河北省某中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

河北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)〃x）=sin3x—cos3x,給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)/（九）的值域是卜逝；②函數(shù)/%+（為

奇函數(shù)；③函數(shù)/（%）在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對(duì)任意XGR,都有成立，則上一七|的

最小值為三；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）

C.32萬(wàn)D.36"

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑

為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V=g（S上+心百+S下）?丸）.

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

05

4.已知a=log35,b=O,4?c=log25,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

5.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若a”〉O,q>l,?3+a5=20,a,a6=64,貝!JS5=（）

A.48B.36C.42D.31

6.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

7.設(shè)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減，貝!I()

340A

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2-°-)B./(log30.3)>f(2-)>/(2@)

3443

C./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)

8.關(guān)于X的不等式依>0的解集是(L+8),則關(guān)于X的不等式(依+加(％-3)>0的解集是()

A.(f,-l)U(3,+<x>)B.(-1,3)

C.(1,3)D.(5)一(3,y)

9.已知函數(shù)/(x)=sin/x+eR,?！?)的最小正周期為兀，為了得到函數(shù)g(x)=coscox的圖象，只要將

y=/(x)的圖象()

JTTT

A.向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移丁個(gè)單位長(zhǎng)度

88

TT1T

C.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

44

10.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面

各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至

少是()

A.8B.7C.6D.4

-1'

11.已知全集為R,集合A=xy=(x—1)行，3=口|爐—2x<0},貝!J('A"B=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

12.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖，個(gè)

位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則*+丁=（）

C.172D.12

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=，+1修在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為_.

14.三個(gè)小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），則三人都收到

禮物的概率為.

15.已知函數(shù)/（x）=ain（2x）.e三有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

16.在（2-力5的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,2s“-”擊（〃—*）.

⑴求為+4+1；

（2）令2=4+2-4,證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列，并求其前九項(xiàng)和小

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=a（x-lnx）+f—2無(wú).

（1）當(dāng)a=-2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)/（口的極值；

⑵/'（%）為y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)。>0,%>x2〉0時(shí),求證：

19.（12分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,其面積記為S,滿足冥=

3

（1）求A；

2122

（2）若由（b+c）=2a,求幺+幺+匚的值.

beacab

20.（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營(yíng)造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”

活動(dòng)，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)，已知這50名

學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在［50,100］內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51515123

（1）將競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒O,100］內(nèi)定義為“合格*競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢?0,70）內(nèi)定義為“不合格”.請(qǐng)將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完

整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？

合格不合格合計(jì)

高一新生12

非高一新生6

合計(jì)

（2）在（1）的前提下，按“競(jìng)賽成績(jī)合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨

機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=-------------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在x軸上，右頂點(diǎn)A（2,0）到右焦點(diǎn)的

距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為4.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)P（-4,0）,連接PM交橢圓C于另一點(diǎn)E.求證：直線NE過(guò)

定點(diǎn)5并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)3的直線交橢圓C于S,T兩點(diǎn)，求OS-OT的取值范圍.

%—cos9

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，,"（。為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸

y=1+sin”

為極軸，建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程;

x=l+%cos。

(2)直線/：＜.)(，為參數(shù))與曲線。交于A,3兩點(diǎn)，求|A5|最大時(shí)，直線/的直角坐標(biāo)方程.

y=tsm3

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

化/(%)的解析式為應(yīng)sin(3x-?)可判斷①，求出的解析式可判斷②，由xe得

re37r57r一

3^--e[—結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由

444

/(%)"(%)"(%2)得NfL=g可判斷④。

【詳解】

由題意，/(x)=V2sin(3%-^),所以夜,忘],故①正確；/卜+￡卜

0411[3。+1)一￡]=05山(3工+1)=近853%為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)xe

442132」

時(shí)，3x-?/(%)單調(diào)遞減，故③正確；若對(duì)任意xeR,都有

/(X)W/(X)W〃X2)成立，則再為最小值點(diǎn)，％為最大值點(diǎn)，則忖一司的最小值為

T77-

-=故④正確.

