人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級下冊第02講 平行四邊形的判定（2個知識點+5類熱點題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第02講平行四邊形的判定課程標準學(xué)習(xí)目標①平行四邊形的判定②三角形的中位線掌握平行四邊形的判定方法并能夠通過題目已知條件選擇合適的判定方法判定平行四邊形。掌握三角形的中位線性質(zhì)與判定，能夠熟練的對三角形的中位線進行判斷與對性質(zhì)的熟練應(yīng)用。知識點01平行四邊形的判定平行四邊形的判定：如圖：判定四邊形ABCD是平行四邊形：①利用邊判定：=1\*ROMANI：利用一組對邊判定：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。符號語言：若ABCD或ADBC則四邊形ABCD是平行四邊形=2\*ROMANII：利用兩組對邊判定：兩組對邊分別平行或分別相等的四邊形是平行四邊形。符號語言：若AB∥CD，AD∥BC或AB＝CD，AD＝BC則四邊形ABCD是平行四邊形②利用角判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。符號語言：若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD則四邊形ABCD是平行四邊形③利用對角線判定：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形。符號語言：若OA＝OC，OB＝OD則四邊形ABCD是平行四邊形【即學(xué)即練1】1．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；B、∵OA＝OC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；C、AB＝CD，OA＝OC，∴四邊形ABCD不是平行四邊形．故不能判定這個四邊形是平行四邊形；D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故能判定這個四邊形是平行四邊形．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，且AB＝CD，BF＝DE，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∵BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，在Rt△ADE和Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），∴∠ABD＝∠CBD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【即學(xué)即練3】3．如圖，四邊形ABCD對角線交于點O，且O為AC中點，AE＝CF，DF∥BE，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：∵O為AC中點，∴OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵DF∥BE，∴∠E＝∠F，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．知識點02三角形的中位線三角形中位線的定義：連接三角形任意兩邊的中點得到的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。幾何語言：∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC【即學(xué)即練1】4．如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點，EF＝3，則BD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點，∴EF是△ACD的中位線，∴AD＝2EF＝2×3＝6，∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD＝6，故選：D．題型01熟悉平行四邊形的判定條件【典例1】下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行，一組對角互補 C．一組對角相等，一組鄰角互補 D．一組對角互補，另一組對角相等【解答】解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行，也有可能是等腰梯形B、一組對邊平行，一組對角互補，也有可能是等腰梯形C、一組對角相等，一組鄰角互補可得到兩組對角分別相等，所以是平行四邊形D、一組對角互補，另一組對角相等，可能是含兩個直角的一般四邊形．故選：C．【變式1】在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O點，給出五組條件：（1）AB＝DC，AD∥BC；（2）AB＝CD，AB∥CD；（3）AB∥CD，AD∥BC；（4）OA＝OC，OB＝OD；（5）AB＝CD，AD＝BC．能判定此四邊形是平行四邊形的有（）組．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：（1）由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四邊形ABCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，據(jù)此不能判定該四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；（2）由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，據(jù)此能判定該四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；（3）由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四邊形ABCD的兩組對邊互相平行，則該四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；（4）由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，則該四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；（5）由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四邊形ABCD的兩組對邊相等，則該四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；故選：D．【變式2】如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．， B．AB＝CD，AO＝OC C．AB∥CD，∠DAC＝∠BCA D．AB＝CD，BC＝AD【解答】解：A、∵OA＝AC，OB＝BD，∴OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、AB＝CD，AO＝OC，當∠BAC≠∠DCA時，四邊形ABCD不是平行四邊形，故選項B符合題意；C、∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB＝CD，BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：B．題型02添加平行四邊形的判定條件【典例1】在四邊形ABCD中，AB∥DC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需添加的條件是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠D＝180° C．∠A+∠D＝180° D．∠A+∠B＝180°【解答】解：選項A，B中的兩對角是對角關(guān)系，不能推出AD∥BC，選項C只能推出AB∥DC，選項D中兩角是同旁內(nèi)角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：D．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C【解答】解：A、當AB∥CD，AD＝BC時，四邊形ABCD可能為等腰梯形，所以不能證明四邊形ABCD為平行四邊形；B、AB∥CD，AB＝DC，一組對邊分別平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；C、AB∥CD，AD∥BC，兩組對邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；故選：A．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項B不符合題意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．∠A+∠D＝180° C．∠B＝∠D D．AB＝BC【解答】解：一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是∠B＝∠D，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：C．題型03三角形的中位線【典例1】如圖，DE是△ABC的中位線，若BC＝8，則DE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝8，∴．故選：B．【變式1】如圖，DE垂直平分△ABC的邊AB，交CB的延長線于點D，交AB于點E，F(xiàn)是AC的中點，連接AD、EF．