福建省莆田市第十五中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期暑期摸底測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年莆田第十五中學(xué)高三暑期摸底測試數(shù)學(xué)試卷本試卷共19題，滿分150分．考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件結(jié)合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集運算即可求解.【詳解】因，所以故選：A.2.若，，則“，且”是“，且”的（

）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】若“，且”，則“，且”，若已知“，且”，可取，，滿足，且，但不滿足，且，所以“，且”是“，且”的充分不必要條件；故選：A3.已知，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.4.不等式在R上恒成立的必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出不等式恒成立時，，根據(jù)必要不充分條件的含義，一一代入選項比較即可.【詳解】當(dāng)不等式在R上恒成立時，可得，解得．選項A中，是不等式成立的充分不必要條件；選項B中，是不等式成立的既不充分也不必要條件；選項C中，是不等式成立的必要不充分條件；選項D中，是不等式恒成立的充要條件．故選：C．5.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為或x>12，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分析可知，關(guān)于的方程的兩個根分別為、，且，結(jié)合韋達定理可得出、關(guān)于的等量關(guān)系，結(jié)合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.【詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為或x>12，則關(guān)于的方程的兩個根分別為、，且，所以，，，所以，，，所以，不等式即為，即，解不等式可得，因此，不等式的解集為.故選：B.6.某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費3萬元購進了一套先進設(shè)備，該設(shè)備每年管理費用為0.1萬元，已知使用年的維修總費用為萬元，則該設(shè)備年平均費用最少時的年限為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得該設(shè)備年平均費用，結(jié)合基本不等式分析運算.【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費用，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該設(shè)備年平均費用最少時的年限為9.故選：C.7.已知且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)運算可得出且、均為正數(shù)，利用基本不等式求出的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為，則且、均為正數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，所以，，即，解得.故選：C.8.對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號成立的條件是且，得且，此時第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時取得，所以的最小值為，即，則，所以實數(shù)的最大值為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，利用作差法和基本不等式對選項依次判斷即可.【詳解】對于A，因為，，，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，，所以，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：BCD．10.已知正數(shù)滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】運用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因為是正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，有最大值為，因此本選項不正確；B：因為是正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)取等號，故本選項正確；C：因為是正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，有最小值，因此本選項不正確；D：因為是正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，的最小值為因此本選項正確，故選：BD11.設(shè)對于定義域為D的函數(shù)，若存在區(qū)間，使得同時滿足：①在上單調(diào)②當(dāng)?shù)亩x域為時，的值域也為，則區(qū)間為該函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”．下列說法正確的是（）A.區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”B.函數(shù)的所有“和諧區(qū)間為，，C.若函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則實數(shù)k的取值范圍是D.函數(shù)存在“和諧區(qū)間”【答案】BCD【解析】【分析】運用“和諧區(qū)間”的定義逐項計算即可.