2024年中考數學一輪復習第22講 多邊形與平行四邊形（講義）（原卷版）

第22講多邊形與平行四邊形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一多邊形的相關概念題型01多邊形的概念及分類題型02計算網格中不規(guī)則多邊形面積題型03計算多邊形對角線條數題型04對角線分三角形個數問題題型05多邊形內角和問題題型06已知多邊形內角和求邊數題型07多邊形的割角問題題型08多邊形的外角問題題型09多邊形內角和、外角和與平行線的合運用題型10多邊形內角和、外角和與角平分線的綜合運用題型11多邊形內角和與外角和的綜合應用題型12多邊形外角和的實際應用題型13平面鑲嵌考點二平行四邊形的性質與判定題型01利用平行四邊形的性質求解題型02利用平行四邊形的性質證明題型03判斷已知條件能否構成平行四邊形題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形題型05數平行四邊形個數題型06求與已知三點組成平行四邊形的點的個數題型07證明四邊形是平行四邊形題型08與平行四邊形有關的新定義問題題型09利用平行四邊形的性質與判定求解題型10利用平行四邊形的性質與判定證明題型11平行四邊形性質與判定的應用考點三三角形中位線題型01三角形中位線有關的計算題型02三角形中位線與三角形面積計算問題題型03與三角形中位線有關的證明題型04三角形中位線的實際應用題型05與三角形中位線有關的規(guī)律探究題型06與三角形中位線有關的格點作圖題型07構造三角形中位線的常用方法類型一連接兩點構造三角形中位線類型二已知中點，取另一條線段的中點構造中位線類型三利用角平分線垂直構造三角形的中位線

考點要求新課標要求命題預測多邊形的相關概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對角線.探索并掌握多邊形內角和與外角和公式.本考點內容是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將出現，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內角和、平行四邊形性質和判定、與三角形中位線有關計算的可能性比較大．中考數學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應用的可能性比較大，對于本考點內容，要注重基礎，反復練習，靈活運用．平行四邊形的性質與判定探索并證明平行四邊形的性質定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.考點一多邊形的相關概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數為n(n?3)2多邊形內角和定理：n邊形的內角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內角和隨邊數的增加而增加，邊數每增加1，內角和增加180°.2）任意多邊形的內角和均為180°的整數倍.3）利用多邊形內角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數求內角和；②已知多邊形的內角和求邊數；③已知足夠的角度條件下求某一個內角的度數．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數無關.正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個內角為（n?2）2）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．多邊形的有關計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤多邊形的有關計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤：①n邊形內角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對角線③n邊形的邊數＝（內角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內角和＝n×180°.⑥在n邊形內任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．題型01多邊形的概念及分類【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【變式1-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【變式1-2】（2022·遼寧盤錦·?？家荒＃┫铝忻}正確的是（

）A．每個內角都相等的多邊形是正多邊形B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分題型02計算網格中不規(guī)則多邊形面積【例2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網格是正方形網格，A，B，C，D是網格線交點．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為．【變式2-1】（2021·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D是網格線交點，則△ABC的面積與△ADB的面積大小關系為：S△ABCS【變式2-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內的格點數，b是多邊形邊界上的格點數）計算，這個公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個格點五邊形，則該五邊形的面積【變式2-3】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數學家皮克（如圖1）發(fā)現的一個計算點陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點．一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形．有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內的點的數目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內部的點數，b任務：（1）如圖2，是6×6的正方形網格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的面積是_______．（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19，且邊界上的點數b是內部點數a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設計一個格點多邊形．要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形是一個軸對稱圖形．題型03計算多邊形對角線條數【例3】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個多邊形內角和為1080°，則這個多邊形可連對角線的條數是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【變式3-2】（2021·云南普洱·統(tǒng)考一模）如圖，從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出3條對角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數量為（

）A．n B．n?2 C．n?3 D．2n?3【變式3-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）一個正多邊形的中心角是72°，則過它的一個頂點有條對角線．【變式3-4】（2022·陜西西安·?？既＃┮粋€正多邊形的每個外角為45°，則這個正多邊形的對角線共有條．題型04對角線分三角形個數問題【例4】（2019·廣東深圳·校聯考一模）如圖，從多邊形一個頂點出發(fā)作多邊形的對角線，試根據下面幾種多邊形的頂點數、線段數及三角形個數統(tǒng)計結果，推斷f,e,v三個量之間的數量關系是:多邊形：

頂點個數f1:

4

5

6

…線段條數e:

