2024年新高考高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段性復(fù)習(xí)：函數(shù)的應(yīng)用(解析版)

專題2.9函數(shù)的應(yīng)用(解析版)

(本試卷滿分60分，建議用時(shí)：40分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的)

1.某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，

日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入.則

這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是()

A.1x|10<x<16|B.1x|12<x<18|C.1x|15<x<20|D.1x|10<x<201

【答案】C

【解析】設(shè)這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)為X元，由題意得，go-2(^-15)?x400,即f-30X+200<0,解得

10<x<20,又因?yàn)?215,所以15Vx<20,這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x的取值范圍是{x[15<x<20}.

故選C.

2.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足“犬-4)=—“X),且當(dāng)xe[0,2)時(shí)，/(x)=2A-l,則下列說法錯(cuò)

誤的是()

A./(5)=-1

B.函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=4對(duì)稱

C.函數(shù)/(x+2)是偶函數(shù)

D.關(guān)于x的方程/(x)-2=0在區(qū)間[-2,2]上所有根的和為0

【答案】C

【解析】取x=-l,M/(-l-4)=-/(-l)=-/(l)=-(2-l)=-l,所以八5)=〃-5)=—1,故A正確；

因?yàn)?(x—4)=—/(x),則f(x+4)=—/⑺，即/?(x+4)=f(x—4),又由“力為偶函數(shù)"x—4)=〃4—x),

即/(尤+4)=/(4—x),所以函數(shù)/(X)關(guān)于直線x=4對(duì)稱，故B正確;

令g(x)=/(x+2),貝|@(一%)=/(一了+2)=/(%—2)=/(%+2—4)=—/(%+2)=—g(%),所以8(%)為奇函數(shù)，

即函數(shù)〃x+2)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?，（尤）為偶函?shù)，畫出函數(shù)［-2,2］的圖象可知，方程所有根的和為0,故D正確.

故選C.

3.牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為"，則經(jīng)過一定時(shí)間/后

t

的溫度T滿足T-7；（"-!；），其中I是環(huán)境溫度，。稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡

茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在55℃.經(jīng)測(cè)量室溫為25℃,茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，

那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待（）

（參考數(shù)據(jù)：1g3^0.4771,lg5^0.6990,Igl1^1.0414）

A.4分鐘B.5分鐘C.6分鐘D.7分鐘

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，75-25=（口（80-25），口哈=（口，設(shè)茶水從75℃降至55。。大約用時(shí)/分鐘，則

55-25=（gJ（75-25），即=兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：lgg=lg［《J《Jlgll）

解得t=f*x5,所以從泡茶開始大約需要等待5+1=6分鐘.

1-lgU

故選C.

4.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)%（單位：

萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：物7）成反比，每月庫存貨物費(fèi)%（單位：萬元）與x成正比，若在

距離車站10km處建倉庫，則必為1萬元，%為4萬元，下列結(jié)論正確的是（）

A.%=工B.%=4xC.%+%有最大值4D.%-%無最小值

【答案】D

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)％=&,可得與=1，所以，尤=1。，貝立=竺，A錯(cuò)；

x10九

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)%=，可得10左2=4,所以，k2=0.4,則%=0,4x,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閤>0,由基本不等式可得%+%=3+0.4x22、悝.0.4工=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，等號(hào)

xVx

成立，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，令/（耳=%-%=?-。-4%，則函數(shù)/（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，故%-也無最小值，D對(duì).

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共1小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）

5.如圖，某池塘里浮萍的面積》（單位：m2）與時(shí)間f（單位：月）的關(guān)系為了=",關(guān)于下列說法正確

的是（）

A.”的值為3

B.浮萍每月的增長(zhǎng)面積相同

C.第3個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過25mz

D.若浮萍蔓延到2m②，4m②，8m?所經(jīng)過的時(shí)間分別是％,馬，與，則%=%+G

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖像可知，函數(shù)過點(diǎn)（L3）,.;“=3,.?.函數(shù)解析式為y=3,，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，?.?函數(shù)y=3'是指數(shù)函數(shù)，是曲線型函數(shù)，，浮萍每月增加的面積不相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)/=3時(shí)，y=33=27>25,故選項(xiàng)C正確；

1,3

對(duì)于D選項(xiàng)，3'=2,3"=4,3=8?K=log32,t2=log34,t3=log38,又：

21og34=log316=log32+log38,/.2t2=tt+t3,選項(xiàng)D正確；

故選ACD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中橫線上）

6.將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出，能賣出500個(gè)；若此商品每漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè).

