人教版初中數(shù)學同步講義八年級下冊第05講 一次函數(shù)（2）（3個知識點+5類熱點題型講練+習題鞏固）（原卷版）

第05講一次函數(shù)（2）課程標準學習目標①一次函數(shù)圖像的平移②一次函數(shù)解析式③一次函數(shù)的應用掌握一次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，并能夠熟練的運用。掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并熟練應用其求一次函數(shù)解析式。掌握一次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能夠熟練的運用一次函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關的實際問題。知識點01一次函數(shù)圖像的平移一次函數(shù)的平移變換：①一次函數(shù)的左右平移：函數(shù)在進行左右平移時，平移變換規(guī)律為在上加減平移單位。左加右減。=1\*ROMANI：若函數(shù)向左平移個單位長度，則平移后得到的函數(shù)解析式為。=2\*ROMANII：若函數(shù)向右平移個單位長度，則平移后得到的函數(shù)解析式為。②一次函數(shù)的上下平移：函數(shù)在進行上下平移時，平移變換規(guī)律為在上加減平移單位。上加下減。=1\*ROMANI：若函數(shù)向上平移個單位長度，則平移后得到的函數(shù)解析式為。=2\*ROMANII：若函數(shù)向下平移個單位長度，則平移后得到的函數(shù)解析式為。【即學即練1】1．把直線l：y＝﹣2x沿x軸正方向向右平移2個單位得到直線l′，則直線l'的解析式為（）A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+2 C．y＝2x+4 D．y＝﹣2x﹣2【即學即練2】2．將直線y＝2x﹣1向上平移3個單位長度，得到的直線的解析式是（）A．y＝2x+5 B．y＝2x﹣7 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣4拓展：一次函數(shù)的對稱變換：一、函數(shù)關于軸對稱：若函數(shù)關于軸對稱，函數(shù)的自變量，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?。即關于軸對稱的函數(shù)解析式為。函數(shù)關于軸對稱：若函數(shù)關于軸對稱，函數(shù)的函數(shù)值，自變量變?yōu)樵瓉淼摹＜搓P于軸對稱的函數(shù)解析式為。拓展：一次函數(shù)的翻折變換：在函數(shù)解析式上添加絕對值符號相當于把函數(shù)圖像在x軸下方的部分沿x軸向上翻折。在函數(shù)解析式的自變量上加絕對值符號相當于把函數(shù)解析式y(tǒng)軸左邊的圖像去掉，再把右邊的部分沿y軸向左翻折，翻折前后的兩部分為新的函數(shù)圖像。【即學即練1】3．將的圖象沿y軸向上平移2個單位長度后，再沿x軸翻折所得函數(shù)圖象的對應的函數(shù)表達式為（）A． B． C． D．【即學即練2】4．學習“一次函數(shù)”時，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究了一次函數(shù)的性質(zhì)，并積累了一些經(jīng)驗和方法，嘗試用你積累的經(jīng)驗和方法解決下面問題．x…﹣3﹣2﹣10123…y……（1）在平面直角坐標系中，畫函數(shù)y＝|x|+1的圖象：①列表：完成表格；②畫出y＝|x|+1的圖象；（2）結合所畫函數(shù)圖象，寫出y＝|x|+1兩條不同的性質(zhì)；（3）直接寫出函數(shù)y＝|x|的圖象是由函數(shù)y＝|x|+1的圖象怎樣得到的？知識點02待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：具體步驟：①設：設一次函數(shù)解析式。②找點：找一次函數(shù)圖像上的點。③帶入：將找到的點的坐標帶入函數(shù)解析式中得到方程（或方程組）。④解：解③中得到的方程（或方程組），求出的值。⑤反帶入：將求出的的值帶入函數(shù)解析式中得到函數(shù)解析式?！炯磳W即練1】5．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（﹣1，4），B（1，﹣2）兩點．（1）求該一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出函數(shù)圖象與兩坐標軸的交點坐標．知識點03一次函數(shù)的應用分段函數(shù)：在一次函數(shù)的實際應用中，最常見為分段函數(shù)。分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。關鍵點：①分段函數(shù)各段的函數(shù)解析式。②各個拐點的實際意義。③函數(shù)交點的實際意義。一次函數(shù)的綜合：（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題首先要根據(jù)題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到的取值范圍，進而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值。（3）用函數(shù)圖象解決實際問題從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應的問題。解決一次函數(shù)的實際應用題必須弄清楚自變量的取值范圍?！炯磳W即練1】6．2023年7月28日至2023年8月8日，第31屆世界大學生夏季運動會在成都成功舉辦，美麗的東安湖體育公園給國內(nèi)外朋友留下了深刻的印象；在公園建設過程中，準備在一塊草地上種植甲、乙兩種花卉，經(jīng)市場調(diào)查，甲種花卉的種植單價y（元）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關系如圖所示，乙種花卉的種植費用為每平方米100元．