2025屆遼寧省朝陽市建平縣二中高三下-第三次月考數(shù)學試題試卷含解析_第1頁
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2025屆遼寧省朝陽市建平縣二中高三下-第三次月考數(shù)學試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.2.設P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q3.已知復數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i4.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.75.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.46.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.7.為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng),對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗(指標值滿分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖,則下面敘述不正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強8.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.9.若復數(shù),則()A. B. C. D.2010.設集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個11.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.12.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個單位B.向左平移πC.向右平移π3個單位D.向右平移π二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校共有師生1600人,其中教師有1000人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個容量為80的樣本,則抽取學生的人數(shù)為_____.14.設常數(shù),如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80,那么______.15.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點,則雙曲線的標準方程為______.16.若非零向量,滿足,,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線l過右焦點F,且與橢圓C交于A、B兩點,已知Q點坐標為,求的值.18.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長.19.(12分)已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標準方程:(2)設A是橢圓的左頂點,過右焦點F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.20.(12分)已知點P在拋物線上,且點P的橫坐標為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點,且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準線與y軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.21.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.22.(10分)設函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

取AC中點N,由題意得即為二面角的平面角,過點B作于O,易得點O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過點B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.2.C【解析】

解:因為P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C3.A【解析】

由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.本題考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)、復數(shù)的概念,屬于基礎題.4.D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==本題考查了向量的數(shù)量積運算,關鍵是利用基向量表示所求向量.5.D【解析】

先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因為成等比數(shù)列,所以,解得.本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關系是求解的關鍵.6.B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當時,取得最小值為,故選:.本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關系求出解析式是解決本題的關鍵.7.D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙,故A正確;對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,數(shù)學建模素養(yǎng)為60分,故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng),故B正確;對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為,乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為,故C正確;對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分,不是最強的,故D錯誤;故選:D本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.8.C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計算.【詳解】由可得,因為,所以.故在方向上的投影為.故選:C.本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵.9.B【解析】

化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.本題考查了復數(shù)的運算,復數(shù)的模,意在考查學生的計算能力.10.A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.11.A【解析】

根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個零點,即可對選項逐個驗證即可得出.【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個選項,對其在上的零點個數(shù)進行判斷,在上無零點,不符合題意,排除D;然后,對剩下的2個選項,進行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.12.D【解析】試題分析:因為,所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點:三角函數(shù)的圖像變換.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為,∴抽取學生的人數(shù)為6001.故答案為:1.本題考查了分層抽樣的計算,屬于簡單題.14.【解析】

利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.本小題主要考查根據(jù)二項式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎題.15.【解析】

設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,能求出雙曲線方程.【詳解】解:設以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點,∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.16.1【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率為,得到,根據(jù)直線與圓的位置關系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當直線l的斜率不存在時,,,由于;②當直線l的斜率為0時,,,則;③當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為,,,由及,得,有,∴,,,,∴,綜上所述:.該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,求向量數(shù)量積,在解題的過程中,注意對直線方程的分類討論,屬于中檔題目.18.(1);(2)【解析】

(1)由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】(1)因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積公式的應用,屬于基礎題.19.(1);(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】

(1)解方程即可;(2)①設直線,,,將點的坐標用表示,證明即可;②分別用表示,,的面積即可.【詳解】(1)解之得:的標準方程為:(2)①,,設直線代入橢圓方程:設,,,直線,直線,,,,,.②,所以.本題考查了直接法求橢圓的標準方程、直線與橢圓位置關系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.20.(1)(2)4【解析】

(1)將點P橫坐標代入拋物線中求得點P的坐標,利用點P到準線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可;(2)設A、B點坐標以及直線AB的方程,代入拋物線方程,利用根與系數(shù)的關系,以及垂直關系,得出關系式,計算的值即可.【詳解】(1)將點P橫坐標代入中,求得,∴P(2,),,點P到準線的距離為,∴,∴,解得,∴,∴拋物線C的方程為:;(2)拋物線的焦點為F(0,1),準線方程為,;設,直線AB的方程為,代入拋物線方程可得,∴,…①由,可得,又,,∴,∴,即,∴,…②把①代入②得,,則.本題考查直線與拋物線的位置關系,以及拋物線與圓的方程應用問題,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,是中檔題.21.(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.22.(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),通過解關于導數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當時,f′(x)<2,當時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設,則,因為x≥2,故,(ⅰ)當a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小

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