人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第05講 正方形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第05講正方形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①正方形的定義與性質(zhì)②正方形的判定③中點(diǎn)四邊形熟悉正方形的定義，掌握正方形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。掌握正方形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定正方形。掌握中點(diǎn)四邊形的定義，能夠熟練的根據(jù)四邊形的性質(zhì)判斷中點(diǎn)四邊形的形狀。知識(shí)點(diǎn)01正方形的定義與性質(zhì)正方形的定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，還是特殊的菱形。正方形的性質(zhì)：同時(shí)具有平行四邊形、矩形以及菱形的一切性質(zhì)?！炯磳W(xué)即練1】1．下列有關(guān)特殊平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)法正確的是（）A．菱形的對(duì)角線相等 B．矩形的對(duì)角線互相垂直 C．菱形的四個(gè)角相等 D．正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等【解答】解：A．因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．正方形、矩形的四個(gè)角相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．D．因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直且相等，所以D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【即學(xué)即練2】2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP＝OB，則CP的長(zhǎng)為（）A． B． C．0.5 D．1【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BD＝BC＝2，∴BO＝，∴BP＝OB＝，∴CP＝BC﹣BP＝2﹣，故選：A．【即學(xué)即練3】3．在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝（）A．75° B．60° C．50° D．45°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，故選：D．知識(shí)點(diǎn)02正方形的判定直接判定：四條邊相等，四個(gè)角也相等的四邊形是正方形。符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°?！嗨倪呅蜛BCD是正方形利用平行四邊形、矩形以及菱形判定：先判定四邊形是平行四邊形，在判定它是矩形和菱形即可判定為正方形。①平行四邊形＋鄰邊相等＋一個(gè)角是90°。符號(hào)語(yǔ)言：在?ABCD中，∵AB＝BC，且∠ABC=90°∴?ABCD是正方形②平行四邊形＋鄰邊相等＋對(duì)角線相等。符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AB＝BC且AC＝BD∴?ABCD是正方形③平行四邊形＋對(duì)角線垂直＋一個(gè)角是90°符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AC⊥BD且∠ABC＝90°∴?ABCD是正方形④平行四邊形＋對(duì)角線垂直＋對(duì)角線相等。符號(hào)語(yǔ)言：?ABCD中∵AC⊥BD且AC＝BD∴?ABCD是正方形可先證矩形再證菱形，也可先證菱形，再證矩形。【即學(xué)即練1】4．若?ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)OA＝OD時(shí)，?ABCD為菱形 B．當(dāng)AB＝AD時(shí)，?ABCD為正方形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，?ABCD為矩形 D．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，?ABCD為矩形【解答】解：當(dāng)OA＝OD時(shí)，平行四邊形ABCD是不一定是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)AB＝AD時(shí)，?ABCD不一定為正方形，故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，?ABCD為矩形，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，?ABCD為是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】5．已知菱形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，添加條件AC＝BD或AB⊥BC可使菱形ABCD成為正方形．【解答】解：根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的條件為：AC＝BD或AB⊥BC．【即學(xué)即練3】6．如圖，已知矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分線交于BC邊上一點(diǎn)E．點(diǎn)F為矩形外一點(diǎn)，四邊形AEDF為平行四邊形．求證：四邊形AEDF是正方形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°，∵AE，DE平分∠BAD與∠CDA，∴，，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，∴?AEDF是正方形．知識(shí)點(diǎn)03中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形的定義：連接四邊形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。中點(diǎn)四邊形的形狀：①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。②對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形。③對(duì)角線相互垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形?！炯磳W(xué)即練1】7．順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的圖形為矩形．【解答】解：菱形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，則AC⊥BD，∴EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，∴EH∥FG，同理得EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同理得：四邊形ENOM是平行四邊形，∴∠FEH＝∠NOM＝90°，∴?EFGH是矩形，∴順次連接菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是矩形；故答案為：矩形．【即學(xué)即練2】8．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為矩形，四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等 C．一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行 D．對(duì)角線互相平分【解答】解：要是四邊形EHGF是矩形，應(yīng)添加條件是對(duì)角線互相垂直，理由是：連接AC、BD，兩線交于O，根據(jù)三角形的中位線定理得：EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH一定是平行四邊形，∴EF∥AC，EH∥BD，∵BD⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF＝90°，故選：A．