橢圓的簡單幾何性質(zhì)PTT課件

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做焦距2c.特別注意:當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),軌跡是橢圓;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是線段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),軌跡不存在.

F10F2XYM1.橢圓的定義溫故知新分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上oyx橢圓的簡單幾何性質(zhì)觀圖，你看到了什么？一、橢圓的范圍即-a≤x≤a-b≤y≤b結(jié)論:橢圓位于直線x＝±a和y＝±b圍成的矩形里.oxy-aab-b1、范圍：6YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱2、對稱性：7從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。即標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓是以坐標(biāo)軸為對稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心。練習(xí)：1.已知點(diǎn)P(3，6)在上,則(

)(A)點(diǎn)(-3,-6)不在橢圓上(B)點(diǎn)(3,-6)不在橢圓上(C)點(diǎn)(-3,6)在橢圓上(D)無法判斷點(diǎn)(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在橢圓上三、橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令x=0,得y=？說明橢圓與y軸的交點(diǎn)為(0,b)、(0,-b)令y=0,得x=？說明橢圓與x軸的交點(diǎn)為(a,0)、(-a,0)3、頂點(diǎn)：三、橢圓的頂點(diǎn)長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。思考：橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸、短軸有什么關(guān)系？焦點(diǎn)落在橢圓的長軸上長軸：線段A1A2；長軸長|A1A2|=2a短軸：線段B1B2；短軸長|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c①a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長；③焦點(diǎn)必在長軸上；②

a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac橢圓的簡單幾何性質(zhì)aF2F1|B2F2|=a；注意12鞏固提升：1、已知橢圓方程16x2+25y2=400,108680分析：橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：

a=5b=4c=3

oxy

oxy它的長軸長是：

。短軸長是：。焦距是

。離心率等于：。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

。頂點(diǎn)坐標(biāo)是：。

外切矩形的面積等于：

。

由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.四、橢圓的離心率離心率:橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率.離心率的取值范圍：因?yàn)閍>c>0，所以0<e<14、離心率：因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1.離心率越大，橢圓越扁離心率越小，橢圓越圓Oxyab●c[2]離心率對橢圓形狀的影響：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，

橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，

橢圓就越圓16思考：當(dāng)e＝0時(shí)，曲線是什么？當(dāng)e＝1時(shí)曲線又是什么？如果a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變?yōu)閳A的方程：e=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A．e=1,為線段。[3]e與a,b的關(guān)系:17結(jié)論：離心率e越大，橢圓越扁；

離心率e越小，橢圓越圓.鞏固提升：

1.說出橢圓的范圍,長軸長,短軸長,焦點(diǎn)坐標(biāo),頂點(diǎn)坐標(biāo):2.比較下列每組中兩個(gè)橢圓的形狀,哪一個(gè)更扁?根據(jù)：離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓3.已知橢圓方程為則它的長軸長是：

;短軸長是：

;焦距是：

;離心率等于：

;焦點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，）＿＿＿;頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面積等于：

。

2

xyＯA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一個(gè)框，四個(gè)點(diǎn)，注意光滑和圓扁,莫忘對稱要體現(xiàn)．用曲線的圖形和方程來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)小結(jié)：基本元素{1}基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）{2}基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）{3}基本線：對稱軸（共兩條線）oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)︱︱F1F2方程

圖形

范圍對稱性頂點(diǎn)離心率

xyB1B2A1A2∣∣F1

F2A2A1B1B20關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱xyF1F2O例1.求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是離心率焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是例2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)、；（2）長軸長等于,離心率等于．解:（1）由題意，,又∵長軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由已知，，∴，，∴，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．已知橢圓的離心率，求的值由，得：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．思考：例3：酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(diǎn)(離地面近的點(diǎn))高度約200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個(gè)球，其半徑約為6371km),求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程。(注:地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線)例4、如圖，在圓上任取一點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解:設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為

P(x’,y’),則由題意可得：因?yàn)樗约催@就是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示一個(gè)橢圓。相關(guān)點(diǎn)分析法:即利用中間變量求曲線方程.oxyPMD1、在下列方程所表示的曲線中,關(guān)于x軸,y軸都對稱的是()(A)(B)(C)(D)2、橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率，長軸長為6，則橢圓的方程為（）(A)(B)(C)(D)或或DC課堂練習(xí)2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=6,e=,焦點(diǎn)在x軸上(2)離心率e=0.8,焦距為8求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),應(yīng):先定位(焦點(diǎn)),再定量（a、b）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要討論，此時(shí)有兩個(gè)解！4.

橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時(shí)，，，（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，,，綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或提煉精華你學(xué)會(huì)了嗎?通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?※對自己說，你有什么收獲？※對同學(xué)說，你有什么提示？※對老師說，你有什么疑惑？標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長焦距a,b,c關(guān)系離心率|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(±c,0)(0,±c)長半軸長為a,短半軸長為b.焦距為2c;a2=b2+c2課外閱讀：橢圓第二定義所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。FlxoyMHd猜想證明

若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)和定點(diǎn)F(c,0)的距離與它到定直線l:的距離的比是常數(shù)(0<c<a),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.猜想將上式兩邊平方并化簡得:0xyP證明:由已知，得猜想證明這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以P點(diǎn)的軌跡是長軸長為2a短軸長為2b的橢圓.由此可知,當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)常數(shù)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓,這就是橢圓的第二定義，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,,常數(shù)e是橢圓的離心率.0xyM對于橢圓相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是能不能說M到的距離與到直線的距離比也是離心率e呢?

)0,(-cF￠概念分析由橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是OxyPF1F2OyxPF1F2右準(zhǔn)線上準(zhǔn)線下準(zhǔn)線左準(zhǔn)線上焦點(diǎn)(0,c),上準(zhǔn)線右焦點(diǎn)(c,0),

右準(zhǔn)線下焦點(diǎn)(0,-c),下準(zhǔn)線左焦點(diǎn)(-c,0),左準(zhǔn)線焦點(diǎn)準(zhǔn)線

例2求中心在原點(diǎn),一條準(zhǔn)線方程是x=3，離心率為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.解:依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知有解得a=c=所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例題講解P（x0，y0）是橢圓（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，則PF1，PF2叫焦半徑，求證∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0，例3證明:yoP(x0,y0)xF1