23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的

問(wèn)題.

2、C

【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為2石，高為1的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，

即可求解球的表面積.

【詳解】

由三視圖可知，

幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為2省，高為1的等腰三角形，

側(cè)棱長(zhǎng)為4,如圖：

由底面邊長(zhǎng)可知，底面三角形的頂角為120,

由正弦定理可得2A￡>=—--=4,解得AD=2,

sin120

三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，

所以=A/22+22=2A/2,

該幾何體外接球的表面積為：S=4萬(wàn)?(2行了=32%.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量§X9><(*+J*X62?+62%)故選區(qū)

=--------------------------------------------=3

考點(diǎn)：1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；2.圓臺(tái)的體積.

4、D

【解析】

與中間值1比較，凡?？捎脫Q底公式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)，再比較大小.

【詳解】

11

0.405<blog5>l,又。<log52<log53,??.^------>------即log25〉log35,

3lOgsZl°g53

：?c>a>b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查事和對(duì)數(shù)的大小比較，解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)塞比較，或化為同底數(shù)對(duì)數(shù)比較，若是不同類型的數(shù),

可借助中間值如0,1等比較.

5、D

【解析】

試題分析：由于在等比數(shù)列｛?！埃?，由a2a6=64可得：a3a§=a,a6=64,

又因?yàn)?+生=20,

所以有：。3，生是方程V—20x+64=0的二實(shí)根，又4〉。，q>l,所以生<%,

故解得：%=4,。5=16,從而公比勺==2,%=1；

25-1

m55=—=31,

故選D.

考點(diǎn)：等比數(shù)列.

6、D

【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有高^(guò)M+會(huì)川

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有母種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率

為至=色，故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為1—9=2.

150252525

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、

乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.

7、D

【解析】

利用/（X）是偶函數(shù)化簡(jiǎn)/（log30.3）,結(jié)合/（%）在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.

【詳解】

/（X）是偶函數(shù)，/（log30.3）=/（—log3弓）="k）g3號(hào)），

而log3y>l>24>2心>0,因?yàn)?（元）在（0,+8）上遞減，

304

.-./（log3y）</（2-°-）</（2--）,

即/（1嗅0.3）</（2如）</（2-。4）.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

b

由㈤;—B>0的解集，可知a>0及,=1,進(jìn)而可求出方程（4K+b）（x—3）=0的解，從而可求出（ta+b）（x—3）>0

的解集.

【詳解】

b

由㈤:―6>0的解集為（L+?）,可知a>0且,=1,

令（6+5）（犬_3）=0,解得玉=一1,%=3,

因?yàn)閍>0,所以（ta+b）（x—3）>0的解集為（一8,-1）（3,+咐，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

由了（尤）的最小正周期是萬(wàn)，得口=2,

7T

即/(%)=sin(2x+—)

冗

=cos2x+?

2

=cos2x~~

I4

=cos2(x----)，

8

TV

因此它的圖象向左平移丁個(gè)單位可得到g(x)=cos2x的圖象.故選A.

8

考點(diǎn)：函數(shù)/(%)=Asin(0r+e)的圖象與性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】

三角函數(shù)圖象變換方法:

法一法;

如

驟

畫出y=sin彳的圖像1

_

得到片sin(aQ的圖像

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的。倍

得到廣sin(3/中)的照像

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的八儕縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的八倍

得到廠Asin(3/@)的圖像得到產(chǎn)tsin(3”+中)的圖像

10、A

【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為："*=40，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：42⑸+(2亞丫=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：后萬(wàn)=2拒，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：行彳=4頂，

從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：,(2何+(2何=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：萬(wàn)萬(wàn)=272，

從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：J（可+（何=2,

從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為："不=0，

從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為:

從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為:

二改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

1

對(duì)于集合A,求得函數(shù)y—的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合3,解得一元二次不等式,

再由交集的定義求解即可.

