專題16.3 二次根式(壓軸題綜合測試卷)(人教版)(解析版)-八年級數(shù)學(xué)下冊_第1頁
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專題16.3二次根式(滿分100)學(xué)校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________題號一二三總分得分評卷人得分一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,滿分30分)1.(2022上·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí))若α≤0,1<β<4(β為整數(shù)),則下列式子中一定為最簡二次根式的是(

)A.α+β B.β-2 C.α0【思路點撥】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可.【解題過程】解:A、α≤0,1<β<4(β為整數(shù)),則α+β不一定是最簡二次根式,例如α取?12,β取2,則B、1<β<4(β為整數(shù)),則β等于2或3,β?2為14或C、α≤0,當(dāng)α=0時,α0無意義;α<0時,αD、1<β<4(β為整數(shù)),則β等于2或3,β為2或3,均是最簡二次根式,D正確.故選:D.2.(2023上·遼寧丹東·八年級??计谥校┰O(shè)221+7÷7的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是nA.23+1 B.23?1 C.【思路點撥】本題考查了二次根式的混合運算,無理數(shù)的估算,熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)二次根式的運算法則計算得出結(jié)果23+1,然后估算【解題過程】解:221∵1<即1<3∴2<23又∵2∴4<23∴23+1的整數(shù)部分是m=4,小數(shù)部分是n=故選:D.3.(2023上·山西晉中·八年級校聯(lián)考期中)已知a,b均為有理數(shù),若3?12=a+b3,則A.3 B.2 C.5 D.6【思路點撥】由3?12=a+b3,可得3?23+1=4?23=a+b3,由a,b【解題過程】解:∵3?1∴3?23∵a,b均為有理數(shù),∴a=4,b=?2,∴a?b的算術(shù)平方根為6,故選:D.4.(2022下·北京海淀·八年級101中學(xué)??计谥校┮阎猰、n是兩個連續(xù)自然數(shù)(m<n),且q=mn,設(shè)p=q+n+q?mA.總是偶數(shù) B.總是奇數(shù)C.總是無理數(shù) D.有時是有理數(shù),有時是無理數(shù)【思路點撥】由題意可知,n=m+1,q=mn,代入p=q+n【解題過程】解:由題意可知,n=m+1,q=mn,而p=q+n則p=mn+n由于m是自然數(shù),所以2m+1是奇數(shù),故選B5.(2024上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末)已知正實數(shù)m,n滿足2m+2mn+n=2,則A.13 B.23 C.33【思路點撥】本題考查二次根式的性質(zhì),完全平方公式,平方的非負性.根據(jù)二次根式的性質(zhì)將2m+2mn+n=2變形為2m2+2mn+n【解題過程】解:∵m,n均為正實數(shù),∴2m+2mn+n=2可化為∴2m2即2m?∵2m?∴2?32mn∴mn≤∴mn的最大值為23故選:B6.(2024·全國·八年級競賽)已知正整數(shù)a、m、n滿足a2?45=mA.有一組 B.有二組 C.多于二組 D.不存在【思路點撥】本題主要考查了二次根式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則進行計算.根據(jù)a2?45=m?n,得出a2?45=m+n?2【解題過程】解:∵a2∴a2∴a2=m+n,mn=20,又∵20=20×1=10×2=5×4,當(dāng)m=20,n=1時,a2當(dāng)m=10,n=2時,a2當(dāng)m=5,n=4時,a2∴滿足條件的取值只有1組.故選:A.7.(2024·全國·八年級競賽)若a、b、m滿足如下關(guān)系式:3a+5b?m?3+a+b?2013=32013?a?b?2A.1 B.2 C.±1 D.±2【思路點撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件,求一個數(shù)的平方根,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件,求出a+b=2013,得出3a+5b?m?3+22a+3b?m=0,根據(jù)算術(shù)平方公的非負性得出5a+5b?m?3=02a+3b?m=0,整理得出a+b=m?3,從而得出【解題過程】解:根據(jù)題意得:a+b?2013≥0,2013∴a+b=2013,①∴3a+5b?m?3+2∴5a+5b?m?3=02a+3b?m=0∴22a+3b?m∴a+b=m?3,②由①②得m?3=2013,解得:m=2016,∴m?2012=4,∴m?2012平方根即為4的平方根,為±2.