題型01利用正方形的性質(zhì)求線段或周長(zhǎng)【典例1】如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，作EF⊥AD于點(diǎn)F，連接DE，若DF＝2．則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．2.5【解答】解：∵邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD，∴AD＝6，∠EAF＝45°，∵DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2﹣4，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝∠DFE＝90°，∴∠AEF＝∠EAF＝45°，∴EF＝AF＝4，由勾股定理，得．故選：B．【變式1】如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，則BN的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CM于E，∵DN⊥CM，BE⊥CM，∴∠DNC＝∠CEB＝90°，∴∠DCN+∠CDN＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠DCN+∠BCE＝90°，∴∠CDN＝∠BCE，∴△DCN≌△CBE（AAS），∴DN＝CE，CN＝BE，∵DN＝2CN＝2，∴CN＝BE＝1，CE＝2，∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，∴EN＝BE＝1，∵∠BEN＝90°，∴△BNE是等腰直角三角形，∴BN＝BE＝．故選：B．【變式2】如圖所示，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，又∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），∴BE＝CF＝3，又∵AB＝BC，∴AE＝BF＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．故選：C．【變式3】如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF＝CE，BF＝2AF．連接DF、DE、EF，EF與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)G，則線段BG的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AC于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DAF＝∠DCE，∵AF＝CE，∴△DFA≌△DEC（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，∵BF＝2AF，∴AF＝1，BF＝2，∴DF＝＝＝DE，∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝2，∵FH∥BC，∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，又∵∠BAC＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AF＝CE，∵∠FGH＝∠EGC，∴△FGH≌△EGC（AAS），∴FG＝EG，∵∠ABC＝90°，∴BG＝EF＝，故選：A．【變式4】如果一個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無(wú)縫隙，就稱為“優(yōu)美長(zhǎng)方形”如圖，“優(yōu)美長(zhǎng)方形”ABCD的周長(zhǎng)為78，則正方形c的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．15【解答】解：設(shè)正方形b的邊長(zhǎng)為x，則正方形a、c、d的邊長(zhǎng)分別為2x、3x、5x，∵“優(yōu)美長(zhǎng)方形”ABCD的周長(zhǎng)為78，∴2（AB+BC）＝78，∴2（5x+8x）＝78，∴x＝3，∴正方形c的邊長(zhǎng)為3x＝9，故選：B．【變式5】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP、EF．給出下列結(jié)論：①；②四邊形PECF的周長(zhǎng)為8；③EF的最小值為2；④AP＝EF；⑤AP⊥EF．其中正確的結(jié)論有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∵PF⊥CD，∴PD＝PF．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴PF＝EC，∴PD＝EC．∴①的結(jié)論正確；②∵∠CDB＝∠CBD＝45°，PE⊥BC，PF⊥CD，∴△PBE和△PDF為等腰直角三角形，∴PE＝BE，PF＝DF∴四邊形PECF的周長(zhǎng)＝EC+CF+PF+PE＝EC+BE+CF+DF＝BC+CD＝4+4＝8，∴②的結(jié)論正確；④連接PC，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，AD＝BC，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS）．∴AP＝PC．由①知：四邊形PECF為矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF．∴④的結(jié)論正確；③由④知：AP＝EF，∴當(dāng)AP取最小值時(shí)，EF取得最小值，∵點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∴當(dāng)AP⊥BD，即點(diǎn)P為對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，AP的值最小，此時(shí)AP＝AB＝2，∴EF的最小值為2，∴③的結(jié)論不正確；⑤延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，∵PE⊥BC，PG⊥AB，∴四邊形GBEP為正方形，∴PG＝PE＝BG，∠GPE＝90°，∴∠APG+∠EPH＝90°．∵FG＝BC，BC＝AB，∴FG＝AB．∴FG﹣PG＝AB﹣BG，∴AG＝PF．在△AGP和△FPE中，，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠APG＝∠FEP．∴∠FEP+∠HPE＝90°，∴∠PHE＝90°．∴AP⊥EF．∴⑤的結(jié)論正確；綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為：①②④⑤，共4個(gè)．故選：B．題型02利用正方形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)．連接BE，且AB＝AE，則∠EBC的度數(shù)是（）A．45° B．30° C．22.5° D．20°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°．∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故選：C．【變式1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB上，滿足DE＝AF，連接CE，DF，點(diǎn)P，Q分別是DF，CE的中點(diǎn)，連接PQ．若∠ADF＝α．則∠PQE可以用α表示為（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【解答】解：連接DQ，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵點(diǎn)P，Q分別是DF，CE的中點(diǎn)，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故選：B．