【詳解】

1},??遍A={x|x?l},

3={x|x2—2x<0}={x|x(x—2)<0}={x[0<x<2},：.(0A)B=(O,1],

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算，考查具體函數(shù)的定義域，考查解一元二次不等式.

12、D

【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為80+x=86,故x=6；

7帖az%.斗,78+82+80+y+89+91+93+97

乙的平均數(shù)為-------------卞----------------=88,

解得＞=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、x-y+l=O

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率，然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，即可寫出切線方程.

【詳解】

因?yàn)?gt;=(爐+1)蜻，所以y=(V+2x+l)eX,從而切線的斜率左=1,

所以切線方程為y_l=l(x—O),即x_y+l=O.

故答案為：x-y+l=O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.

1

14、-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=23=8，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2x2x1=4.由此能求出三人都收到禮物的概率.

【詳解】

三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，

約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個(gè)人的可能性相同)，

基本事件總數(shù)〃=23=8，

三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)777=2X2X1=4.

m41

則三人都收到禮物的概率p=-=-=~.

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15>S，O)J{e}

【解析】

2x2x

當(dāng)XW：時(shí)，轉(zhuǎn)化條件得。有唯一實(shí)數(shù)根，令g(x)=e,，通過(guò)求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即

2In(2%)、7In(2%)

可得解.

【詳解】

111

當(dāng)％=5時(shí)，f^x)=-ee0,故％=a不是函數(shù)的零點(diǎn);

2x

當(dāng)xwg時(shí),

2在1名

—ee-ln(2x)----ee

g'(x)=e%

[ln(2x)?[ln(2x)T

0,^-ju1e時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xe[,+oo]時(shí),

g'(x)>0,

2?2

g(x)的單調(diào)減區(qū)間為10,小,\,幻，增區(qū)間為仁，+8

則要使a=g(x)有唯一實(shí)數(shù)根，貝！,0)_{e}.

故答案為：(f,0){e}.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

16、-40

【解析】

（2—x）5的展開式的通項(xiàng)為：C；25f（-X），.

令r=3,得G25f（-x）r=-40x3.

答案為：-40.

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求

出其參數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（1）4+4+]=—好；（2）證明見詳解，騫=3-擊

【解析】

（1）根據(jù)2s“—%=/，可得2s用―a用=?，然后作差，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用〃+1取代”，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,

可得結(jié)果.

【詳解】

（1）由2S”—擊①，則2s角—a油=上②

②-①可得：2a〃+i—an+l+an擊=一/

所以a”+a“+i=一3

（2）由⑴可知：4+4+1=—?③

則??+1+%+2=一牙1④

1

則w，2+-2”+2廠1

令九=1,

b?1~2

2"+i

所以數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為:，公比為g的等比數(shù)列

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式以及S”,4之間的關(guān)系的應(yīng)用，考驗(yàn)觀察能力以及分析能力，屬中檔題.

18、(1)極大值—2e—1,極小值-e?;(2)詳見解析.

【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和f'(x)；

(1)當(dāng)a=-2e時(shí)，根據(jù)/'(%)的正負(fù)可確定/(x)單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，代入可求得極值;

(、

2%-1

(2)通過(guò)分析法可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明in2〉L-設(shè)/='>1,令/?⑺=1.-丑二"，利用導(dǎo)數(shù)可證得

Zv7t+1

X］五+1

X2

h(t)>0,進(jìn)而得到結(jié)論.

【詳解】

由題意得：/(%)定義域?yàn)?0,+。)，/,(x)=a(l-1j+2x-2=

x

(1)當(dāng)a=—2e時(shí)，r(x)=2(fe),

JC

當(dāng)尤e(O,l)和(e,+oo)時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)尤e(l,e)時(shí)，/'(x)<0,

???/(X)在(0,1),(e,+8)上單調(diào)遞增，在(l,e)上單調(diào)遞減，

???/(力極大值為〃1)=-26+1—2=-26—1,極小值為〃e)=—2e(e—l)+e2-2e=—e2.

