四川省成都市新都區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市新都區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），則z為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.在直角坐標平面內(nèi)，的三頂點的坐標分別為，，，則的面積為（）A.120 B.60 C.30 D.15〖答案〗C〖解析〗因為的三頂點的坐標分別為，，，所以，，，因為，所以，則直角三角形的面積為.故選：C.3.將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將圖象向左平移后得函數(shù)的圖象，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移后得函數(shù)圖象，即.故選：D.4.在正四棱錐的所有棱長均相等，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取線段中點，因為點為中點，所以，所以異面直線與所成角為，不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長均為2，則，，所以.故選：D.5.在直角坐標平面內(nèi)，已知，，，，以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，將四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，得一個旋轉(zhuǎn)體，則此旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗此旋轉(zhuǎn)體的表面積為底面半徑為4、高為3的圓錐的側(cè)面積加上底面半徑為4、高為5的圓柱的側(cè)面積再加上該圓柱的一個底面面積；故所求為.故選：C.6.中，角所對的邊分別為，，，交于點，且，則的值為（）A. B. C.6 D.3〖答案〗B〖解析〗因為，，得到，在中，，，由余弦定理得到，所以，即，所以，得到.故選：B.7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點A，B所在位置如圖所示，則的值為（）A.14 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗如圖：連接，因為中間是邊長為2的正方形，且圖中的各個三角形均為等腰直角三角形，所以，，，.所以.故選：A.8.四面體中，若，，，則此四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)點在平面的射影為，，因為，所以，這表明點為三角形外接圓的圓心，注意到，，所以由正弦定理可得，解得，所以外接球球心在的延長線上，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，所以此四面體的外接球的表面積為.故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．）9.設(shè)都是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.方程無復(fù)數(shù)解 B.若，則C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，方程有復(fù)數(shù)解，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，解得，即，故B正確；對于C，設(shè)，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯誤.故選：BC.10.下列命題正確的是（）A.一個三棱錐被過三條側(cè)棱的中點的平面所截，截得的兩部分為一個三棱臺和一個小三棱錐，則此三棱臺與小三棱錐的體積比為7B.圓錐被過其頂點的某平面所截，截面形狀為一個三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48C.圓錐被過其頂點的某平面所截，截面形狀為一個三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48D.若一個平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形至少有一組對邊互相平行〖答案〗ACD〖解析〗對于A，一個三棱錐被過三條側(cè)棱的中點的平面所截，截得的兩部分為一個三棱臺和一個小三棱錐，則截面三角形與三棱錐底面三角形相似，相似比為，面積比為，同理小三棱錐與大三棱錐的高的比為，所以此三棱臺與小三棱錐的體積比為，故A正確；對于BC，圓錐被過其頂點的某平面所截，截面形狀為一個三角形，若圓錐的底面半徑，高，則母線，設(shè)截面等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時，頂角最大，此時，這表明此時軸截面頂角是個鈍角，即頂角可以在某個時刻取到直角，所以截面三角形面積的最大值為，若圓錐的底面半徑，高，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時，頂角最大，此時，這表明此時軸截面頂角是個銳角，即頂角的正弦值在截面與軸截面重合時，取到最大值，且最大值為，所以截面三角形面積的最大值為，故B錯誤，C正確；對于D，如圖所示：要使截面是四邊形，可能有以下情形，根據(jù)對稱性，在這里只考慮豎著切，且截面平行于平行六面體的某個面的情形也只畫了一種特殊情形，由以上可以看出，若一個平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形要么是梯形，要么是平行四邊形，故D正確.故選：ACD.11.的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若，，下列結(jié)論正確的是（）A.的內(nèi)切圓半徑為 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗取邊的中點，連接，因為，所以內(nèi)心P、外心O、重心G都在中線上，且，，內(nèi)切圓半徑，對于A，由得，解得，故A正確；對于B，因為，所以，，故B正確；對于C，由余弦定理得，，所以，所以的外接圓半徑，，所以，所以，，故C錯誤；對于D，的外接圓半徑，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，把〖答案〗填在答題卡上.）12.若，則______．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴.故〖答案〗為：．13.歐拉公式：（i是虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，可求出的最大值為______．〖答案〗2〖解析〗，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為2.故〖答案〗為：2.14.如圖，平面四邊形中，，，，，沿將折起成直二面角（折起后原來平面圖形的D點變?yōu)榭臻g圖形的P點），則折起后四面體的內(nèi)切球半徑為______．〖答案〗〖解析〗因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，而平面，從而，設(shè)所求為，三棱錐的表面積、體積分別為，，而，，從而，解得.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或驗算步驟．）15.已知函數(shù)，其中，且函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的值域．解：（1）．因為函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為，設(shè)最小正周期為，則，即，所以，又，所以，所以．（2）∵，∴，由正弦型函數(shù)的圖象可得．16.如圖，邊長為6的正中，點D在邊上，且，點M在線段上．（1）若，求的值；（2）若，求x及的值．解：（1）∵，而，∴，則即為所求．（2）∵，得，∴，又∵，∴，∵M、B、D三點共線，∴，則即為所求x的值．則，∴，∴，∴，同理可求：，∴，∴即為所求．17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求角C的大??；（2）設(shè)D是上一點，且，，且，求的面積．解：（1）∵，由正弦定理知：，∴，∵，，∴，∵，．（2）由題意得，，，，方法一：在中，，在中，，∵，∴，化簡得．在中，，∴，整理得．又∵，則，∴，則，∴，即為的面積．方法二：∵，∴，，∵且得：，又∵，則，∴，則，∴．18.如圖，四棱錐中，底面是邊長為4菱形，，，E為中點，與交點為O．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求點C到平面的距離．解：（1）設(shè)，連結(jié)，∵E為中點，O為中點，∴，又∵平面，平面，∴平面.連結(jié)，∵，O為中點，∴，又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，則，則即為所求點C到平面的距離