為了賺到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為元.

【答案】70

【解析】設(shè)售價(jià)為X元，總利潤(rùn)為W元，則W=（x-40）［500-10a-50）］=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000,

當(dāng)X=70時(shí)，W最大，最大的利潤(rùn)%-=9。0。元；即定價(jià)為70元時(shí)可獲得最大利潤(rùn)，最大的利潤(rùn)是9000

元.

故答案為70.

7.如圖，在半徑為4cm的半圓形（。為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCZ）,其頂點(diǎn)A,B在直徑上，

頂點(diǎn)C,。在圓周上，則矩形48C。面積的最大值為cm2.

【答案】16

【解析】設(shè)矩形ABCD中AB=CD=a,AD=BC=b,其面積S=必，關(guān)于直線AB對(duì)稱，可作圖如下:

則矩形DDC'C,DD'=2b,CD=C'D'=a,CZ>=8,其面積S'=2S=2"，在圓中，易知/+（26?=64,

則S=2"J+W=32,當(dāng)且僅當(dāng)。=26=40，等號(hào)成立，可得%=4％=16.

故答案為16.

8.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用80回的開水泡制，

再等茶水溫度降至35回時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.若茶水原來的溫度是”回，經(jīng)過一定時(shí)間fmin后的溫度

70,則可由公式/_?；=（《一心）.、［求得，其中，表示室溫，//是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定

的正常數(shù)，現(xiàn)有一杯80回的綠茶放在室溫為20國(guó)的房間中，已知茶溫降到50回需要lOmin.那么在20團(tuán)室溫下，

用80回的開水剛泡好的茶水大約需要放置時(shí)間min,才能達(dá)到最佳飲用口感.

【答案】20

【解析】一杯8CTC的綠茶放在室溫為2（?的房間中，如果茶溫降到50團(tuán)需要lOmin,那么

1010

50-20=（80-20）x^y.所以一杯8CTC的綠茶放在室溫為20回的房間中，如果茶溫降到35回

t_10

需要/min,那么35-20=(80-20),所以所以=,所以t=20.

故答案為20.

四、解答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

9.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會(huì)強(qiáng)勢(shì)出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接

了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本

萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)/z（x）=180x+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)〃（X）=X2+60X+3500,若每

盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤(rùn)=售價(jià)一成本，成

本=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）.

（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

【解析】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)，>=2。。苫一2。（）一18?！芬?（）（）=2。》一3。。，當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，

丁=200苫一200-尤2_60》-3500=-/+140苫一3700,故銷售利潤(rùn)V（萬元）關(guān)于產(chǎn)量了（萬盒）的函數(shù)關(guān)

_.、

[20x-300,0<x<50，AeN

系式為>-1_%2+1。_3700,.r>50,

（2）當(dāng)0W50時(shí)，^<20x50-300=700；

140

當(dāng)x>50時(shí)，y=-x2+140x-3700,當(dāng)尤=可=70時(shí)，y=-Y+140X-3700取至I]最大值，為1200,因?yàn)?/p>

700<1200,所以當(dāng)產(chǎn)量為70萬盒時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大.

10.某科研小組對(duì)面積為8000平方米的某池塘里的一種生物的生長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行研究，一開始在此池塘投放

了一定面積的該生物，觀察實(shí)驗(yàn)得到該生物覆蓋面積y（單位：平方米）與所經(jīng)過月數(shù)x（xeN）的下列數(shù)

據(jù)：

X0234

y42562.5156.3

為描述該生物覆蓋面積y（單位：平方米）與經(jīng)過的月數(shù)x（xeN）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

y-k-ax(k>0,a>l)；y=p?+g(p>0)；y=ax+b.

(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，并求出該模型的函數(shù)解析式;