(2)要證：/(玉)一/［.</(0)一/［上；々

即證：/(西)一/(々)</廣;")(二一々)，

(2aA

即證：a(x,—InxJ+x；—2玉—1(%2—1n%)—%；+2/<-------(再一々)，

V再+九2J

化簡(jiǎn)可得：aln出〉2。(-一二).

%玉+%

(、

2再]

a>0,.?.In%,、：-%),即證：lnA>_1,

XX

%l+2%A+1

X2

設(shè)，=±>1,令Mr)=lnt—2”1),則〃(。=(：1)、2〉0,

尤2v't+1r(r+l)

(、

21

??/⑺在(L+s)上單調(diào)遞增，.??//。)>砍1)=0,則由

%%+1

X2

從而有：/(西)一/(七逗[X]</(%)一/(七邃1%?

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題；本題不等式證明的關(guān)鍵是

能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.

2開2^3

19、(1)A=——；(2)3+生

33

【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得tanA,進(jìn)而求得4的值；

(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合(1)中A的值，即可將表達(dá)式化為3的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助

角公式化簡(jiǎn)，即可求得3和C,進(jìn)而由正弦定理確定a:》:c,代入整式即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)閊^S=A3-G4,

3

所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得

^-bcsinA=Z?ccos（?-A）=-becosA,

所以tanA=-6.

因?yàn)镺vAv?,

2〃

所以A=y.

（2）因?yàn)镚（》+c）=2a,

所以由正弦定理代入化簡(jiǎn)可得g（sin3+sinC）=2sinA=G,

由（1）A=,，代入可得Gsin8+sin（8+g）］=6,

展開化簡(jiǎn)可得—sinBH------cosB=-\/3,

、22,

根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得sin13+gj=1.

因?yàn)?<B（工，所以3=g,所以C=工，

366

所以AABC為等腰三角形，且a:b:c=sinA:sinB:sinC=6:1:1,

所以％生+￡1=3+走+走=3+空.

beacab333

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦和角公式及輔助角

公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3

20、(1)見解析；(2)P=—

【解析】

(1)補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下：

合格不合格合計(jì)

高一新生121426

非高一新生18624

合計(jì)302050

則K2的觀測(cè)值k=]4=關(guān)x4.327>3.841,

30x20x24x2652

所以有95%的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān).

(2)抽取的5名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)合格的有30x4=3名學(xué)生，記為“,瓦C,

競(jìng)賽成績(jī)不合格的有20x>2名學(xué)生，記為以”，

從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：ab,ac,be,am,an,bm,bn,cm,cn,mn,共10種,

這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的基本事件有：ab.ac.bc,共3種，

3

所以這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率為P=—.

22「5—

21、(1)—+^=1；(2)證明詳見解析，5(-1,0)；(3)-4,--.

4314」

【解析】

⑴根據(jù)題意列出關(guān)于”,仇c的等式求解即可.

⑵先根據(jù)對(duì)稱性，直線NE過(guò)的定點(diǎn)B一定在x軸上，再設(shè)直線PM的方程為y=k(x+4)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，進(jìn)

而求得NE的方程，并代入％=左(%+4),y2=k(x2+4)化簡(jiǎn)分析即可.

⑶先分析過(guò)點(diǎn)B的直線ST斜率不存在時(shí)OSOT的值，再分析存在時(shí),設(shè)直線ST的方程為y=m(x+l)，聯(lián)立直線與橢

圓的方程,得出韋達(dá)定理再代入OSOT=x3x4+%以求解出關(guān)于左的解析式，再求解范圍即可?

【詳解】

2

解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程工=l(a>b>0),焦距為2c,

a十%

由題意得,a=2,

a-c_c_1

-

由/a-2,可得c=L

-a

c

則-C2=3,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+2L=I；

43

(2)證明：根據(jù)對(duì)稱性，直線NE過(guò)的定點(diǎn)3一定在x軸上,

由題意可知直線PM的斜率存在,

設(shè)直線PM的方程為y=k(x+4),

丁=左(九+4)

聯(lián)