（1）直接寫出當0≤x≤400和x＞400時，y與x的函數(shù)關系式；（2）廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共1000m2最終花費為121000元，那么甲、乙兩種花卉的種植面積分別為多少？題型01求平移前后的函數(shù)解析式【典例1】將直線y＝3x向上平移2個單位長度，所得直線的關系式為（）A．y＝3x+2 B．y＝3（x+2） C．y＝3（x﹣2） D．y＝3x﹣2【變式1】將函數(shù)y＝2x+3的圖象向上平移2個單位長度，所得直線對應的函數(shù)表達式為（）A．y＝2x+1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+4 D．y＝2x+5【變式2】將一次函數(shù)y＝﹣3x﹣1的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達式為（）A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4【變式3】把直線沿y軸向上平移2個單位長度得到直線y＝﹣2x﹣1，則平移前直線的函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣2x+1 B．y＝﹣4x﹣3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣1【變式4】在平面直角坐標系中，將一條直線向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到直線y＝2x﹣6，則平移前的直線解析式為：．題型02利用函數(shù)的平移求值【典例1】在平面直角坐標系中，若要使直線y1＝﹣4x+4平移后得到直線y2＝﹣4x﹣1，則應將直線y1（）A．向上平移5個單位 B．向下平移5個單位 C．向左平移5個單位 D．向右平移5個單位【變式1】將一次函數(shù)y＝﹣5x+3的圖象向下平移m個單位長度，使其成為正比例函數(shù)，則m的值為（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5【變式2】將一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象沿y軸向上平移m個單位長度后經(jīng)過點（1，4），則m的值為（）A．6 B．5 C．﹣5 D．﹣6【變式3】已知直線l1與x軸交于點A（﹣2，0），且直線l1與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，將直線l1向下平移m（m＞0）個單位得到直線l2，直線l2交x軸于點B，若點A與點B關于y軸對稱，則m的值為（）A．8 B．7 C．6 D．5【變式4】在平面直角坐標系中，將一次函數(shù)y＝3x+m（m為常數(shù)）的圖象向上平移2個單位長度后恰好經(jīng)過原點，若點A（﹣1，a）在一次函數(shù)y＝3x+m的圖象上，則a的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣5【變式5】如圖，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，以OB為斜邊在y軸右側作Rt△OBC且∠OBC＝30°，將直線y＝2x+4向下平移m個單位，使平移后的直線經(jīng)過點C，則m的值是（）A． B．8 C． D．4【變式6】圖象法是函數(shù)的表示方法之一，下面我們就一類特殊的函數(shù)圖象展開探究．x…﹣3﹣2﹣10123…y1＝2|x|…6420246…畫函數(shù)y1＝2|x|的圖象，經(jīng)歷列表、描點、連線過程得到函數(shù)圖象如圖所示：探究發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y2＝2|x﹣2|的圖象是由y1＝2|x|向右平移2個單位得到；函數(shù)y3＝2|x﹣2|+3的圖象是由y2＝2|x﹣2|向上平移3個單位得到．（1）函數(shù)y3＝2|x﹣2|+3的最小值為；（2）函數(shù)y4＝2|x﹣m|+3在﹣2≤x≤1中有最小值4，則m的值是．題型03函數(shù)的對稱【典例1】若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y＝﹣x+2的圖象關于y軸對稱，則k＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】已知直線與直線l關于x軸對稱，則直線l與y軸的交點坐標是（）A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（2，0） D．（﹣2，0）【變式2】已知直線l1的表達式為y＝﹣2x+b，若直線l1與直線l2關于y軸對稱，且l2經(jīng)過點（1，6），則b的值為（）A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4【變式3】在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x+2與y＝kx+b關于x軸對稱，那么對于一次函數(shù)y＝kx+b，當x每增加1時，y增加（）A．12 B．6 C．3 D．1題型04求一次函數(shù)解析式【典例1】已知y是關于x的一次函數(shù)，且點A（0，4），B（﹣2，0）在此函數(shù)圖象上．（1）求這個一次函數(shù)的表達式；（2）當y≥﹣1時，求x的取值范圍．【變式1】已知y﹣2和x成正比例，且當x＝1時，當y＝1．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）若點P（3，m）在這個函數(shù)圖象上，求m的值．【變式2】如圖，直線l經(jīng)過點A（1，6）和點B（﹣3，﹣2）．