【變式2】如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，AF⊥DE于點(diǎn)F，連接CF，設(shè)∠DAF＝α，若AF＝2DF，則∠DCF一定等于（）A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于G，則∠DGC＝∠CGE＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠DGC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDE＝90°，又∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠DAF＝∠CDE，∴△ADF≌△DCG（AAS），∴DF＝CG，AF＝DG，∵AF＝2DF，∴DG＝2DF，∴DF＝FG，∴CG＝FG，∴△CFG是等腰直角三角形，∴∠CFG＝45°，∵∠DAF＝α，∴∠CDE＝α，∵∠CFG＝∠CDE+∠DCF，∴∠DCF＝∠CFG﹣∠CDE＝45°﹣α；故選：A．【變式3】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED交AB于點(diǎn)F，連接BE，DF，若∠ADF＝α，則∠BEF的度數(shù)是（）A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴四邊形AMEN是矩形，∠BAE＝∠DAE＝45°，∴EM＝EN，四邊形AMEN是正方形，∴∠MEN＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠MEF＝∠NED＝90°﹣∠FEN，在△EMF和△END中，，∴△EMF≌△END（ASA），∴EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∵∠ADF＝α，∴∠AFD＝90°﹣α，∴∠BFD＝180°﹣（∠AFD+EFD）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴BE＝EF，∴∠BFE＝∠EBF＝45°+α，∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠EBF）＝180°﹣2（45°+α）＝90°﹣2α．故選：C．【變式4】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N、P分別在AB、CD、BD上，∠MPN＝90°，MN經(jīng)過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，若∠PMN＝α，則∠AMP一定等于（）A．2α B．45°+α C．90﹣ D．135°﹣α【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O為MN的中點(diǎn)，∴OP＝MN＝OM，∵∠PMN＝α，∴∠MPO＝α，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝α+45°，故選：B．題型03利用正方形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)是（0，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1）【解答】解：有兩種情況：（1）連接AC，∵四邊形OABC是正方形，∴點(diǎn)A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴AC所在直線為OB的垂直平分線，即A、C的橫坐標(biāo)均為1，根據(jù)正方形對(duì)角線相等的性質(zhì)，AC＝BO＝2，又∵A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣1，故A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），（2）當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C位置互換，同理可得出A點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣1），故選：D．【變式1】如圖，正方形ABCO中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，1）．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，∵∠AOC＝∠CDO＝90°，∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠AOE，在△OCD和△AOE中，，∴△OCD≌△AOE（AAS），∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，∴C的坐標(biāo)為（﹣，1）；故答案為：（﹣，1）．【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，1+）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，CF⊥y軸，如圖：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，1+）．故答案為：（，1+）．【變式3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD的頂點(diǎn)C，D在第二象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，3）．【解答】解：作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°，BC＝AB，∴∠EBC＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，在△BEC和△AOB中，，∴△BEC≌△AOB（AAS），∵A（0，2），B（﹣3，0），∴EB＝OA＝2，EC＝OB＝3，∴OE＝OB+EB＝5，∴C（﹣5，3），故答案為：（﹣5，3）．【變式4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)在x軸上，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)M，OM＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，8）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，連接EM，如圖所示：∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位線，∴MF＝（AO+EC），∵M(jìn)F⊥OE，∴MO＝ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB＝CE，AO＝BE．∴MF＝（BE+OB），又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵M(jìn)O＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE＝＝12，∵A（0，4），∴OA＝4，∴BE＝4，∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．∴C（12，8）．故答案為：（12，8）．題型04正方形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，仍不能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等邊三角形【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴A、C不符合題意；∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴矩形ABCD成為正方形，∴B不符合題意；∵添加△OCD是等邊三角形，不能使矩形ABCD成為正方形，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【變式1】如圖，AC和BD是菱形ABCD的對(duì)角線，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使其成為正方形，下列條件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：設(shè)對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，①∵對(duì)角線相等的菱形是正方形；∴補(bǔ)充條件AC＝BD，可以使四邊形ABCD成為為正方形，②∵菱形的對(duì)角線具有AC⊥BD，∴補(bǔ)充條件AC⊥BD，不能使四邊形ABCD成為為正方形，③∵AB2+AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴菱形ABCD為正方形，∴補(bǔ)充條件AB2+AD2＝BD2，可以使四邊形ABCD成為為正方形，④當(dāng)∠ACD＝∠ADC時(shí)，AC＝AD，又∵AD＝CD，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ADC＝60°，∴補(bǔ)充條件∠ACD＝∠ADC，不能使四邊形ABCD成為為正方形．