人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)-第六章-單元檢測(cè)（含解析）

第六章單元質(zhì)量評(píng)估卷(原卷版）[時(shí)間：120分鐘滿分：150分]一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))可以表示為()A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))3．向量a＝(－1，1)，且a與a＋2b方向相同，則a·b的取值范圍是()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，則B等于()A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)6．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱的水柱高度，某人在噴水柱正西方向的D處測(cè)得水柱頂端A的仰角為45°，沿D向北偏東30°方向前進(jìn)100m后到達(dá)C處，在C處測(cè)得水柱頂端A的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，則△ABC的面積S為()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C.eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)8.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D被陰影遮住，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．10 B．11C．12 D．13二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，則b可能是()A．(4，－8) B．(8，4)C．(－4，－8) D．(－4，8)10．若a，b，a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則()A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)·(a＋b)＝b·(a＋b)C．|a|＝|b|D．|a＋b|＝|a－b|11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，則cosB可以是()A．－eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(\r(5),3)12．△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是()A．|b|＝1 B．|a|＝1C．a(chǎn)∥b D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．14．同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量a，b，c兩兩夾角都是eq\f(2π,3)，則a－b與a＋c的夾角是________．15．在△ABC中，已知D為BC邊上一點(diǎn)，BC＝3BD，AD＝eq\r(2)，∠ADB＝135°，若AC＝eq\r(2)AB，則BD＝________．16．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲樓高為_(kāi)_____m，乙樓高為_(kāi)_______m．(本題第一空2分，第二空3分)四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量為－eq\f(b,|b|)，求：(1)a與b的夾角θ；(2)(a－2b)·b.18．(12分)如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．19．(12分)設(shè)向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a與b不共線．(1)求證：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若eq\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等，求角α.20．(12分)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2，②acosB＝bsinA，③sinB＋cosB＝eq\r(2)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．21．(12分)如圖所示，A，B兩個(gè)小島相距21nmile，B島在A島的正南方，現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9nmile/h的速度向B島行駛，而乙船同時(shí)以6nmile/h的速度離開(kāi)B島向南偏東60°方向行駛，問(wèn)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后，兩船相距最近，并求出兩船的最近距離．22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足eq\f(cosB,cosC)＋eq\f(b,c)＝eq\f(2a,c).(1)求角C的大??；(2)若邊長(zhǎng)c＝eq\r(3)，求a＋2b的最大值．1．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線應(yīng)滿足的條件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝12．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，則()A．λ1，λ2，λ3一定全為0B．λ1，λ2，λ3中至少有一個(gè)為0C．λ1，λ2，λ3可以全不為0D．λ1，λ2，λ3的值只有一組3．下列命題中，正確的是()A．a(chǎn)＝(－2，5)與b＝(4，－10)方向相同B．a(chǎn)＝(4，10)與b＝(－2，－5)方向相反C．a(chǎn)＝(－3，1)與b＝(－2，－5)方向相反D．a(chǎn)＝(2，4)與b＝(－3，1)的夾角為銳角4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，且b<c，則b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)5．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的內(nèi)角B，C之間的關(guān)系是()A．B>C B．B＝CC．B<C D．關(guān)系不確定6．在△ABC中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△ABD,S△ABC)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,2)7．設(shè)a，b是共線的單位向量，則|a＋b|的值()A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于28．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，則b等于()A．76 B．2eq\r(19)C．27 D．2eq\r(7)9.如圖，若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為()A.eq\f(16,5) B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5) D.eq\f(4,5)10．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形11．已知eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c且滿足λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))·c＝0(λ>0)，則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．不確定12．已知點(diǎn)A(2，3)，C(0，1)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．13．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2).(1)求A；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面積．14．已知|a|＝3，|b|＝4，且滿足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a與b的夾角θ的范圍．15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a與b的夾角θ；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，5)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(6，3)，在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使eq\o(MA,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．已知平面上三個(gè)向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120°.(1)求證：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范圍．17．在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC＝eq\r(6)，求△ABC的面積．第六章單元質(zhì)量評(píng)估卷(解析版）[時(shí)間：120分鐘滿分：150分]一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))可以表示為()A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c答案C解析依題意得，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a＋c.故選C.2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))答案A解析eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).