故選:D.8.(2023上·廣東·九年級華南師大附中校考階段練習(xí))已知x=12021?2020,則A.0 B.1 C.2020 D.2021【思路點撥】由x的值進行化簡到x=2021+2020,再求得x?2020=2021,把式子兩邊平方,整理得到x2?22020x=1【解題過程】解∵x==2021+=2021∴x?∴(x?整理得x∴x∵x?∴(x?整理得x∴x∴x∴x=x=x=x?=2021+2020=2020故選:C9.(2023下·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學(xué)校校考期末)若a和b都是正整數(shù)且a<b,a和b是可以合并的二次根式,下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()①只存在一組a和b使得a+②只存在兩組a和b使得a+③不存在a和b使得a+④若只存在三組a和b使得a+b=A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【思路點撥】直接利用同類二次根式的定義得出a和b是同類二次根式,進而得出答案.【解題過程】解:①a和b都是正整數(shù)且a<b,a和b可以合并的二次根式,∵a∴a當(dāng)a=2時b=8,故該選項①正確;②a+當(dāng)a=3,則b=48,當(dāng)a=12,則b=27故選項②正確;③a+當(dāng)a=65時,b=65,a<b,所以不存在,故該選項③正確;④∵a∴1+b當(dāng)ca=49時,∴b∴b=36a,有無數(shù)a和b滿足等式,故該選項④錯誤.故選:C.10.(2024上·重慶北碚·九年級統(tǒng)考期末)已知兩個二次根式:x+1,第一次操作:將x+1與x的和記為M1,差記為N第二次操作:將M1與N1的和記為M2第三次操作:將M2與N2的和記為M3下列說法:①當(dāng)x=1時,N2+N③M2n+1?N其中正確的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3【思路點撥】本題主要考查了二次根式的混合運算,規(guī)律探索,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一般規(guī)律,熟練掌握二次根式混合運算法則.①根據(jù)題意得出N2=2,N4=4,②根據(jù)題意得出一般規(guī)律:M2n=2nx+1,N2n=③根據(jù)二次根式混合運算法則,求出M2n+1【解題過程】解:①當(dāng)x=1時,M1=2M2=2M3=22M4=22…按照此規(guī)律:N2=2,N4=4,∴N2②M1=x+1M2=x+1M3=2x+1M4=2x+1…按照此規(guī)律可得:M2n=2nx+1,N∴M12③根據(jù)以上規(guī)律可知,M2n+1=2∴M===2綜上分析可知,正確的有3個,故D正確.故選:D.評卷人得分二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,滿分15分)11.(2022上·上海虹口·八年級上外附中校考階段練習(xí))設(shè)x=t+1?tt+1+t,y=t+1【思路點撥】根據(jù)x,y的表達式,可以觀察出xy=1,x+y=2t+2,再將20x2+62xy+20y2改寫為含有x+y【解題過程】解:∵x=t+1?∴x+y=t+1xy=t+1∵20∴204t+22+22=2022,解得t故答案為:212.(2024·全國·八年級競賽)設(shè)a是3+5?3?5的小數(shù)部分,b為6+33【思路點撥】本題考查了無理數(shù)的估算,求代數(shù)式的值及二次根式的運算;令t=3+5?3?5,則可求得t的值,進而求得a;同理,令p=6+33【解題過程】解:令t=3+5則t2∴t=2∴a=2?1,令p=6+33則p2∴p=6∴b=6?2,∴1a故答案為:2213.(2023下·四川攀枝花·七年級攀枝花市第十五中學(xué)校??茧A段練習(xí))設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù),且滿足下列等式:x3(y?x)3?x【思路點撥】利用二次根式被開方數(shù)非負性得到x、y、z大小關(guān)系,最后由符號之間的關(guān)系推導(dǎo)得到x=0及y、z等量關(guān)系,最后直接計算整式x3【解題過程】解:∵y?x及x?z且x、y、z∴y?x>0且x?z>0,∴y>x>z,∵x3(y?x)∴x與(y?x)、(z?x)均同號,或x=0,又∵y?x>0,z?x<0,故(y?x)、(z?x)不同號,∴x=0,∴x∴y=?z,∴故答案為0.14.(2023上·四川成都·八年級??茧A段練習(xí))若a,b,c是實數(shù),且a+b+c=2a?1+4b?1+6【思路點撥】結(jié)合態(tài),根據(jù)完全平方公式的性質(zhì),將代數(shù)式變形,即可計算得a,b,c的值,從而得到答案.【解題過程】解:∵a+b+c=2∴a?2∴(∴(∴a?1∴a?1=1∴a=2∴2b+c=2×5+11=21.15.(2023上·福建泉州·八年級??茧A段練習(xí))若y=1?x+x?12的最大值為a,最小值為b【思路點撥】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用,根據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負性,根據(jù)二次根式有意義的條件和二次根式的非負性即可求出x的取值范圍和y的取值范圍,然后將等式兩邊平方得到y(tǒng)2=12+2?x?【解題過程】解:∵y=∴y≥0,1?x≥0解得:12將等式兩邊平方,得y2∴y2∴y∴y2∴y2∵x?3∴?x?∴?x?∴y2∴a2當(dāng)x=12時,又∵?x?∴y2∴b∴a故答案為:32評卷人得分三、解答題(本大題共9小題,滿分55分)16.(2023下·天津·八年級??茧A段練習(xí))計算(1)5(2)12?【思路點撥】(1)先計算完全平方和二次根式的乘法,再合并同類二次根式即可;(2)先化簡每一個二次根式,再合并同類二次根式即可;本題主要考查了二次根式的混合運算,熟練掌握二次根式的化簡和二次根式乘法法則是解題的關(guān)鍵.注意:最后結(jié)果必須化成最簡二次根式.【解題過程】解:(1)5=(5?4=9?4=17(2)12=2=17.(2023下·黑龍江綏化·八年級??计谥校┯嬎悖?)(a(2)(a+b?【思路點撥】(1)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算,然后利用乘法的分配率分別相乘,根據(jù)二次根式、分式的運算法則計算即可;(2)先對括號內(nèi)分別通分計算加減法,將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算,根據(jù)二次根式、分式的運算法則計算即可.【解題過程】(1)解:(==1=1b2-1=a(2)解:(====a+ba+=?18.(2024上·湖南長沙·八年級湖南師大附中校考期末)已知x,y,z為△ABC的三邊長,且有x+y+【思路點撥】該題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用,平方根的性質(zhì)等知識點,解題的關(guān)鍵是對所給條件進行化簡;根據(jù)x+y+【解題過程】解:∵x+∴x+y+z+2∴x+y+z?∴2x+2y+2z?2∴∴∴x=y=z,∴△ABC是等邊三角形.19.(2022上·湖南長沙·八年級??计谀┮阎鰽BC三條邊的長度分別是x+1,(5?x)2,4?(4?x)2(1)當(dāng)x=2時,△ABC的周長C△ABC(2)請用含x的代數(shù)式表示△ABC的周長C△ABC(結(jié)果要求化簡),并求出x的取值范圍.如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,三角形的面積為S,則S=若x為整數(shù),當(dāng)C△ABC取得最大值時,請用秦九韶公式求出△ABC【思路點撥】(1)利用x=2分別計算△ABC三條邊的長度,然后求和即可獲得答案;(2)依據(jù)二次根式有意義的條件可得x的取值范圍,進而化簡得到△ABC的周長;由于x為整數(shù),且要使C△ABC取得最大值,所以x的值可以從大到小依次驗證,即可得出△ABC【解題過程】(1)解:當(dāng)x=2時,x+1=2+1=3,∴C△ABC故答案為:5+3(2)根據(jù)題意,可得x+1≥04?x≥0,解得?1≤x≤4∴5?x>0∴C△ABC===5+x+1∵x為整數(shù),且C△ABC∴x=4或3或2或1或0或?1,當(dāng)x=4時,三角形三邊長分別為4+1=5,(5?4)2∵5+1<4∴此時不滿足三角形三邊關(guān)系,故x≠4,當(dāng)x=3時,三角形三邊長分別為3+1=2,(5?3)2=2滿足三角形三邊關(guān)系,可設(shè)a=2,b=2,c=3,∴S△ABC=320.