（1）求直線l的解析式，直線與坐標軸的交點坐標；（2）求△AOB的面積．【變式3】一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，b為常數(shù)）的部分對應值如下表：x…012…y…12a2a+3…則該一次函數(shù)的表達式為（）A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1【變式4】在平面直角坐標系中，已知直線l：y＝kx+b過點A（2，2），且與坐標軸交于點B，則當△OAB的面積為2，且直線l與y軸不平行時，直線l的表達式為．題型05一次函數(shù)的應用——圖像分析【典例1】天氣轉暖，正是露營好時節(jié)．周六，小聯(lián)同學一家從家出發(fā)，開車勻速前往離家30千米的露營基地．行駛0.5小時后，到達露營基地．在基地玩耍一段時間后，按照原路返程回家．由于車流增加，平均行駛速度比去基地的平均速度少．在整個運動過程中，小聯(lián)同學距家的距離y（千米）與所用時間x（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示，下列說法不正確的是（）A．去基地的平均速度是每小時60千米 B．露營玩耍的時長為4小時 C．回家的平均速度是每小時50千米 D．與家相距10千米時，x的值為4.74【變式1】小李家，小明家，學校依次在一條直線上．某天，小李和小明相約回家取球拍后回學校打球．他們同時從學校出發(fā)勻速返回家中，兩人同時到家，小李到家取完球拍后立即以另一速度返回學校，小明取完球拍在家休息了4min后按原速返回，且同時到達學校（兩人找球拍時間忽略不計）．小李和小明與學校的距離y（m）與兩人出發(fā)時間x（min）的函數(shù)關系如圖所示．下列描述中，錯誤的是（）A．小李家距離學校1200m B．小明速度為62.5m/min C．小李返回學校的速度為m/min D．兩人出發(fā)16min時，小李與小明相距【變式2】甲、乙兩人沿同一條路從A地出發(fā)，去往100千米外的B地，甲、乙兩人離A地的距離（千米）與時間t（小時）之間的關系如圖所示，以下說法正確的是（）A．甲出發(fā)2小時后兩人第一次相遇 B．乙的速度是30km/h C．甲乙同時到達B地 D．甲的速度是60km/h【變式3】小明早晨7：20從家里出發(fā)步行去學校（學校與家的距離是1000米），4分鐘后爸爸發(fā)現(xiàn)小明數(shù)學書沒帶，騎電瓶車去追趕，7：26追上小明并將數(shù)學書交給他（交接時間忽略不計），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，7：30小明到達學校，同時爸爸也正好到家．如圖，線段OA與折線B﹣C﹣D分別表示小明和爸爸離開家的距離s（米）關于時間t（分鐘）的函數(shù)圖象，下列說法錯誤的是（）A．小明步行的速度為每分鐘100米 B．爸爸出發(fā)時，小明距離學校還有600米 C．爸爸回家時的速度是追趕小明時速度的一半 D．7：25和7：27時，父子倆均相距200米【變式4】甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，勻速前往B地、A地，兩人相遇時停留了4min，又各自按原來速度前往目的地，甲、乙兩人之間的距離y（m）與甲所用時間x（min）之間的函數(shù)關系如圖所示，給出下列結論：①A、B之間的距離為1200m；②24min時，甲、乙兩人中有一人到達目的地；③b＝800；④a＝32，其中正確的結論個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5】如圖，甲乙兩人騎車都從A地出發(fā)前往B地，已知甲先出發(fā)5分鐘后，乙才出發(fā)，乙在A，B之間的C地追趕上甲，當乙追趕上甲后，乙立即原路返回（掉頭時間忽略不計），甲繼續(xù)往B地前行，乙返回A地后停止騎行，甲到達B地后停止騎行．在整個騎行過程中，甲和乙都保持各自速度勻速騎行，甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時間x（分鐘）之間的關系如圖所示．下列結論：①A，B兩地相距6300米．②甲的速度為150米/分；乙的速度為227.5米/分．③乙用15分鐘追上甲．④圖中P點的坐標為（25，3750）．其中說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型05一次函數(shù)的應用——方案選擇（優(yōu)化）【典例1】某中學計劃組織八年級全體師生到紅色基地開展研學活動，需要租用甲、乙兩種客車共6輛，已知甲、乙兩種客車的租金分別為450元/輛和300元/輛，設租用乙種客車x輛，租車費為y元．（1）求y與x的函數(shù)表達式（寫出自變量x的取值范圍）；（2）若租用乙種客車的數(shù)量少于甲種客車的數(shù)量，租用乙種客車多少輛時，租車費有最少？最少費用是多少？【變式1】5G時代的到來，給人類生活帶來很多的改變．某營業(yè)廳現(xiàn)有A、B兩種型號的5G手機，進價和售價如表所示：進價（元/部）售價（元/部）A30003400B35004000（1）若該營業(yè)廳賣出70臺A型號手機，30臺B型號手機，可獲利43000元；（2）若該營業(yè)廳再次購進A、B兩種型號手機共100部，且全部賣完，設購進A型手機x臺，總獲利為W元．①求出W與x的函數(shù)表達式；②若該營業(yè)廳用于購買這兩種型號的手機的資金不超過330000元，求最大利潤W是多少？【變式2】為響應政府號召，某地水果種植戶借助電商平臺，在線下批發(fā)的基礎上同步在電商平臺線上零售水果．已知線上零售200kg、線下批發(fā)400kg水果共獲得18000元；線上零售50kg和線下批發(fā)80kg水果的銷售額相同．（1）求線上零售和線下批發(fā)水果的單價分別為每千克多少元？（2）該種植戶某月線上零售和線下批發(fā)共銷售水果4000kg，設線上零售mkg，獲得的總銷售額為w元：①請寫出w與m的函數(shù)關系式；②當線上零售和線下批發(fā)的數(shù)量相等時，求獲得的總銷售額為多少？