故選A.3．向量a＝(－1，1)，且a與a＋2b方向相同，則a·b的取值范圍是()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)答案B解析依題意可設(shè)a＋2b＝λa(λ>0)，則b＝eq\f(1,2)(λ－1)a，∴a·b＝eq\f(1,2)(λ－1)a2＝eq\f(1,2)(λ－1)×2＝λ－1>－1.4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，則B等于()A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°答案D解析由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(3),4)sin30°＝eq\f(\r(3),2).又a<b，則A<B，所以B＝60°或120°.5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)答案B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，則b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).6．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱的水柱高度，某人在噴水柱正西方向的D處測(cè)得水柱頂端A的仰角為45°，沿D向北偏東30°方向前進(jìn)100m后到達(dá)C處，在C處測(cè)得水柱頂端A的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m答案A解析如圖，設(shè)水柱高AB＝hm.依題意有∠ADB＝45°，∠BDC＝90°－30°＝60°，∠ACB＝30°，且AB⊥BD，AB⊥BC.由圖可知，BD＝AB＝h，BC＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，CD＝100，又∵∠BDC＝60°，∴在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos60°，即(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－100h，解得h＝50.7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，則△ABC的面積S為()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C.eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)答案A解析由b2－bc－2c2＝0，整理得b2－c2＝c2＋bc，即b－c＝c，b＝2c.由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4c2＋c2－6,4c2)＝eq\f(7,8)，得c2＝4，c＝2，b＝4.又sinA＝eq\f(\r(15),8)，∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(15),2).故選A.8.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D被陰影遮住，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．10 B．11C．12 D．13答案B二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，則b可能是()A．(4，－8) B．(8，4)C．(－4，－8) D．(－4，8)答案AD10．若a，b，a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則()A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)·(a＋b)＝b·(a＋b)C．|a|＝|b|D．|a＋b|＝|a－b|答案BC11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，則cosB可以是()A．－eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(\r(5),3)答案AD12．△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是()A．|b|＝1 B．|a|＝1C．a(chǎn)∥b D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))答案BD三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．答案eq\r(10)解析由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝eq\r(4|α|2＋4α·β＋|β|2)＝eq\r(4＋2＋4)＝eq\r(10).14．同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量a，b，c兩兩夾角都是eq\f(2π,3)，則a－b與a＋c的夾角是________．答案eq\f(π,6)解析(a－b)·(a＋c)＝a2－a·b＋a·c－b·c＝1－1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1－2×1×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1)＝eq\r(3)，|a＋c|＝eq\r(a2＋2a·c＋c2)＝eq\r(1＋2×1×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1)＝1，設(shè)a－b與a＋c夾角為θ，則cosθ＝eq\f(（a－b）·（a＋c）,|a－b|·|a＋c|)＝eq\f(\f(3,2),\r(3)×1)＝eq\f(\r(3),2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,6).15．在△ABC中，已知D為BC邊上一點(diǎn)，BC＝3BD，AD＝eq\r(2)，∠ADB＝135°，若AC＝eq\r(2)AB，則BD＝________．答案2＋eq\r(5)解析設(shè)AB＝k，則AC＝eq\r(2)k.再設(shè)BD＝x，則DC＝2x.在△ABD中，由余弦定理，得k2＝x2＋2－2·x·eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝x2＋2＋2x.①在△ADC中，由余弦定理，得2k2＝4x2＋2－2·2x·eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4x2＋2－4x，即k2＝2x2＋1－2x.②由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋eq\r(5)(負(fù)值舍去)．故BD＝2＋eq\r(5).16．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲樓高為_(kāi)_____m，乙樓高為_(kāi)_______m．(本題第一空2分，第二空3分)答案20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)解析如圖，設(shè)甲樓高為AB，乙樓高為CD，由題意知AC＝20m.在△ABC中，∠BAC＝90°，所以AB＝ACtan60°＝20eq\r(3)(m)，BC＝40m，在△BCD中，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，則∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以CD＝eq\f(sin∠CBD,sin∠BDC)·BC＝eq\f(40\r(3),3)(m)．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量為－eq\f(b,|b|)，求：(1)a與b的夾角θ；(2)(a－2b)·b.解析(1)由題意知|a|＝2，|b|＝1，|a|cosθ·eq\f(b,|b|)＝－eq\f(b,|b|)，∴cosθ＝－eq\f(1,2).由于θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.18．(12分)如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．解析(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2).(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(OB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,4)×42－eq\f(1,2)×4×2×cos60°＋eq\f(3,4)×22＝－3.19．(12分)設(shè)向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a與b不共線．(1)求證：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若eq\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等，求角α.解析(1)證明：由題意，得a＋b＝(cosα－eq\f(1,2)，sinα＋eq\f(\r(3),2))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\f(1,2)，sinα－\f(\r(3),2)))，因?yàn)?a＋b)·(a－b)＝cos2α－eq\f(1,4)＋sin2α－eq\f(3,4)＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．(2)因?yàn)閑q\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等，所以(eq\r(3)a＋b)2＝(a－eq\r(3)b)2，所以|a|2－|b|2＋2eq\r(3)a·b＝0.因?yàn)閨a|＝1，|b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以|a|2＝|b|2，所以a·b＝0，所以－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝0，所以tanα＝eq\f(\r(3),3)，又因?yàn)?≤α<2π，所以α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(7π,6).20．