2024歷年高考數(shù)學(xué)試題匯編：概率

歷年高考數(shù)學(xué)真題精編

19概率

一、單選題

1.（2022?全國(guó)）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

2.（2022?全國(guó)）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知

該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為“，必，必，且。3＞2＞為＞°.記該棋手連勝兩

盤的概率為P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

3.（2023?全國(guó)）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題

準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

4.（2023?全國(guó)）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

5.（2022?全國(guó)）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

6.（2021.全國(guó)）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

7.（2021.全國(guó)）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

8.（2019?全國(guó)）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子

中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為

9.（2018?全國(guó)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德

巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如30=7+23.在不超過30的

素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是

A.—B.—C.—D.—

12141518

10.（2020?全國(guó)）設(shè)。為正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3點(diǎn)，則取到的

3點(diǎn)共線的概率為（）

2

B.

4

D.

7

二、多選題

11.（2023?全國(guó)）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送。時(shí)，收到1的概

率為a（0<a<l）,收到o的概率為1_。；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為￡（0<￡<1）,收到1

的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1

次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹?/p>

輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若

依次收到1,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-。）（1-02

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為尸（1-A）?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為4（1-￡）2+（1_03

D.當(dāng)0<。<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸

方案譯碼為0的概率

12.（2020?山東）信息贈(zèng)是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,-,n,

且尸（X=，）=">0（i=l,2,…=1,定義X的信息燧H（X）=-之pjog2A.（）

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若w=2,則H（X）隨著Pi的增大而增大

C.若口=工（7=1,2,..,〃），則"（X）隨著w的增大而增大

n

D.若"=2"Z,隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,,相，且P（y=/）=P/+P2,“+1"（/=1，2,-,rn）,

則H（x）<H（y）

三、填空題

13.（2022?全國(guó)）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為.

14.（2022?全國(guó)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

15.（2023?天津）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無(wú)其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，

三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個(gè)箱子

中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為;若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出

一球，則該球是白球的概率為.

16.（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨

機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為貝|尸?=2）=,E（J）=.

17.（2022?全國(guó)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,"）,且尸（2<X42.5）=0.36,貝|

P（X>2.5）=.

18.（2019?全國(guó)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該

隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)

甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1

獲勝的概率是.

四、解答題

19.（2023?全國(guó)）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若末命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙

每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概

率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xj服從兩點(diǎn)分布,且P（X,=1）=1-尸（Xj=0）=g,i=l,2，…〃則

=記前〃次（即從第I次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求E（y）.

\i=iZ=1

20.（2022?全國(guó)）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)

慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例

組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

⑵從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到

的人患有該疾病與甯的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的

一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

/.、F口R尸（A[5）P（A\B）

（1）證明：R=—二----------；

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（A|8）,P（A|月）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估

計(jì)值.

n(ad-bc)2

附K?=

(Q+b)(c+d)(〃+c)(Z7+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.（2022?全國(guó)）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得

到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率

w

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)?/p>

口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概

率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確

至Uo.oooi）.

22.（2021?全國(guó)）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同

學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;

若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)

束4類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得。分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確

得80分，否則得。分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題

的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說(shuō)明理由.

23.（2022?全國(guó)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得。分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校

在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

24.（2021.全國(guó)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第

。代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)

數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),

P(X=i)=p,"=0,l,2,3).

(1)已知A,=0.4,A=0.3,02=0.2,03=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

Po+P]X+PzX?+03彳3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)gi時(shí),p=l,當(dāng)召(X)>1時(shí),

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

25.(2022?全國(guó))甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司

長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K，k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

26.(2020?全國(guó))某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,

C,。四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于4級(jí)品、8級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90

元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠

可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由

哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，

整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)

選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

參考答案:

1.D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2⑹,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

故所求概率尸2=1?-一7=［2.

213

故選：D.

2.D

【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩

盤的概率P甲；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率。乙；該棋手在第二盤與丙比賽且

連勝兩盤的概率P丙.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?,

則此時(shí)連勝兩盤的概率為P甲

貝IP甲=g［（1-+P2Pl（1一。3）］+；［（1-PjPR+PiP\（1-0）］

=Pl（P/P3）-2PIP2P3;

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙，

貝I」P乙=（1-A）必。3+（1一科）=必（R+）-2Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P再

則P丙=（1-Pl）P3P2+P103（1-+P?）-2Plp2P3

則為一。乙=0（。2+。3）-2P］0203Tp2（月+。3）-2月。2P3］=（月一必）。3＜。

＜0

。乙一。丙=。2（△+。3）-2月。2。3—［。3（01+。2）—201。2。3］=（。2-p3）M

即P甲＜P乙,P乙＜P丙，

則該棋手在第二盤與丙比賽，P最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤;

P與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.

故選：D

3.A

【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)

果，再利用古典概率求解作答.

【詳解】用1,2,3,4,5,6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如

下表：

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，

其中甲乙抽到相同結(jié)果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6個(gè)，

因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率尸=30"==5.

366

故選:A

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.

【詳解】

依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C；=6件,

其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有C；C；=4,

42

所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為z=不

63

故選：D.