綜上所述：當(dāng)補(bǔ)充的條件①③時(shí)，可以使四邊形ABCD成為為正方形．故選：B．【變式2】如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM＝DN．求證：四邊形EFMN是正方形．【解答】解：四邊形EFMN是正方形．證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四邊形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四邊形EFMN是正方形．【變式3】如圖，四邊形AECF是菱形，對(duì)角線AC、EF交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、B是對(duì)角線EF所在直線上兩點(diǎn)，且DE＝BF，連接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面積為72，BF＝4，求點(diǎn)F到線段AE的距離．【解答】（1）證明：∵菱形AECF的對(duì)角線AC和EF交于點(diǎn)O，∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴BO＝DO，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：∵正方形ABCD的面積為72，∴AC?BD＝72，∴×4BO2＝72，∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，∴AC＝12，∵BF＝4，∴OF＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面積＝AC?EF＝24，在Rt△AOE中，AE＝＝2，設(shè)點(diǎn)F到線段AE的距離為h，∴AE?h＝24，即2h＝24，∴h＝．即點(diǎn)F到線段AE的距離為．【變式4】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值為6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．【變式5】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四邊形ABEF是正方形；（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，，∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，∴四邊形ABEF是正方形；∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，∴DF＝﹣1，∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°，∴DF＝OF＝﹣1．∴OF＝﹣1．【變式6】如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF∥AE．（1）求證：四邊形BECF是菱形；（2）當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECF是正方形；（3）在（2）的條件下，若AC＝4，則四邊形ABFC的面積為12．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠FCB＝∠FBC，∵CF∥AE∴∠FCB＝∠CBE，∴∠FBC＝∠CBE，∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，∴△FDB≌△EDB（ASA），∴BF＝BE，∴BE＝EC＝FC＝BF，∴四邊形BECF是菱形；（2）解：當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECF是正方形，理由如下：若四邊形BECF是正方形，則∠ECB＝∠FCB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，∵∠A＝45°，∴∠AEC＝90°，由（1）知四邊形BECF是菱形，∴四邊形BECF是正方形；故答案為：45；（3）解：由（2）知，四邊形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，∴四邊形ABFC的面積為＝12，故答案為：12．題型05中點(diǎn)四邊形【典例1】如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：如圖，連接AC，∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點(diǎn)，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選：A．【變式1】順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，它的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解答】解：四邊形EFGH是菱形；理由如下：連接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴AC＝BD，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC同理，F(xiàn)G＝BD，F(xiàn)G∥BD，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故選：C．【變式2】四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，下列條件中能使四邊形EFGH為矩形的是（）A．AB⊥BC B．AB＝BD C．AC＝BD D．AC⊥BD【解答】證明：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF＝AC，GH＝AC，∴EF＝GH，同理EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；當(dāng)對(duì)角線AC、BD互相垂直時(shí)，如圖所示，∴EF與FG垂直．∴四邊形EFGH是矩形．故選：D．【變式3】如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形 B．若四邊形ABCD是任意矩形，則存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形 C．若四邊形ABCD是任意菱形，則存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形 D．若四邊形ABCD是任意矩形，則至少存在一個(gè)四邊形EFGH是正方形【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，過(guò)點(diǎn)O直線EG和HF，分別交AB，BC，CD，AD于E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH是平行四邊形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是平行四邊形；故A選項(xiàng)不符合題意；如圖，當(dāng)EG＝HF時(shí)，四邊形EFGH是矩形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形；故B選項(xiàng)不符合題意；如圖，當(dāng)EG⊥HF時(shí)，存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形；故C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，EH＝HG，則△AEH≌△DHG，∴AE＝HD，AH＝GD，∵GD＝BE，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形EFGH是正方形，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．