若AD＝5，CD＝9，則EF的長為（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5【解答】解：∵DE垂直平分△ABC的邊AB，AD＝5，∴AD＝DB＝5，AE＝EB，∴點E是AB的點，∵F是AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴．∵CD＝9，DB＝5，∴BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4，∴．故選：C．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN，MN的中點，則DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：連接CM，當CM⊥AB時，CM的值最小（垂線段最短），此時DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC?BC＝，∴＝，∴CM＝，∵點D、E分別為CN，MN的中點，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故選：B．【變式3】如圖，DE是△ABC的中位線，∠ACB的角平分線交DE于點F，若AC＝6，BC＝14，則DF的長為4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝14，AC＝6，∴DE＝BC＝×14＝7，AE＝CE＝AC＝×6＝3，DE∥BC，∴∠CFE＝∠BCF，∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠CFE，∴EF＝CE＝3，∴DF＝DE﹣EF＝7﹣3＝4，故答案為：4．【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，已知AB＝12，CD＝6，則EF＝3．【解答】解：連接CF并延長交AB于G，∵AB∥CD，∴∠FDC＝∠FBG，在△FDC和△FBG中，，∴△FDC≌△FBG（ASA）∴BG＝DC＝6，CF＝FG，∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，∵CE＝EA，CF＝FG，∴EF＝AG＝3，故答案為：3．題型04平行四邊形的判定證明【典例1】17．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，延長BE到F，使BE＝EF，連接AF、CF、DF．求證：四邊形ADCF是平行四邊形．【解答】證明：如圖，∵E是AD的中點，∴AE＝ED，又∵BE＝EF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF＝BD，且AF∥BD，∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝DB，∴AF＝DC，又AF∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．【變式1】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在線段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：∵∠EOB與∠FOD是對頂角，∴∠EOB＝∠FOD，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（ASA）；∴OE＝OF，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∵OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【變式2】如圖，點O是△ABC內(nèi)部一點，連接OB，OC，并將邊AB，OB，OC，AC的中點D，E，F(xiàn)，G順次連接，DEFG構(gòu)成四邊形，求證：四邊形DEFG是平行四邊形．【解答】證明：∵D，G分別是AB，AC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DG∥BC，DG＝BC．∵E，F(xiàn)分別是OB，OC的中點，∴EF是△OBC的中位線，∴EF∥BC，EF＝BC．∴DG＝EF，DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形．【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，A（0，20），B在原點，C（26，0），D（24，20），動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB以3cm/s的速度向點B運動，P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts，當t為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？并寫出P、Q的坐標．【解答】解：∵A（0，20），B在原點，C（26，0），D（24，20），∴AD＝24，BC＝26，∵四邊形PQCD是平行四邊形，∴PD＝CQ，∴24﹣t＝3t，∴t＝6，∴當t為6時，四邊形PQCD是平行四邊形，∴點P（6，20），∵OQ＝26﹣3×6＝8，∴點Q（8，0）．題型05平行四邊形的性質(zhì)與判定【典例1】如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在OB和OD上．（1）當BE，DF滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由；（2）當∠AEB與∠CFD滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由．【解答】解：（1）當BE＝DF時，四邊形AECF是平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，同理，AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）當∠AEB＝∠CFD時，四邊形AECF是平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【變式1】在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的點且AE＝CF，連接DE，BF，AF．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．【變式2】如圖1，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF＝BC，連接CD和EF．（1）求證：四邊形DEFC是平行四邊形．（2）如圖2，當△ABC是等邊三角形且邊長是8，求四邊形DEFC的面積．【解答】（1）證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形．（2）解：過點D作DH⊥BC于H，如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，D為AB的中點∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，∵∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝DB＝2，∴DH＝＝，∵CF＝CB＝4，∴S四邊形DEFC＝CF?DH＝4×2＝8．【變式3】如圖，已知?ABCD，AC、BD相交于點O，延長CD到點E，使CD＝DE，連接AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）連接BE，交AD于點F，連接OF，判斷CE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：CE與OF的數(shù)量關(guān)系為：CE＝4OF，理由如下：由（1）得：四邊形ABDE是平行四邊形，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OF是△BDE的中位線，∴DE＝2OF，∵CD＝DE，∴CE＝2DE，∴CE＝4OF．【變式4】如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）連接BD交AC于點O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點G是AB的中點，∴EG是△ABO的中位線，∴EG＝OB＝．1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等【解答】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．B、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．C、對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．D、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯誤．故選：A．2．下列說法正確的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．平行四邊形的對角互補 C．有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形 D．平行四邊形的對角線平分每一組對角【解答】解：A．∵一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形或平行四邊形，∴A錯誤，不符合題意；B．∵兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，∴B錯誤，不符合題意；C．