(shù)為600×9+1640=375(2)2×2列聯(lián)表如下:性別類型總計(jì)衛(wèi)健型進(jìn)步型男14620女81220總計(jì)221840K2的觀測值k=40×(14×12-6×故沒有95%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān).(3)在男性好友中“衛(wèi)健型”與“進(jìn)步型”的人數(shù)比例為7∶3,則選取10人,恰好選取“衛(wèi)健型”7人,“進(jìn)步型”3人;在女性好友中“衛(wèi)健型”與“進(jìn)步型”的人數(shù)比例為2∶3,選取5人,恰好選取“衛(wèi)健型”2人,“進(jìn)步型”3人.“|x-y|>1”包含“x=3,y=1”,“x=3,y=0”,“x=2,y=0”,“x=0,y=2”.P(x=3,y=1)=C7P(x=3,y=0)=C7P(x=2,y=0)=C7P(x=0,y=2)=C3故P(|x-y|>1)=74020.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上,且對角線AC,BD過原點(diǎn)O,若kAC·kBD=-b2①求OA·②求證:四邊形ABCD的面積為定值.解:(1)由題意,知e=ca=又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2=8得(1+2k2)xΔ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)x∵kOA·kOB=-b2a2=-12,∴y1y2=-12x1x2=-12·又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·2m2-81+2k2+km∴-m2-41+2k2=m2-8k21+2k∴4k2+2=m2.①OA·OB=x1x2+y1y2=2m2-∴-2=2-4≤OA·OB<當(dāng)k=0(此時(shí)m2=2滿意(*)式),即直線AB平行于x軸時(shí),OA·OB取最小值為-又直線AB的斜率不存在時(shí),OA·OB=2,∴OA②證明:設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d,則S△AOB=12|AB|·d=121+k2·|x2=|=|=|=24k2-m∴S四邊形ABCD=4S△AOB=8即四邊形ABCD的面積為定值.21.(12分)(2024全國Ⅲ,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)12,f12處的切線與y軸垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1.答案:(1)解f'(x)=3x2+b,依題意得f'12=0,即34+b=故b=-34(2)證明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f'(x)=3x2-3令f'(x)=0,解得x=-12或x=1f'(x)與f(x)的狀況為:x-∞,-12-1-12,12112,+∞f'(x)+0-0+f(x)↗c+1↘c-1↗因?yàn)閒(1)=f-12=c+14,所以當(dāng)c<-14時(shí),f因?yàn)閒(-1)=f12=c-14,所以當(dāng)c>14時(shí),f(x)只有小于由題設(shè)可知-14≤c≤1當(dāng)c=-14時(shí),f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)-12當(dāng)c=14時(shí),f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)-1和1當(dāng)-14<c<14時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x且x1∈-1,-12,x2∈-12綜上,若f(x)有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn),則f(x)全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1.請考生在22、23兩題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計(jì)分.[