1．菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等 C．四條邊相等，四個(gè)角相等 D．兩組對(duì)邊分別平行且相等【解答】解：A、矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，故本選項(xiàng)不符合題意；B、菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、矩形的四條邊不一定相等，菱形的四個(gè)角不應(yīng)當(dāng)相等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、菱形、矩形、正方形的兩組對(duì)邊分別平行且相等，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是矩形；③當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是正方形．其中結(jié)論正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故A正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD不一定是矩形，故B錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD不一定是正方形，故C錯(cuò)誤，故選：B．4．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝8cm，則四邊形EFGH的面積是（）A．48cm2 B．32cm2 C．24cm2 D．12cm2【解答】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AE＝AB＝3cm，AH＝AD＝4cm，AE＝DG，∴S△EAH＝×3×4＝6（cm2），在△EAH和△GDH中，，∴△EAH≌△GDH（SAS），同理可得：△EAH≌△GDH≌△GCF≌△EBH，∴四邊形EFGH的面積為：6×8﹣6×4＝24（cm2），故選：C．5．隨著科技的進(jìn)步，機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．如圖為正方形形狀的擦窗機(jī)器人，其邊長(zhǎng)是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN為窗戶的邊緣，擦窗機(jī)器人的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別落在PM、PN上，PA＝14cm，將擦窗機(jī)器人繞中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得AD∥PM，則旋轉(zhuǎn)角度是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：如圖，連接A'O，連接AO交A'D'于點(diǎn)E，∵PA＝14cm，AB＝28cm，∴cos∠PAB＝＝，∴∠PAB＝60°，∴∠PAO＝105°，∵A'D'∥PM，∴∠PAO＝∠A'EO＝105°，∴∠A'OA＝180﹣105°﹣45°＝30°，∴旋轉(zhuǎn)角為30°，故選：B．6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．【解答】解：延長(zhǎng)BF交AE于點(diǎn)G，如圖所示：∵AE＝FC，BF＝DE，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠DAE＝∠BCF，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC，∵AD＝10，DE＝6，AE＝8，102＝62+82，∴∠DEA＝90°＝∠BFC，∵∠DAE+∠BAG＝∠DAE+∠ADE＝90°，∠CBF+∠ABG＝∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BAG＝∠ADE，∠ABG＝∠BCF，∴∠ADE＝∠CBF＝∠BAG，∠DAE＝∠BCF＝∠ABG，∵AD＝CB＝BA，∴△ADE≌△CBF≌△BAG（SAS），∴∠AGB＝90°，AG＝DE＝BF＝6，BG＝AE＝FC＝8，∴∠EGF＝90°，EG＝AE﹣AG＝2，GF＝BG﹣BF＝2，∴．故選：C．7．小明用四根相同長(zhǎng)度的木條制作了一個(gè)正方形學(xué)具（如圖1），測(cè)得對(duì)角線，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖2），∠DAB＝60°，則圖2中對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．20cm B． C． D．【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，AC＝10cm，∴AB＝AD＝AC＝10cm，在圖2中，連接BD交AC于O，∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，∴△ABD是等邊三角形，則BD＝10cm，∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，∴AO＝＝＝5（cm），∴AC＝2AO＝10（cm），故選：C．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG，下列結(jié)論中不正確的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．【解答】解：如圖，作EK⊥BC于點(diǎn)K，EL⊥CD于點(diǎn)L，則∠EKF＝∠ELD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠BCA＝∠DCA，∴EK＝EL，∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，∴四邊形EKCL是矩形，∵四邊形DEFG是矩形，∴∠KEL＝∠FED＝90，∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，∴△FEK≌△DEL（ASA），∴DE＝FE，∴矩形DEFG是正方形，故A正確；∵∠EDG＝∠ADC＝90°，∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，∵CD＝AD，GD＝ED，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴CG＝AE，∴CE+CG＝CE+AE＝AC，∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，∴AC＝AB＝9，∴CE+CG＝9，故D正確；∵△CDG≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠DCG＝45°，∴CG平分∠DCH，故C正確；∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，∴∠CEF≠∠ADE，故B不正確，故選：B．9．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P作直線PD交BC于點(diǎn)E，過(guò)P作直線GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下結(jié)論：①△ABP為等邊三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠APD＝∠DEC，∴∠ADE＝∠APD，∴AP＝AD，∴AP＝AB∵∠EDC＝15°，∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，∴△ABP是等邊三角形；故①正確．