∵兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，∴C正確，符合題意；D．∵菱形對角線平分每一組對角，平行四邊形的對角線不平分每一組對角，∴D錯誤，不符合題意；故選：C．3．下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D【解答】解：A、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形，不合題意；B、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形，不合題意；C、不能判斷這個四邊形是平行四邊形，符合題意；D、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形；故選：C．4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：B．5．如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到AC和BC的中點D、E，測量得DE＝16米，則A、B兩點間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB，∵DE＝16米，∴AB＝32米，∴A、B兩點間的距離為32米．故選：B．6．?ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項不符合題意；B、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE＝OF，故本選項不符合題意；C、若CE＝AF，則無法判斷OE＝OE，故本選項符合題意；D、由∠DAF＝∠BCE，從而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，結(jié)合選項B可證明四邊形AECF是平行四邊形；故本選項不符合題意；故選：C．7．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，若AB＝12，BC＝14，則四邊形BDFE的周長為（）A．13 B．21 C．26 D．52【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點，∴EF、EF分別是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DF∥BC，EF＝AB＝＝6，DF＝BC＝，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴BE＝DF＝7，BD＝EF＝6，∴四邊形BDEF的周長為：BE+BD+DF+EF＝2×（7+6）＝26．故選：C．8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，AD的中點，若∠EFG＝130°，則∠EGF的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【解答】解：∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，AD的中點，∴EF，GF分別是△ABC，△ADC的中位線，∴，∵AB＝CD，∴EF＝GF，又∵∠EFG＝130°，∴，故選：B．9．如圖，在△ABC中，CF、BE分別平分∠ACB和∠ABC，過點A作AD⊥CF于點D，作AG⊥BE于點G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，則GD的長為（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【解答】解：如圖所示，延長AD，交CB的延長線于點P，延長AG，交BC的延長線于點Q，∵CF、BE分別平分∠ACB和∠ABC，∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，又∵AD⊥CF，AG⊥BE，∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，又∵BC＝7，∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，∵AC＝PC，CD平分∠ACP，∴點D是AP的中點，同理可得，點G是AQ的中點，∴DG是△APQ的中位線，∴DG＝PQ＝5，故選：B．10．如圖，在?ABCD中，要在對角線BD上找兩點E、F，使A、E、C、F四點構(gòu)成平行四邊形，現(xiàn)有①，②，③，④四種方案，①只需要滿足BE＝DF；②只需要滿足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要滿足AE，CF分別平分∠BAD，∠BCD，④只需要滿足AE＝CF．則對四種方案判斷正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABE＝∠CDF，①在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故①正確；②∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故②正確；③∵AE，CF分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故③正確；④由AE＝CF，不能證明△ABE≌△CDF，不能判定四邊形AECF為平行四邊形，故④不正確；判斷正確的是①②③，故選：A．11．如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．現(xiàn)在請你添加一個適當?shù)臈l件：BE＝DF，使得四邊形AECF為平行四邊形．（圖中不再添加點和線）【解答】解：添加的條件：BE＝DF．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF又∵BE＝DF∴△ABE≌△CDF∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD∴∠AEF＝∠EFC∴AE∥FC∴四邊形AECF為平行四邊形．故答案為：BE＝DF．12．如圖，在平面直角坐標系中，E是BC的中點，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），點P是線段BC上的一個動點，當BP的長為1或9時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形．【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），∴AD∥BC，AD＝4，OB＝2，OC＝8，∴BC＝10，∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝BC＝×10＝5，當EP＝AD＝4時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：①當點P在點E的左側(cè)時，BP＝BE﹣EP＝5﹣4＝1；②當點P在點E的右側(cè)時，BP＝BE+EP＝5+4＝9；綜上所述，當BP的長為1或9時，以點P，A，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，故答案為：1或9．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．動點P，Q分別從點D，B同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度向終點A運動，點Q以2cm/s的速度向終點C運動，3秒時四邊形CDPQ是平行四邊形？【解答】解：設(shè)t秒后，四邊形CDPQ是平行四邊形，∴PD＝tcm，CQ＝（9﹣2t）cm，∵AD∥BC，∴當PD＝CQ時，四邊形CDPQ是平行四邊形，∴t＝9﹣2t，∴t＝3，∴3秒時四邊形CDPQ是平行四邊形．故答案為：3．14．在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A（0，2），B（1，0），C（3，2），點D在第一象限內(nèi)，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標是（2，4）．【解答】解：由題意，畫出平行四邊形ABCD，如圖所示：由圖可知：D（2，4）．故答案為：D（2，4）．15．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為2.5．【解答】解：連接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，∴EF＝DN，由題意得，當點N與點B重合是DN最大，最大值為5，∴EF長度的最大值為2.5，故答案為：2.5．16．如圖，△ABC中，BC＝20，AC＝14，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延長AE交BC于點F，D是AB的中點，求DE的長．【解答】解：∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠FEC＝90°，又∵CE平分∠ACB，∠ACE＝∠FCE，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE（ASA），∴AE＝EF，F(xiàn)C＝AC＝14，∴BF＝BC﹣FC＝6，又∵D是AB的中點，∴AD＝BD，∴DE是△ABF的中位線，∴DE＝BF＝3．17．如圖，已知△ABC，分別以它的三邊為邊長，在BC邊的同側(cè)作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求證：四邊形ADEF是平行四邊形．【解答】證明：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EB