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2025屆廣西貴港市覃塘高級(jí)中學(xué)高三5月(第四次)月考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.秦九韶是我國(guó)南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.3.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.4.給出個(gè)數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,以此類推,要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;5.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.6.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.7.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(上一年同月)變化圖表,則以下說法錯(cuò)誤的是()(注:圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份;圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是北京、天津、上海、重慶)A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)8.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.9.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種10.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或11.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q12.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.不等式的解集為________14.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),記最大值為,則的最小值為______.15.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.16.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調(diào)性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).19.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線,點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn)),過點(diǎn)作直線與橢圓相切,且與直線相交于點(diǎn).(1)求證:.(2)若點(diǎn)在軸的上方,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求直線的斜率.附:多項(xiàng)式因式分解公式:20.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22.(10分)已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為,原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn),是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)?若存在,求出的方程:若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.3.D【解析】
作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說明擬合效果好.4.A【解析】
要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長(zhǎng)應(yīng)該為1,故判斷語句①應(yīng)為,第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu),正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.5.B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.6.C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=7.D【解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)圖表,可得結(jié)果.【詳解】A正確,從圖表二可知,3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大B正確,從圖表二可知,4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102C正確,從圖表一中可知,只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大D錯(cuò)誤,從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)故選:D本題考查圖表的認(rèn)識(shí),審清題意,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.8.B【解析】
由已知向量的坐標(biāo),利用平面向量的夾角公式,直接可求出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,設(shè)與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.9.D【解析】
采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題10.B【解析】
因?yàn)?所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.11.B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。12.B【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
通過平方,將無理不等式化為有理不等式求解即可?!驹斀狻坑傻?,解得,所以解集是。本題主要考查無理不等式的解法。14.【解析】
易知,設(shè),,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí),,,則則,即故答案為:.本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.15.-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.16.5【解析】,即的最大值為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),根據(jù),利用線面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,可得,以及平面的一個(gè)法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令,所以則直線與平面所成角的正弦值為本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用,還考查線面角,學(xué)會(huì)使用建系的方法來解決立體幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡(jiǎn),屬中檔題.18.見解析【解析】
(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個(gè)零點(diǎn).顯然x∈(π,2π)時(shí),?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時(shí),f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點(diǎn).因?yàn)閒(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時(shí),f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點(diǎn).故f(x)僅在,上各有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).19.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由得令可得,進(jìn)而得到,同理,利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算即可;(2),分,兩種情況討論即可.【詳解】(1)證明:點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程,消去后整理為有,可得,,.可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.有,故有.(2)若點(diǎn)在軸上方,因?yàn)椋杂?,由?)知①因?yàn)闀r(shí).由(1)知,由函數(shù)單調(diào)遞增,可得此時(shí).②當(dāng)時(shí),由(1)知令由,故當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增:當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,又由,故函數(shù)的最小值,函數(shù)取最小值時(shí),可求得.由①②知,若點(diǎn)在軸上方,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),直線的斜率為.本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到分類討論求函數(shù)的最值,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道難題.20.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接交于點(diǎn),由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn),連接,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.?)由,可得:,即所以又因?yàn)橹崩庵?,所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個(gè)法向量為,同理可得平面的一個(gè)法向量為,則所以二面角的余弦值為.本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí),考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21.(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件
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