【詳解】對于A項，因為在上單調(diào)遞減，值域為，不符合題意，故A項錯誤；對于B項，在上單調(diào)遞增，則，所以，是的兩個不等的實根，又，，，所以的所有“和諧區(qū)間”為、、，故B項正確；對于C項，因為存在“和諧區(qū)間”，在上單調(diào)遞增，所以，所以，是的兩個不等的實根，令，（），則在上有兩個不等的實根，令，對稱軸為，則，解得，故C項正確；對于D項，因為在，上單調(diào)遞增，則，所以，是的兩個不等的實根，又或，所以，，又，所以存在“和諧區(qū)間”為，故D項正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知集合，則________．【答案】【解析】【分析】分別求出集合，，利用并集的定義求解即可.【詳解】由題可得：，，所以;故答案為：13.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域為________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的定義域即可.【詳解】在函數(shù)中，令，解得：，所以的定義域為：,在函數(shù)中，令，解得：，所以函數(shù)的定義域為：;故答案為：14.定義在上的函數(shù)滿足，則的值為______.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，由，得到當(dāng)時，成立，進而轉(zhuǎn)化，再由分段函數(shù)代入相應(yīng)解析式求得.【詳解】由題意知，當(dāng)時，①，當(dāng)，即時，②，所以當(dāng)時，將②代入①式化簡可得，故當(dāng)，且時，即時，..故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.設(shè)函數(shù)的定義域為，集合（1）求集合；（2）若，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定義域的定義即可求解;（2）由是的必要不充分條件可判斷集合是集合的真子集,分類討論的情況即可求解.【小問1詳解】要使得函數(shù)有意義，只需要2+x解得，所以集合【小問2詳解】因為是的必要不充分條件，所以，當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，解得：，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是16.已知集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后將代入求解出集合，然后根據(jù)交集的運算定義進行求解即可；（2）由，可得，然后分和兩種情況分類討論，根據(jù)子集的定義求解參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時，，因此.【小問2詳解】，，若，則，解得；若，則，解得.綜上所述得，故的取值范圍為.17.某公司為改善營運環(huán)境，年初以萬元的價格購進一輛豪華客車．已知該客車每年的營運總收入為萬元，使用年所需的各種費用總計為萬元．（1）該車營運第幾年開始贏利（總收入超過總支出，今年為第一年）；（2）該車若干年后有兩種處理方案：①當(dāng)贏利總額達到最大值時，以萬元價格賣出；②當(dāng)年平均贏利總額達到最大值時，以萬元的價格賣出．問：哪一種方案較為合算？并說明理由．【答案】（1）第3年開始贏利；（2）方案②合算．理由見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)該車年開始盈利，可構(gòu)造不等關(guān)系，結(jié)合可求得解集，由此得到結(jié)果；（2）由二次函數(shù)最值和基本不等式求最值分別求得兩種方案的盈利總額，通過比較盈利總額和所需時長，得到方案②合算．【詳解】（1）客車每年的營運總收入為萬元，使用年所需的各種費用總計為萬元，若該車年開始贏利，則，即，，，該車營運第年開始贏利．（2）方案①贏利總額，時，贏利總額達到最大值為萬元．年后賣出客車，可獲利潤總額為萬元．方案②年平均贏利總額（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．時年平均贏利總額達到最大值萬元．年后賣出客車，可獲利潤總額為萬元．兩種方案的利潤總額一樣，但方案②的時間短，方案②合算．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查建立擬合函數(shù)模型求解實際問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求得函數(shù)的最值.18.設(shè)．（1）若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)對一切實數(shù)x恒成立，討論參數(shù)m，結(jié)合一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立列不等式組求范圍即可.（2）討論、，結(jié)合一元二次不等式的解法求解集.【小問1詳解】由題設(shè)，即對一切實數(shù)x恒成立，當(dāng)時，不恒成立；當(dāng)時，只需，可得；綜上，.【小問2詳解】當(dāng)時，，即，可得；解集為；當(dāng)時，，若，則，若，即時，可得或，解集為；若，即時，可得，解集為；若，即時，可得或，解集為；若，則，可得，解集為.19.對于函數(shù)，存在實數(shù)，使成立，則稱為關(guān)于參數(shù)m的不動點．（1）當(dāng)，時，求關(guān)于參數(shù)1的不動點；（2）當(dāng)，時，函數(shù)在上存在兩個關(guān)于參數(shù)m的相異的不動點，試求參數(shù)m的取值范圍；（3）對于任意的，總存在，使得函數(shù)有關(guān)于參數(shù)m（其中）的兩個相異的不動點，試求m的取值范圍．【答案】（1）-1和3（2）（3）【解析】【分析】（1）由不動點的定義解方程即可.（2）將在上有兩個不同解轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的零點，結(jié)合二次函數(shù)零點分布即可求得結(jié)果.（3）由已知可得有兩個不等的實根，即，將問題轉(zhuǎn)化為對于任意的，總存在，使成立，進而轉(zhuǎn)化為存在，，整理得存在，，令，進而轉(zhuǎn)化為求在上的最大值，進而解即可.