5

7

9

…三角形個數v1:

2

3

4

…題型05多邊形內角和問題【例5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是（

）A．6π B．5π C．4π D．3π【變式5-1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內角和最大的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，則∠D的度數為（

）A．125° B．130° C．135° D．140°【變式5-3】（2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，則∠A+∠B的值為（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【變式5-4】（2022·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，則∠PAE=°．【變式5-5】（2021·陜西·三模）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于度．題型06已知多邊形內角和求邊數【例6】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預測）一個多邊形的內角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【變式6-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內角和為720°的是（

）A． B． C． D．題型07多邊形的割角問題【例7】（2020·浙江杭州·模擬預測）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是1440°．則原來多邊形的邊數是．【變式7-1】（2018·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內角和是．【變式7-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，一張內角和為1800°的多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到的新多邊形的邊數為．一個n變形剪去一個角后，若剪去的一個角只經過一個頂點和一邊，則剩下的形狀是n邊形，若剪去的一個角經過兩條鄰邊，則剩下的形狀是（n＋1）邊形，若剪去的一個角經過兩個相鄰點，則剩下的形狀是（n－1）邊形．所以遇到相關題目時，要分類討論．題型08多邊形的外角問題【例8】（2022·湖南長沙·模擬預測）若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【變式8-1】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進10米到達點B，向左轉45°后又沿直線前進10米到達點C，再向左轉45°后沿直線前進10米到達點D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【變式8-2】（2020·山東濟寧·濟寧學院附屬中學?？级＃┱呅蔚耐饨呛蜑椋?/p>

）A．180° B．360° C．720° D．1440°題型09多邊形內角和、外角和與平行線的綜合運用【例9】（2022·河南·統(tǒng)考模擬預測）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數為（）A．41° B．51° C．42° D．49°【變式9-1】（2019·四川宜賓·校聯考一模）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【變式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學?？寄M預測）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于（A．100° B．180° C．210° D．270°【變式9-3】（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【變式9-4】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數：(2)若∠F=40°，求∠E的度數.題型10多邊形內角和、外角和與角平分線的綜合運用【例10】（2022·貴州黔東南·模擬預測）如圖，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分別為∠ABE、∠CDE的角平分線，則∠BFD=（

）A．100° B．120° C．130° D．135°【變式10-1】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°【變式10-2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE中，內角∠EAB的角平分線與其內角∠ABC的角平分線相交于點P，則∠APB＝度．【變式10-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，且∠D+∠C=210°，則∠P=．【變式10-4】（2020·河北·模擬預測）如圖所示，過正五邊形ABCDE的頂點B作一條射線與其內角∠EAB的角平分線相交于點P，且∠ABP=60°，則∠APB=度．題型11多邊形內角和與外角和的綜合應用【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，由一個正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數應是（

）A．72° B．84° C．82° D．94°【變式11-1】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）一個正多邊形的內角和是1260°，則這個正多邊形的一個外角等于（

）A．60° B．45° C．72° D．40°【變式11-2】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，AF∥DG，若∠2=20°，則∠1=（A．60° B．56° C．52° D．40°【變式11-3】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）正八邊形中，每個內角與每個外角的度數之比為（

）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【變式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校聯考模擬預測）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個，按下圖放在同一平面內，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【變式11-5】（2019·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）發(fā)現：如圖1，在有一個“凹角∠A1A2A3”n邊形A1驗證：（1）如圖2，在有一個“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，證明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．（2）如圖3，有一個“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，證明；∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F?360°．延伸：（3）如圖4，在有兩個連續(xù)“凹角A1A2A3和∠A2A3【變式11-6】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內角，一邊和它鄰邊的延長線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內角和的度數，小華做了以下實驗：取若干張紙片，分別在紙片上畫出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長各邊得到各個外角，然后沿著多邊形的邊和延長線將它剪開，將外角拼在一起，觀察圖形，并進行推理．（1）實驗操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內角和_________________________________…___________（3）理解應用．一個多邊形的內角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？題型12多邊形外角和的實際應用【例12】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無法比較α與β的大小【變式12-1】（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進20米后左轉30°，再沿直線前進20米，又向左轉30°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了（

）A．120米 B．200米 C．160米 D．240米【變式12-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，琪琪沿著一個四邊形公園小路跑步鍛煉，從A處出發(fā)，當她跑完一圈時，她身體轉過的角度之和為．題型13平面鑲嵌【例13】（2022·山西太原·一模）如圖，若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【變式13-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠BAD的度數為（

）A．50° B．60° C．100° D．120°【變式13-2】（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖①是15世紀藝術家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內角為度．

【變式13-3】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預測）“動感數學”社團教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為．【變式13-4】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，要設計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作2a．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是．（用含a的代數式表示）解決幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．考點二平行四邊形的性質與判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經常需結合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當已知條件中有關于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當已知條件中有關于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當已知條件中有關于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．題型01利用平行四邊形的性質求解【例1】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預測）如圖，現有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A'B'C'，點A．96 B．963 C．192 D．【變式1-1】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【變式1-2】（2023·陜西西安·西北大學附中?？寄M預測）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-3】（2022·甘肅平涼·模擬預測）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=36°，∠B為（

A．36° B．144° C．108° D．126°【變式1-4】（2023·吉林松原·校聯考一模）如圖，在?ABCD中，AD=10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD=22，則△BOC的周長為【變式1-5】（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點B在y軸上，反比例函數y=kxx>0的圖象經過第一象限點A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則【變式1-6】（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點E為BC邊上的動點（不與B、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當點E為BC的中點時，求DE的長；(3)設BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？題型02利用平行四邊形的性質證明【例2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：AE＝CF．【變式2-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E,點F在CD邊上，CF=AE,連接AF,BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四邊形BFDE的面積．【變式2-2】（2021·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC，OB交于點M，函數y=kxx>0的圖象經過點A

（1）求k的值和點M的坐標；（2）求?OABC的周長．【變式2-3】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對角線BD于點E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對角線BD于點F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請補全下面的證明過程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF【變式2-4】（2022·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結論．題型03判斷已知條件能否構成平行四邊形【例3】（2022·河南鄭州·一模）如圖1，?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【變式3-1】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．對角線互相平分 B．一組對邊平行且相等C．兩組對邊分別平行 D．一組對邊平行，另一組對邊相等【變式3-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等 B．一組對邊平行且相等C．兩組對角相等 D．對角線互相平分題型04添加一個條件使四邊形成為平行四邊形【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列條件，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（A．AB=CD B．AD∥C．AD=BC D．∠C+∠D=【變式4-1】（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）如圖是嘉淇不完整的推理過程．小明為保證嘉淇的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列正確的是(

)A．∠B+∠C=180° B．AB=CDC．∠A=∠B D．AD=BC【變式4-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）如圖，點E、F在?ABCD的對角線AC上，連接BE、DE、DF、BF，請?zhí)砑右粋€條件使四邊形BEDF是平行四邊形，那么需要添加的條件是．（只填一個即可）題型05數平行四邊形個數【例5】（2020·湖北武漢·校聯考模擬預測）如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【變式5-1】（2019·湖北黃石·校聯考一模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線的交點是O，直線EF過O點，且平行于AD，直線GH過O點且平行于AB，則圖中平行四邊形共有(

)A．15個 B．16個 C．17個 D．18個題型06求與已知三點組成平行四邊形的點的個數【例6】（2021·河南商丘·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，A1,0，B?1,3，C?2,?1，找一點D，使得以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點DA．2,4 B．?4,2 C．0,?4 D．?3,2【變式6-1】（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖，A、B、C為一個平行四邊形的三個頂點，且A、B、C三點的坐標分別為(3,3),(6,4),(4,6)．（1）請直接寫出這個平行四邊形第四個頂點的坐標；（2）在△ABC中，求出AB邊上的高．題型07證明四邊形是平行四邊形【例7】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式7-1】（2023·山東青島·模擬預測）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB=DF,AC=DE,EB=CF．連接AE,CD．(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)若AE=AC，求證：AB=DB．【變式7-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在AD，BC上，且ED=BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=【變式7-3】（2020·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉一定的角度α得到△AED，點B、C的對應點分別是E、D.(1)如圖1，當點E恰好在AC上時，求∠CDE的度數；(2)如圖2，若α=60°時，點F是邊AC中點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

【變式7-4】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸上．反比例函數數y=kx（x>0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點D（4，2），且與邊AB，BC分別交干點E，F，直線EF交x軸于點G(1)求點F的坐標；(2)求證:四邊形AEGC是平行四邊形．【變式7-5】（2023·河南·河南省實驗中學?？既＃┤鐖D，已知反比例函數y=kxx>0的圖像經過點A4,2，過A作AC⊥y軸于點C．點B為該反比例函數圖像上的一點，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AD．直線BC與

(1)求反比例函數表達式；(2)若BD=2OC，判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由．題型08與平行四邊形有關的新定義問題【例8】（2023·江西撫州·金溪一中校聯考二模）定義：在平行四邊形中，若有一條對角線長是一邊長的兩倍，則稱這個平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對角線叫做和諧對角線，這條邊叫做和諧邊．【概念理解】(1)如圖1，四邊形ABCD是和諧四邊形，對角線AC與BD交于點G，BD是和諧對角線，AD是和諧邊．①△BCG是________三角形．②若AD=4，則BD=________．【問題探究】(2)如圖2，四邊形ABCD是矩形，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE交BC于點F，AD=4，AB=k，是否存在實數k，使得四邊形ABEC是和諧四邊形，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．【應用拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD與四邊形ABEC都是和諧四邊形，其中BD與AE分別是和諧對角線，AD與AC分別是和諧邊，AB=4，AD=k，請求出k的值．【變式8-1】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：有一個角為45°的平行四邊形稱為半矩形．(1)如圖1，若?ABCD的一組鄰邊AB＝4，AD＝7，且它的面積為142．求證：?ABCD為半矩形．(2)如圖2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD內）到AB的距離為1，⊙O的半徑＝5，求AD的長．(3)如圖3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD=BD=4①求證：CD是△ABD外接圓的切線；②求出圖中陰影部分的面積．【變式8-2】（2021·浙江臺州·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學統(tǒng)考二模）定義：如圖1，四邊形EFGH的四個頂點分別在□ABCD四條邊上（不與□ABCD的頂點重合），我們稱四邊形EFGH為□ABCD的內接四邊形．（1）如圖1，若?ABCD的內接四邊形EFGH是平行四邊形，求證：AE＝CG（2）若?ABCD的內接四邊形EFGH是矩形．①請用無刻度的直尺與圓規(guī)，在圖2中作出一個符合要求的矩形EFGH．（不必說明作圖過程，但要保留作圖痕跡）②如圖3，已知sinA=45，AB＝10，H是AD的中點，HG＝2HE（3）已知，?ABCD的內接四邊形EFGH是平行四邊形，且S?EFGH=12S?ABCD，求證：點E，F，題型09利用平行四邊形的性質與判定求解【例9】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=x+1、y=x?1與雙曲線y=kxk>0分別相交于點A、B、C

A．34 B．22 C．4【變式9-2】（2023上·山東臨沂·九年級沂水縣實驗中學?？计谀┮阎鐖D，A1,1、B4,2．CD為x軸上一條動線段，D在C點右邊且CD=1，當【變式9-3】（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作EF⊥AC且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為．【變式9-4】（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應點為C'，連接DC'并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應點為A'，使A'B⊥CD于點H，折痕交AD于點M，連接A'M，交CD于點N．該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM題型10利用平行四邊形的性質與判定證明【例10】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE=1A．4 B．3 C．2 D．1【變式10-1】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，點P,F分別是CD,AB的中點．若AB=4，則下列結論錯誤的是（

）

A．PA+PB的最小值為33 B．PE+PF的最小值為C．△CDE周長的最小值為6 D．四邊形ABCD面積的最小值為3【變式10-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A的坐標為1,3，點B在x軸上，把ΔOAB沿x軸向右平移到ΔECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為

【變式10-3】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，用四根木條釘成矩形框ABCD，把邊BC固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現圖中線段存在等量關系，如線段EB由AB旋轉得到，所以EB=AB．我們還可以得到FC＝，EF＝；(2)進一步觀察，我們還會發(fā)現EF∥AD，請證明這一結論；(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE恰好經過原矩形DC邊的中點H，求EF【變式10-4】（2020·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）在一次數學研究性學習中，小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進行如下研究活動．活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結AE，BD（如圖2），當點F與點C重合時停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．【發(fā)現】當紙片DEF平移到某一位置時，小兵發(fā)現四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．活動二：在圖3中，取AD的中點O，再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉α度（0≤α≤90），連結OB，OE（如圖4）．【探究】當EF平分∠AEO時，探究OF與BD的數量關系，并說明理由．題型11平行四邊形性質與判定的應用【例11】（2022·浙江舟山·校聯考三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點D，E，F，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點H，若S四邊形ADHF=S△HGEA．a+c=2b B．b2+c2=a【變式11-1】（2020·湖北省直轄縣級單位·中考真題）在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．