(12分)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2，②acosB＝bsinA，③sinB＋cosB＝eq\r(2)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．解析若選擇條件①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2)，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)·sin\f(π,3),\f(\r(2),2))＝eq\r(3)，因?yàn)锳＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(π,4)，所以C＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，所以sinC＝sineq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(3＋\r(3),4).若選擇條件②acosB＝bsinA，則由正弦定理，得sinAcosB＝sinBsinA，因?yàn)锳∈(0，π)，即sinA≠0，所以sinB＝cosB，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).下同選擇條件①.若選擇條件③sinB＋cosB＝eq\r(2)，則eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝1，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，所以B＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，所以B＝eq\f(π,4).下同選擇條件①.21．(12分)如圖所示，A，B兩個(gè)小島相距21nmile，B島在A島的正南方，現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9nmile/h的速度向B島行駛，而乙船同時(shí)以6nmile/h的速度離開(kāi)B島向南偏東60°方向行駛，問(wèn)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后，兩船相距最近，并求出兩船的最近距離．解析設(shè)行駛t小時(shí)后，甲船行駛了9tnmile到達(dá)C處，乙船行駛了6tnmile到達(dá)D處．當(dāng)9t<21，即t<eq\f(7,3)時(shí)，C在線段AB上，此時(shí)BC＝21－9t，在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)×6t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.∴當(dāng)t＝2時(shí)，CD取得最小值eq\r(189)＝3eq\r(21).當(dāng)t＝eq\f(7,3)時(shí)，C與B重合，此時(shí)CD＝6×eq\f(7,3)＝14>3eq\r(21).當(dāng)t>eq\f(7,3)時(shí)，BC＝9t－21，則CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.綜上可知，當(dāng)t＝2時(shí)，CD取最小值3eq\r(21)nmile，故行駛2h后，甲、乙兩船相距最近，為3eq\r(21)nmile.22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足eq\f(cosB,cosC)＋eq\f(b,c)＝eq\f(2a,c).(1)求角C的大小；(2)若邊長(zhǎng)c＝eq\r(3)，求a＋2b的最大值．解析(1)由eq\f(cosB,cosC)＋eq\f(b,c)＝eq\f(2a,c)及正弦定理得cosBsinC＋sinBcosC＝2sinAcosC，即sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，所以cosC＝eq\f(1,2).又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,3).(2)a＋2b＝eq\f(c,sinC)(sinA＋2sinB)＝2[sin(B＋C)＋2sinB]＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋2sinB))＝5sinB＋eq\r(3)cosB，令cosφ＝eq\f(5,\r(28))，sinφ＝eq\f(\r(3),\r(28))，則a＋2b＝eq\r(28)sin(B＋φ)，當(dāng)B＋φ＝eq\f(π,2)時(shí)，(a＋2b)max＝eq\r(28)＝2eq\r(7).1．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線應(yīng)滿足的條件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析A，B，C三點(diǎn)共線即存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k，1＝kμ，得λμ＝1.2．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，則()A．λ1，λ2，λ3一定全為0B．λ1，λ2，λ3中至少有一個(gè)為0C．λ1，λ2，λ3可以全不為0D．λ1，λ2，λ3的值只有一組答案C解析在△ABC中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，則a，b，c互不平行，且a＋b＋c＝0，排除A、B.由2a＋2b＋2c＝0，排除D，所以選C.3．下列命題中，正確的是()A．a(chǎn)＝(－2，5)與b＝(4，－10)方向相同B．a(chǎn)＝(4，10)與b＝(－2，－5)方向相反C．a(chǎn)＝(－3，1)與b＝(－2，－5)方向相反D．a(chǎn)＝(2，4)與b＝(－3，1)的夾角為銳角答案B解析在B中，a＝(4，10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a與b方向相反．4．(設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，且b<c，則b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)答案C解析由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即有4＝b2＋12－4eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)b，解得b＝2或4，由b<c，可得b＝2.故選C.5．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的內(nèi)角B，C之間的關(guān)系是()A．B>C B．B＝CC．B<C D．關(guān)系不確定答案B6．在△ABC中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△ABD,S△ABC)等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,2)答案D解析已知在△ABC中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)D在與AB邊平行的中位線上，且為靠近BC邊的三等分點(diǎn)，從而有S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC.7．設(shè)a，b是共線的單位向量，則|a＋b|的值()A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于2答案D8．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，則b等于()A．76 B．2eq\r(19)C．27 D．2eq\r(7)答案B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2eq\r(19).9.如圖，若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為()A.eq\f(16,5) B.eq\f(12,5)C.eq\f(8,5) D.eq\f(4,5)答案C解析因?yàn)閑q\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5)，所以3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).10．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案C11．已知eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c且滿足λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))·c＝0(λ>0)，則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．不確定答案A12．已知點(diǎn)A(2，3)，C(0，1)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(－2，－1)解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－x，1－y)．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－2，y－3)＝－2(－x，1－y)＝(2x，2y－2)．∴x＝－2，y＝－1.13．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2).(1)求A；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面積．解析(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2)，∴cos(B＋C)＝eq\f(1,2).∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝eq\f(1,2).∴cosA＝－eq\f(1,2).又∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，則(2eq\r(3))2＝(b＋c)2－2bc－2bc·coseq\f(2π,3)，∴12＝16－2bc－2bc×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).∴bc＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc