2.5 逆命題和逆定理 浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)案

2.5逆命題和逆定理課題逆命題和逆定理單元第二章學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級學(xué)習(xí)目標(biāo)情感態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)感受命題的趣味，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密思維，增加對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣能力目標(biāo)通過做一做、思考探究等活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生自主探究和合作學(xué)習(xí)的能力知識(shí)目標(biāo)1.了解逆命題、逆定理的概念。2.經(jīng)歷逆命題的概念的發(fā)生過程，了解一個(gè)命題都是由條件與結(jié)論兩部分構(gòu)成，每個(gè)命題都有它的逆命題，命題有真假之分。重點(diǎn)會(huì)識(shí)別兩個(gè)命題是不是互逆命題，會(huì)在簡單情況下寫出一個(gè)命題的逆命題，了解原命題成立，其逆命題不一定成立．難點(diǎn)能判斷一些命題的真假性，并能運(yùn)用推理的思想方法證明一類較簡單的真命題，同時(shí)了解假命題的證明方法是舉反例說明．學(xué)法探究法教法講授法教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧舊知命題的概念：對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。命題的結(jié)構(gòu)：條件和結(jié)論，它的一般形式是“如果……，那么……”命題：“平行四邊形的對角線互相平分”條件是_有一個(gè)四邊形是平行四邊形_，結(jié)論是它的對角線互相平分。命題：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”

條件是_有一個(gè)四邊形的對角線互相平分，

結(jié)論這個(gè)四邊形是平行四邊形?；貞浡犝n復(fù)習(xí)舊知，為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)導(dǎo)入新課命題有真有假。正確的命題是真命題，錯(cuò)誤的命題是假命題。思考：“飛機(jī)是會(huì)飛的交通工具”“會(huì)飛的交通工具是飛機(jī)”這兩個(gè)命題有什么不同？它們都是真命題嗎？第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命題的條件思考回答問題以提問的方式激發(fā)學(xué)生探索欲望思考探究填表并思考：命題（1）和命題（2），命題（3）和命題（4）的條件和結(jié)論有什么關(guān)系？（1）的條件是（2）的結(jié)論，（2）的結(jié)論是（1）的條件；（3）的條件是（4）的結(jié)論，（4）的結(jié)論是（3）的條件思考讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論講授新知在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。我們把其中的一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做它的逆命題。上表中，命題（1）與命題（2），命題（3）與命題（4）都是互逆命題每個(gè)命題都有它的逆命題，但每個(gè)真命題的逆命題是否一定為真命題？不一定如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理。聽課思考講解互逆命題的概念即時(shí)演練1.說出下列命題的逆命題，并判定逆命題的真假：（1）有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。逆命題：平行四邊形有一組對邊平行且相等。是真命題（2）磁懸浮列車是一種調(diào)整行駛時(shí)不接觸地面的交通工具。高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具是磁懸浮列車。是假命題2.說出兩對互逆的定理（1）對頂角相等（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.做練習(xí)及時(shí)練習(xí)，鞏固概念例題講解例1說出定理“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題。解:這個(gè)定理的逆命題是:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．已知：如圖，AB是一條線段，P是一點(diǎn)，且PA＝PB求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上證明（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上時(shí)，作PC⊥AB于點(diǎn)O?！逷A=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（根據(jù)什么？）∴PC是AB的垂直平分線?！帱c(diǎn)P在線段AB的垂直平行線上可見，線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是真命題。線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．例2寫出命題“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的逆命題，判斷這個(gè)命題的真假，并給出證明。解逆命題是“如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等”這個(gè)逆命題是假命題。舉反例如下：如圖，在△ABC和△ABE中，CD，EF分別是△ABC和△ABE的AB邊上的高線，且CD=EF，則△ABC和△ABE的面積相等，但顯然它們不全等。所以這個(gè)逆命題是假命題。聽課思考講解例題，明白題型即時(shí)演練定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是______，這個(gè)命題正確嗎？若正確，請你證明這個(gè)命題，若不正確請說明理由．逆命題是“三角形一邊上的中線是這邊的一半的話，那么這個(gè)三角形是直角三角形”這個(gè)命題是正確的．已知：△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，BD=AD，BD=DC．求證：△ABC是直角三角形．證明：∵BD=AD，∴∠A=∠ABD，∵BD=DC，∴∠C=∠DBC，∵∠A+∠C+∠ABD+∠DBC=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，解得∠A+∠C=90°，∴∠ABC=90°．即△ABC是直角三角形．做練習(xí)即時(shí)做題鞏固所學(xué)達(dá)標(biāo)測評1.下列命題的逆命題是真命題的有（）（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）若ab=0，則a=0或b=0；（4）三角形中等角對等邊．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（1）其逆命題是：多邊形是四邊形，錯(cuò)誤；（2）其逆命題是：如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行，正確；（3）其逆命題是：若a=0或b=0，則ab=0，正確；（4）其逆命題是：三角形中等邊對等角，正確．所以真命題的有三個(gè)．故選C．2.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．任何命題都有逆命題B．任何定理都有逆定理C．真命題的逆命題不一定為真D．任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的A.任何命題都有逆命題，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.任何定理不一定都有逆定理，故本選項(xiàng)正確；C.真命題的逆命題不一定為真，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．3.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些命題的真假。（1）如果∠α與∠β是鄰補(bǔ)角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，那么這兩個(gè)內(nèi)角所對的邊相等。解：（1）逆命題：如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β是鄰補(bǔ)角。這是假命題。（2）逆命題：如果一個(gè)三角形的兩條邊相等，那么這兩條邊所對的內(nèi)角相等。這是真命題。4.說出命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題，并判斷逆命題的真假．若逆命題是真命題，請加以證明；若逆命題是假命題，請舉出反例．逆命題是：如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形．此逆命題是真命題．證明如下：已知：如圖，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF求證：AB=AC．證明：∵S△ABC=AB?CF=AC?BE，而BE=CF，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．5.寫出符合下列條件的一個(gè)原命題（1）原命題和逆命題都是真命題；（2）原命題是假命題,但逆命題是真命題；（3）原命題是真命題,但逆命題是假命題；（4）原命題和逆命題都是假命題；解：答案不唯一如：（1）若x=0或x=1,則x（x-1）=0（2）若x（x-1）=0,則x=0（3）若x=0,則x（x-1）=0（4）若x=0,則x-1=06.（在下列空格內(nèi)填上正確或錯(cuò)誤）（1）如果一個(gè)命題正確，那么它的逆命題也正確______．錯(cuò)誤（2）定理不一定有逆定理______．正確（3）命題“如a2＞b2，則a＞b”的逆命題是真命題_________錯(cuò)誤（1）“對頂角相等”這個(gè)命題正確，但它的逆命題“相等的角是對頂角”卻是錯(cuò)的．故錯(cuò)誤．（2）“對頂角相等”這個(gè)定理沒逆定理．故正確．“如a2＞b2，則a＞b”的逆命題是：如a＞b，則a2＞b2，假設(shè)a=1，b=-2，此時(shí)a＞b，但a2＜b2，即此命題為假命題．做題通過做對應(yīng)的題目，來讓學(xué)生更深刻理解本節(jié)知識(shí)拓展提升寫出命題“如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角的角平分線所夾的銳角是45°”的逆命題，并證明這個(gè)命題是真命題．逆命題是：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角的角平分線所夾的銳角是45°，那么這個(gè)三角是直角三角形．已知：如圖，△ABC中，BE是∠ABC的角平分線，交AC于E，AD是∠CAB的角平分線，交BC于D，BE和AD相交于O點(diǎn)，且∠EOA=45°．求證：△ABC是直角三角形證明：∵BE是∠ABC的角平分線，AD是∠CAB的角平分線，∴∠OAB=∠CAB，∠O