(2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末)任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間,我們定義,若無理數(shù)T:m<T<n,(其中m、n為連續(xù)的整數(shù)),則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n,如1<2<2,所以2的“美好區(qū)間”為(1)無理數(shù)?13(2)若一個無理數(shù)的“美好區(qū)間”為m,n,且滿足10<m+n<20,其中x=my=n是關(guān)于x,y的二元一次方程mx?ny=C的一組(3)實數(shù)x,y,m滿足如下關(guān)系式:(2x+3y+m)2+(3x+2y?3m)【思路點撥】本題主要考查無理數(shù)的估算,以及二次根式有意義的條件:(1)根據(jù)“美好區(qū)間”的定義,確定?13(2)根據(jù)“美好區(qū)間”的定義和二元一次方程正整數(shù)解這兩個條件,找到符合的情況即可求出C的值;(3)先根據(jù)x+y?2024≥0,2024?x?y≥0,得出x+y=2024,進而得出2x+3y+m=0,3x+2y?3m=0,兩式相加得5x+y?2m=0,得,【解題過程】(1)∵9<13<16,∴3<13∴?4<?∴無理數(shù)?13的“美好區(qū)間”是?4,?3故答案為:?4,?3(2)∵m,n為“美好區(qū)間”∴m,n為連續(xù)的整數(shù)又∵x=my=n是關(guān)于x,y的二元一次方程∴n是一個平方數(shù)又∵10<m+∴滿足題意的m,n的值為m=8n=9或當(dāng)m=8n=9時,∴8×8?9×3=C∴C=37,當(dāng)m=15n=16時,x=15∴15×15?16×4=C,∴C=161,綜上所述:C的值為37或161.(3)∵(2x+3y+m)2∴x+y?2024≥0,2024?x?y≥0,∴x+y=2024,∴(2x+3y+m)2∴2x+3y+m=0,3x+2y?3m=0,兩式相加得5∴m=5060∴m的算術(shù)平方根為5060∵71<5060m的算術(shù)平方根的美好區(qū)間為71,72.21.(2023下·湖北黃岡·八年級??茧A段練習(xí))閱讀材料:把根式x±2y進行化簡,若能找到兩個數(shù)m、n,是m2+n2=x且mn=y如:3+2解答問題:(1)填空:5+26(2)化簡:7?43(3)1【思路點撥】(1)根據(jù)材料提供計算步驟,把5+26化為3(2)根據(jù)材料提供計算步驟,把7?43化為2(3)根據(jù)材料提供計算步驟,對13+2【解題過程】(1)解:5+26故答案為:3+(2)7?43故答案為:2?3(3)1====故答案為:5?122.(2024上·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末)我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)a>0,b>0時,有a?b2=a?2ab(1)當(dāng)x>0時,x+1x的最小值為______;當(dāng)x<0時,(2)當(dāng)x<0時,求x2(3)如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,△AOB、△COD的面積分別為8和18,設(shè)△BOC的面積為x,求四邊形ABCD的最小面積.

【思路點撥】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用,三角形面積的計算,解題的關(guān)鍵是理解題意,準(zhǔn)確計算.(1)根據(jù)題目中給出的信息進行解答即可;(2)先將x2+2x+6x(3)設(shè)S△BOC=x,根據(jù)等高三角形性質(zhì)得出S△BOCS△COD=S【解題過程】(1)解:∵當(dāng)x>0時,x+1x≥2∴x+1x的最小值為∵當(dāng)x<0時,?x>0,∴?x+?2x∴?x?2∴?x?2x的最小值為故答案為:2;22(2)解:x2∵x<0,∴?x>0∴?x+?6∴x+6∴x+6x∴x2+2x+6x(3)解:已知S△BOC=x,S△AOB=8,∴x18∴S因此四邊形ABCD的面積=18+8+x+144當(dāng)且僅當(dāng)x=12時取等號,即四邊形ABCD面積的最小值為50.23.(2023上·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)校考階段練習(xí))若三個實數(shù)x,y,z滿足xyz≠0,且x+y+z=0,則有:1x例如:1根據(jù)以上閱讀,請解決下列問題:【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)求11【能力提升】(2)設(shè)S=1+11【拓展升華】(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0),其中

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