5.C

【分析】方法一：先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型

求概率即可.

【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】無(wú)序

從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有

(1,2),(L3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15種

情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6種情況，故概率為

62

15-5-

［方法二］:有序

從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1)

,(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12

172

種情況，故概率為無(wú)=子

故選：C.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該

題的最優(yōu)解；

方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；

6.C

【詳解】

將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，

若2個(gè)0相鄰，則有C；=5種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有C；=10種排法，

102

所以2個(gè)0不相鄰的概率為五億=1.

故選：C.

7.C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法,

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)。不相鄰的概率為±=0.6,

故選：C.

8.B

【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典

概率的計(jì)算公式求解.

【詳解】設(shè)其中做過測(cè)試的3只兔子為。,4c,剩余的2只為A2,則從這5只中任取3只

的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},

{6,白為,屹,(:,8},電43},943}共10種.其中恰有2只做過測(cè)試的取法有

{a,6,A},{a,6,8},{a,c,A},{a,G3},{6,c,A},{仇c,B}共6種，

所以恰有2只做過測(cè)試的概率為4=|，選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.應(yīng)

用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹圖法”,

可最大限度的避免出錯(cuò).

9.C

【詳解】分析：先確定不超過30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根

據(jù)古典概型概率公式求概率.

詳解：不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè)，隨機(jī)選取兩

個(gè)不同的數(shù)，共有=45種方法，因?yàn)?+23=11+19=13+17=30,所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的

31

數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為”=”，選C.

4515

點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問

題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列

表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體

化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.

10.A

【分析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)

算公式運(yùn)算即可.

【詳解】如圖，從QA,8,C,05個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有

[O,A,B},{O,A,C},[O,A,D},{O,B,C]

[O,B,D},[O,C,D],{A,B,C},{A,B,D]

{4,。,。},{氏(7,。}共10種不同取法，

3點(diǎn)共線只有{A。,C}與{3,0,0共2種情況，

由古典概型的概率計(jì)算公式知，

21

取到3點(diǎn)共線的概率為'=二.

【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是

一道容易題.

11.ABD

【分析】

利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷

C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收。、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-0(1-a)(l-0=(1-。)(1-外，A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件,

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為-6)=伙1-￡)2,B正確;

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

b1,1的事件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C7(1-/7)2+(1-03=(I_02(]+20,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為。的概率尸=(l-e)2(I+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=l-a,而0<a<0.5,

因此尸一p=(l一a)2(i+2a)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的

和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

12.AC

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，求得H(X),由此判斷出A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行

排除；對(duì)于C選項(xiàng)，計(jì)算出H(X),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，

計(jì)算出利用基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,貝iJi=l,P1=l,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所以A選項(xiàng)

正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,貝=p2=l-pt,

所以8(X)=—[/vlog2R4-(l-P1)-log2(1-A)]-

當(dāng)時(shí),H(X)=-^--log2-+--log2-j,

Q(33iiA

當(dāng)Pl=1時(shí)，〃(乂卜-匕蟲?"了logzj，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若0=」(i=l,2,-,〃)，貝(|

n

H(X)=-|--10g2-|x77=-10g2-=10g2/7,

VnnJn

則”（X）隨著”的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若"=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,?.，加，且P（Y=j）=Pj+p2m+1_;

(j=1,2,,m).

2m2m]

"(X)=-￡P(guān)/10g2Pi=EP〃0g2一

z=lz=lPi

[111I1I1

一++p?,_]-

=Pllog,----l-p2-log,2log2-------+p2m-log2-----.

PlPlPlm-xPim

+

H(Y)=(Pl+02Jlog?--—+(p2+外,1).log?-------------+-(P,n+Pm+l)^0S

Pl+PimPl+Pl,n-lPm十

I111I1I1

=Pl?l0g2-----------+Pl°l°g2-------------++P2時(shí)1?l0g2-------------+P2Jbg2-----------由于

A+PimPl+Plm-XPl+Plm-XA+P2m

/\11?1?1

pi>0(z=l,2,,2m),所以—>---------,所以log?—>bg2-------------

PiPi+P2*IPiPi+

,1,1

所以P,.log?—>Alogz--------------

P,P,+P2m+l-i

所以"（x）＞x（y）,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)新定義“信息贈(zèng)”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能

力，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

3

13.—/0.3

10

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，

1,2）,（乙，1,3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=].

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=二

3

故答案為：—

6

14.

35

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有"=C：=70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的

有加=6+6=12個(gè)，故所求概率尸='=?]2=26.

n7035

故答案為：—.

3

15.0.05-/0.6

5

【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空;

根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為%,4〃,6”，所以總數(shù)為15”，

所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為40%x5〃=2〃，白球個(gè)數(shù)為3”；

乙盒中黑球個(gè)數(shù)為25%x4“=〃，白球個(gè)數(shù)為3”；

丙盒中黑球個(gè)數(shù)為50%x6"=3"，白球個(gè)數(shù)為3”；

記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件A,所以，

p(A)=0.4x0.25x0.5=0.05；

記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件8,

黑球總共有2〃+〃+3〃=6〃個(gè)，白球共有9〃個(gè)，

所以，尸")=鬻=|?