（1）如圖1，在BC上找出一點M，使點M是BC的中點；（2）如圖2，在BD上找出一點N，使點N是BD的一個三等分點．【變式11-2】（2021·天津南開·統(tǒng)考二模）如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標系xOy內，已知A(3,0),B(0,4)．（1）點C的坐標是（___，__）；（2）若將平行四邊形OABC繞點O逆時針旋轉90°得OFDE，DF交OC于點P，交y軸于點F，求△OPF的面積；（3）在（2）的情形下，若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設平移的距離為d，當平移后的平行四邊形O'F'D'E'與平行四邊形OABC重疊部分為五邊形時，設其面積為S【變式11-3】（2023·上海青浦·校考一模）如圖，已知∠AOB=90°，∠AOB的內部有一點P，且OA=OB=OP=10，過點B作BC∥AP交AO于點C，OP與BC交于點(1)如果tan∠AOP=34(2)設AP=x，BC=y，求y與x的函數關系式，并寫出定義域；(3)如果BD=AP，求△PBD的面積．【變式11-4】（2023·北京·?？寄M預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD(1)求證：CE=AD．(2)當AC=BC，且D為中點時，四邊形CDBE是什么特殊四邊形？說明理由．(3)求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3時，求EF的長．考點三三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行.數量關系：可以證明線段的倍分關系.常用結論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半.結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形.結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形.結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等.題型01三角形中位線有關的計算【例1】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BC=4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE=（

）A．14 B．12 C．1【變式1-1】（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式1-2】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分別為AB，BC，CA的中點．若EF的長為10，則CD的長為．【變式1-3】（2023·江蘇揚州·校聯考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊AO,AB的中點C，D的橫坐標分別是1，4，則點B的橫坐標是．題型02三角形中位線與三角形面積計算問題【例2】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（

）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【變式2-1】（2023·福建莆田·校考模擬預測）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB、AC的中點，若SΔADE=2，則S

A．4 B．8 C．2 D．16【變式2-2】（2023·內蒙古呼和浩特·校考一模）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點，CM的延長線交AB于N，那么NM:MC=，S△DMN:題型03與三角形中位線有關的證明【例3】（2023·新疆和田·和田市第三中學?？级＃┤鐖D，在△ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，延長DE至點F，使得CF∥AB，連接DC，AF．

(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)求證：四邊形BDFC是平行四邊形【變式3-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點D，E分別是△ABC的邊AB，求證：DE∥BC，且方法一證明：如圖，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．方法二證明：如圖，延長DE到點F，使得EF=DE，連接FC，【變式3-2】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）我們知道，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，如何證明三角形中位線定理呢？(1)【方法回顧】證明：三角形中位線定理．已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．求證：DE∥BC，

證明三角形中位線性質定理的方法很多，但多數都需要通過添加輔助線構圖去完成，下面是其中一種證法的添加輔助線方法，閱讀并完成填空：添加輔助線，如圖1，在△ABC中，過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F．可證△ADE≌______，根據全等三角形對應邊相等可得DE=EF，然后判斷出四邊形BCFD是______，根據圖形性質可證得DE

(2)【方法遷移】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=3，DF=4，∠GEF=90°

(3)【定理應用】如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBG=KK>1，延長BC至點E，使DE＝DG，延長ED交AB

【變式3-3】（2023·北京·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊的中點．求證：DE∥BC，且方法一：證明：如圖，延長DE到點F，使EF=DE，連接FC，DC，AF．方法二：證明：如圖，取BC中點G，連接GE并延長到點F，使EF=GE，連接AF．題型04三角形中位線的實際應用【例4】（2023·廣州市模擬）如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在線段AB的一側取一點C，連接CA并延長至點D，連接CB并延長至點E，使A、B分別是CD、CE的中點，若DE＝16m，則線段AB的長度是（）A．12m B．10m C．9m D．8m【變式4-1】（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE＝50m，則AB的長是m．題型05與三角形中位線有關的規(guī)律探究【例5】（2022·山東聊城·校聯考一模）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC邊的中點E，作ED∥AB交AC于點D，EF∥AC交AB于點F，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1取BE邊的中點E1，作E1D1FB交EF于D1，E1F1∥【變式5-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點D、點E、點F分別是AC，AB，BC邊的中點，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點D1、點E1、點F1分別是EF，EB，FB邊的中點，連接D1E1、E1【變式5-2】（2021·黑龍江·校聯考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點，得到第1個等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，題型06與三角形中位線有關的格點作圖【例6】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在5×5的正方形網格中，點A，B，C都在格點上，僅用無刻度的直尺，按要求作圖：

(1)在圖中找一