山東省泰安市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列的（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項〖答案〗D〖解析〗根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.2.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗由圖可知：陰影部分表示的集合為.因為集合，所以，則，所以陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為.故選：B.3.在研究變量與之間的相關(guān)關(guān)系時，進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)誤差較大，剔除這對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且，則（）A.13.5 B.14 C.14.5 D.15〖答案〗A〖解析〗因為，剔除異常數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)后，，因為點在直線上，所以，解得，設(shè)利用原始數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸直線過點，則，因為，所以.故選：A.4.設(shè)，定義運算“△”和“▽”如下：若正數(shù)、、、滿足，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗由運算“△”和“▽”知，表示數(shù)、比較小的數(shù)，表示數(shù)、比較大的數(shù)．當，時，，故選項A、C錯誤；當時，，故選項B錯誤．∵，且，∴，∵，，∴，故選項D正確．故選：D.5.已知圓，直線與圓交于，兩點.若為直角三角形，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為圓，圓心為，半徑為，即，因為為直角三角形，所以,設(shè)圓心到直線的距離為，，由弦長公式得，所以，化簡得.故選：A.6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易得的斜率為，由切線斜率的幾何意義得，且已知函數(shù)為奇函數(shù)，可得，兩側(cè)同時求導(dǎo)得，故，故A正確.故選：A.7.在中，若，記，，，則下列結(jié)論正確的是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，作，，則，∴四邊形是平行四邊形，∴，設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為，則，∴，即，∴，∴，∴.故選:C.8.圓O的半徑為1，P為圓周上一點，現(xiàn)將如圖所示放置的邊長為1的正方形（正方形的頂點A和點P重合）沿著圓周逆時針滾動．經(jīng)過若干次滾動，點A第一次回到點P的位置，則點A走過的路程為（）A2π B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)第i（）次滾動后A點位置為，結(jié)合圖形，可知3次或4次滾動后，A點再次達到圓周處，則第7次或第8次滾動后，A點達到圓周，第11次或第12次滾動后A第一次回到點P的位置，相當于正方形在圓內(nèi)滾動了三圈.因為圓O的半徑r＝1，正方形的邊長a＝1，所以以正方形的一邊為弦時所對應(yīng)的圓心角為，正方形在圓周上滾動時，點的位置如圖所示，設(shè)第i（）次滾動點A的路程為，則，又，所以點A所走過的路程為．故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.在某種藥物實驗中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么可能經(jīng)過（）個小時會“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗CD〖解析〗依題意藥物實驗中，血液中藥物含量為，即藥物含量為，設(shè)至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”，根據(jù)題意可得，兩邊取對數(shù)得，可得，所以至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”，故符合題意的有C、D.故選：CD.10.設(shè)數(shù)列，滿足，，則下列函數(shù)使得，有相等的項的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，若，則，所以，此時，符合題意，故A正確；對于B，若，則，，所以，此時，不可能有相等的項，故B錯誤；對于C，若，則，，所以，此時，符合題意，故C正確；對于D，若，則，，所以，此時，不可能有相等的項，故D錯誤，故選：AC.11.如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，點P為圓弧上一動點（點P與點A，D不重合），則（）A.存在值，使得B.三棱錐體積的最大值為C.當時，異面直線與所成角的余弦值為D.直線與平面所成最大角的正弦值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，由題意知，若，，平面，則平面，又平面，所以，不成立，故A不正確；對于B選項，在三棱錐中，半圓面，所以，三棱錐即三棱錐是為高，為底面的三棱錐，當點是半圓弧的中點時，三棱錐的底面積S△PAD取得最大值，三棱錐的體積取得最大值為，故選項B正確；對于選項C：當時，則為的中點，以的中點為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，可得，則，故異面直線與所成角的余弦值為，所以C正確；對于D選項，取的中點，過點P作于點，連接，由題意知，平面，平面，，又因為，，平面，可得平面，所以為在平面內(nèi)的射影，則為直線與平面所成的角，設(shè)，則，在Rt中，，又平面，平面，所以，又面，所以面，又面，所以，所以，故，令，則，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以，則，所以直線與平面所成最大角的正弦值為.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.若隨機變量，且，則_________．〖答案〗0.26〖解析〗因為，所以．13.如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，則，，又，，所以．14.設(shè)是正實數(shù)，若函數(shù)在上至少存在兩個極大值點，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗令，解得，.若在上無極大值點，則存在實數(shù)，使得，整理得到，解得，因為且存在，故，或，故或.若在上有且只有一個極大值點，則存在實數(shù)，使得，或，解得①或者②，對于①，因且存在，故且，故整數(shù)滿足，當時，，當時，，當時，，故對于②，同理可得，綜上，在上無極大值點和有且只有一個極大值點時，.故函數(shù)在上至少存在兩個極大值點，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和．解：（1）當時，，當時，，因為也符合上式．所以．（2）由（1）可知，所以．16.如圖，三棱臺，平面平面，與相交于點，且平面．（1）求三棱錐的體積；（2）平面與平面所成角為與平面所成角為，求的值．解：（1）由題意，平面平面，且平面平面平面，平面，平面，，又平面，平面．連接，平面平面，平面平面，，，，．三棱錐底面三角形的面積為，高，其體積為：．（2）由題意及（1）得，以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，，則．設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個法向量為，所以，，又因為，所以．．又，所以．17.設(shè)拋物線的焦點為，點，過點且斜率存在的直線交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與的另一個交點分別為，設(shè)直線的斜率分別為，證明：（?。槎ㄖ?；（ⅱ）直線恒過定點.（1）解：由焦半徑公式知：，，的方程為：.（2）證明：由（1）知：，可設(shè)直線方程為：，設(shè)則直線方程為：聯(lián)立，將代入得，，同理：（?。?，（ⅱ）直線的方程為：由得：即，，直線的方程為：，直線恒過定點18.已知函數(shù)，存在三個零點，，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，求證：．（1）解：因為且存在三個零點，所以有個實數(shù)根，當時，，，，所以在上是單調(diào)遞增，由零點存在定理，方程必有一個負根，當，，即有兩個根，令，，可轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，，可得時，即在單調(diào)遞增，可得時，即在單調(diào)遞減，其中，當，，，且當時，所以可得，解得.綜上可得.（2）證明：因為且存在三個零點.設(shè)，，，，易知其中，，因為，所以，所以，，，故可知①；由（1）可知與有兩個交點，當，是單調(diào)遞增，所以，，，所以②；即，，若，則，若，構(gòu)造函數(shù)，，則，設(shè)，則，因為，又因為，所以③；因為，又因為，所以，即得④；由③④可知，在上單調(diào)遞增，又可得，，可知與同號，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，又由（1）可知，所以，，，，是單調(diào)遞增，所以⑤，由①②⑤可知.19.對于分別定義在，上的函數(shù)，以及實數(shù)，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有關(guān)系.（1）若，；，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；（2）若與具有關(guān)系，求的取值范圍；（3）已知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足：①在上，當且僅當時，取得最大值1；②對任意，有.判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由.解：（1）與具有關(guān)系，理由如