3

故答案為：0.05；

“1612八5

1o.,/1

3577

【分析】利用古典概型概率公式求尸C=2),由條件求自分布列，再由期望公式求其期望.

【詳解】從寫有數(shù)字122,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C；種取法，其中所抽取的卡片

上的數(shù)字的最小值為2的取法有C；+C；C：種，所以%=2)=互普=If,

由己知可得4的取值有1,2,3,4,

PC=D=*="，P(^=2)=—,

C；35’35

C2311

，尸("3)幸=京，P(^=4)=—=—

JJJJ

115cl6。3112

所以/C）=lx----i-2x——+3x----F44X——=——

353535357

12

故答案為：—

7

17.0.14/—.

50

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄N（2,〃），所以尸（X<2）=尸（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36-0.14.

故答案為：0.14.

18.0.18

【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)

算公式求解.題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力及分類討論思想的考查.

【詳解】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是0.4x0.62/0.52x2=0.072,

綜上所述，甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是^=0.108+0.072=0.18.

【點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)

之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以4:1獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是是否能夠

準(zhǔn)確計(jì)算.

19.（1）0.6

⑵工仔］上

6⑸3

⑶砂)。2

1o

【分析】(1)根據(jù)全概率公式即可求出；

(2)設(shè)P(A)=p,,由題意可得"包=。.4耳+0.2,根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出;

(3)先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出.

【詳解】(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件4,“第i次投籃的人是乙”為事件3,,

所以，尸出)=尸(45)+尸(男鳥)=尸(4)尸(D)+尸色)尸(鳥歸)

=0.5x(1—0.6)+0.5x0.8=0.6.

⑵設(shè)尸(4)=口,依題可知，尸(4)=1-口,則

尸(如)=尸(41)+尸(41)=尸(4)尸(4+ilA)+尸(4)尸(A+J4)，

即Pt+i=0-6Pi+(1-0.8)x(1-p.)=0.4pt+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列也+4，

2112(1、

設(shè)P,+i+2=1(口+2),解得2=-鼻，則=K

又口=2口-所以是首項(xiàng)為:，公比為I■的等比數(shù)列，

236[3J65

日n11(2y-11⑶"1

3615Jo)3

(3)因?yàn)?；,i=l,2,…，幾，

2

n

所以當(dāng)〃￡N*時(shí)，￡(y)=P]+p2+=-XH--，

故E(y)=[i-2n

+3,

lo

【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式,

然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解.

20.(1)答案見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)R=6；

【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%

的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)⑴根據(jù)定義結(jié)合條件概

率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)(i)結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

又「(太26.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

,八一、日斗”.尸網(wǎng)A)尸出|.)_P(A2).(A)P麗P0)

(2)(1)I大IdN———————，

P(B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)P(B)尸(Z月)P(B)

所以R=P(B)'P(AB)'P⑻P(AB)

P(A|B)P(才!看)

所以R=

P(A|B)P(A|B)'

(ii)

由己知=n,P⑷百戶之,

-60--90

又P⑷B)=而'P(A1B)=-,

所以氏=理應(yīng)-0=6

P(A|B)P(A\B)

21.(1)47.9歲;

⑵0.89；

(3)0.0014.

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出;

(2)設(shè)4={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【詳解】(1)平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)xl0=47.9(歲).

(2)設(shè)&={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

尸(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)3="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”,

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,尸(810=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(C⑶=g=尸(C)尸⑻C)=0.001x0.23=0.0014375。0.0014.

22.(1)見解析；(2)B類.

【分析】(1)通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)

與(1)類似，找出先回答8類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p(x=o)=l—0.8=02；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，￡（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為o,80,wo.

p（y=O）=1-0.6=0.4；

產(chǎn)（y=80）=0.60—0.8）=0.12；

尸（￥=100）=0.8x0.6=0.48.

所以石⑺=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

23.(1)0.6；

⑵分布列見解析，E(X)=13.

【分析】(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲

勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即

可求出期望.

【詳解】(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A民C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率

為

P^P(ABC)+P(ABC)+P[ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0」0,20,30,所以，

p(x=o)=0.5x0.4x0.8=0.16,

X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

尸(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望磯X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

24.(1)1；(2)見解析；(3)見解析.

【分析】(1)利用公式計(jì)算可得E(X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，。)=0及極值點(diǎn)的范圍可得了(無(wú))的最小正零點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.

【詳解】(1)￡,(X)=0x0.4+1XO.3+2XO.2+3XO.1=1,

(2)設(shè)/(%)=03三+。2尤'(Pi-1)龍+Po，

2

因?yàn)?P2+Pl+Po=1，故/(x)=P3X^+P2X一(2+。0+。3)龍+P0，

若E(X)W1,則R+2P2+3RM1,故0+2p34A.

/'(x)=3P3/+20X-(02+Po+03)，

因?yàn)?'(。)=一(。2+。0+。3)<0，7''(1)=0+