②如圖，過(guò)點(diǎn)G作GK∥AD交CD于K，連接DG，則∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，∴∠GKH＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，∴四邊形ADKG是矩形，∴GK＝AD＝CD，∵GH＝DE，∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），∴∠GHK＝∠DEC，∵∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠GHK+∠EDC＝90°，∴∠DPH＝90°，∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，∵∠DPG+∠BAD＝180°，∴四邊形ADPG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DGP＝∠DAP＝30°，∴DG＝2PD，在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，故②正確；③如圖，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥AD于L，交BC于J，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BP于M，則四邊形BALJ是矩形，∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，∵AP＝BP，∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），∴PL＝PJ，在△PEJ和△PDL中，，∴△PEJ≌△PDL（ASA），∴PJ＝PD，∵EM⊥BP，∴∠BME＝∠PME＝90°，∵LJ∥AB∥CD，∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，∴△PEM是等腰直角三角形，∴PM＝EM＝PE＝PD，∵∠ABP＝60°，∴∠EBM＝30°，∴BE＝2ME＝PD，∴BM＝＝＝PD，∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，∴S△PBE＝BP?EM＝×PD?PD＝PD2，故③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交PG的延長(zhǎng)線于N，連接DG，∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，∴∠GBN＝∠EBP，∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，∵∠BGP+∠BGN＝180°，∴∠BGN＝∠BEP，由②知，∠DGP＝30°，∴∠GDP＝60°，∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，∴△DGA≌△DEC（ASA），∴AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGN≌△BEP（ASA），∴BN＝BP，GN＝PE，∴△BPN是等腰直角三角形，∴PN＝BP，∵PN＝PG+GN＝PE+PG，∴BP＝PE+PG，故④正確；故選：C．10．如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：已知第一個(gè)矩形的面積為1；第二個(gè)矩形的面積為原來(lái)的（）2×2﹣2＝；第三個(gè)矩形的面積是（）2×3﹣2＝；…故第n個(gè)矩形的面積為：（）2n﹣2＝（）n﹣1．故選：D．11．小華在復(fù)習(xí)四邊形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，繪制了如圖所示的框架圖，④號(hào)箭頭處可以添加的條件是有一組鄰邊相等（答案不唯一）．（寫(xiě)出一種即可）【解答】解：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故答案為：有一組鄰邊相等（答案不唯一）．12．已知正方形ABCD，分別以BC，DC為邊長(zhǎng)作等邊△BEC和等邊△DCF，連接EF，則∠CEF＝15°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵△BEC和△DCF都是等邊三角形，∴BC＝EC，CD＝CF，∠BCE＝∠DCF＝60°，∴EC＝FC，∠ECF＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF＝150°，∴∠CEF＝15°，故答案為：15．13．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)．若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則圖中陰影部分圖形的面積為1．【解答】解：設(shè)A′O與AB交于點(diǎn)E，C′O與BC交于點(diǎn)F，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．∴∠AOE+∠BOE＝90°．又∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．所以△AEO≌△BFO（ASA）．∴四邊形EBFO面積＝△BEO面積+△BFO面積＝△BEO面積+△AEO面積＝△ABO面積．因?yàn)檎叫蜛BCD邊長(zhǎng)為2，∴正方形面積為4，∴△ABO面積為1．所以陰影部分面積為1．故答案為1．14．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)在線段AC上以1cm/s的速度反向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別到達(dá)A，C兩點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．連接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，當(dāng)t＝3s時(shí)，四邊形DEBF為正方形．【解答】解：由題意得OE＝OF＝tcm，∴EF＝2tcm，∵菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形，∴當(dāng)EF＝BD時(shí)，四邊形DEBF是正方形，∵△ABD是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴當(dāng)t＝3s時(shí)，四邊形DEBF是正方形，故答案為：3．15．如圖，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，則GE的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，作EP垂直于GA，交GA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．∵∠CAB+∠PAB＝90°，∠PAB+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠PAE．在△BCA和△EPA中，∠BCA＝∠EPA，∠CAB＝∠PAE，BA＝EA，∴△BCA≌△EPA（AAS），即PE＝BC＝＝3，AP＝AC＝4．∴GE＝＝．故答案為：．16．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△CDP中，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵∠PAE＝∠E，∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（對(duì)頂角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°．17．定義：若一個(gè)四邊形滿足三個(gè)條件①有一組對(duì)角互補(bǔ)，②一組鄰邊相等，③相等鄰邊的夾角為直角，則稱這樣的四邊形為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱為“直等補(bǔ)”四邊形．根據(jù)以上定義，解答下列問(wèn)題．（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在CB邊的延長(zhǎng)線上，且DE＝BF，連接AE，AF，請(qǐng)根據(jù)定義判斷四邊形AFCE是否是“直等補(bǔ)”四邊形，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB＝AD，若AB＝20，CD＝4，求BC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形AFCE是“直等補(bǔ)”四