【變式3】2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級地震，造成嚴重的人員傷亡和財產(chǎn)損失．為支援災區(qū)的災后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運費分別為30元和50元．（1）設從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運費y關于x的函數(shù)關系式；（2）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？【變式4】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進價共計110萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進價共計115萬元．（1）求A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？（2）若該公司計劃用400萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均要購買，且400萬元全部用完），問該公司有哪幾種購買方案，請通過計算列舉出來；（3）若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利0.8萬元，銷售1輛B型汽車可獲利0.5萬元，在（2）中的購買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少萬元？1．將一次函數(shù)y＝3x的圖象向右平移1個單位長度，平移后的圖象經(jīng)過坐標系的（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限2．已知y與x﹣2成正比例，且當x＝3時y＝4，則當x＝5時，y＝（）A．﹣12 B．12 C．16 D．﹣163．一次函數(shù)y＝kx﹣5的圖象經(jīng)過點（k，﹣1），且y隨x的增大而減小，則這個函數(shù)的表達式是（）A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x﹣5 C．y＝﹣2x﹣5 D．y＝2x﹣54．已知一次函數(shù)y＝ax+b，當﹣4≤x≤1時，對應y的取值范圍是1≤y≤16，則a+b的值是（）A．1 B．16 C．1或16 D．無法確定5．已知一條直線經(jīng)過點（0，﹣2）且與兩坐標軸圍成的三角形面積為3，則這條直線的表達式為（）A．或 B．或 C．y＝﹣3x﹣2或y＝﹣2x﹣2 D．或6．象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點（﹣2，﹣1）的位置，則在同一坐標系下，經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數(shù)解析式為（）第6題第8題A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣17．對于一次函數(shù)y＝﹣2x+4，①函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，②函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是（2，0），③函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得y＝﹣2x的圖象，④若兩點A（x1，y1），B（x2，y2）在該函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＜y2．以上結論，正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個8．某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關系是（）A．y＝20x B．y＝40﹣2x C． D．y＝x（40﹣2x）9．一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發(fā)前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數(shù)關系如圖所示，下列結論錯誤的是（）A．A，B兩村相距10km B．出發(fā)1.25h后兩人相遇 C．甲每小時比乙多騎行8km D．相遇后兩人又騎行了14min，此時兩人相距2km10．如圖，桿秤是利用杠桿原理來稱物品質(zhì)量的簡易衡器，其秤砣到秤紐的水平距離ycm與所掛物重xkg之間滿足一次函數(shù)關系．若不掛重物時，秤砣到秤紐的水平距離為2.5cm，掛1kg物體時，秤砣到秤紐的水平距離為8cm．則當秤砣到秤紐的水平距離為35.5cm時，秤鉤所掛物重為（）A．4.5kg B．6kg C．5.5kg D．7kg11．已知y﹣1與x+2成正比例，且當x＝1時，y＝﹣5，則y關于x的函數(shù)圖象不經(jīng)過第象限．12．一次函數(shù)y＝kx+b，當﹣3≤x≤1時，對應的函數(shù)值的取值范圍為1≤y≤9，求k+b的值．13．已知△ABC的頂點坐標分別為A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），當過點C的直線l將△ABC分成面積相等的兩部分時，直線l所表示的函數(shù)表達式為．14．如圖，在平面直角坐標系中，長方形ABCD的邊AB在x軸的正半軸上，點D和點B的坐標分別為（4，3）、（10，0），過點D的正比例函數(shù)y＝kx圖象上有一點P，使得點D為OP的中點，將y＝kx的圖象沿y軸向下平移得到y(tǒng)＝kx+b的圖象，若點P落在長方形ABCD的內(nèi)部，則b的取值范圍是．15．甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛，兩架無人機同時勻速上升