高考數學總復習（基礎知識+高頻考點+解題訓練）圓的方程

圓—的—方—程

1基礎知識要打牢強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

［知識能否憶起］

1.圓的定義及方程

定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）

標準(X—a)2+(p—6)2二產

圓心：3_也），半徑?,二

方程(r>0)

2'-1

圓心：

一般?+爐+加+功+以=0

方程(4+片-4處0)

半徑：0］毋+萬一4F

2.點與圓的位置關系

點〃（Xo,㈤與圓（X-a），+（y-6）2=/的位置關系:

⑴若〃（xo,為）在圓外，貝（］（劉-a）2+（吐-6”>丁

⑵若〃（劉，丹）在圓上，貝（］（劉-a）2+（%-6）2=7A

⑶若〃（劉，㈤在圓內，貝（］（劉-a）2+（耳-6）2</.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習題改編）方程/+/+4腔-2了+57=0表示圓的充要條件是（）

1

<1B.m<（或m>1

4-

1

C<-

ZZ74D.勿>1

解析：選B由（4而*+4-4X5/>0得（或m>1.

2.（教材習題改編）點（1,1）在圓（x-〃）2+（y+〃）2=4內，則實數己的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.（0,1）

C.（-8,-1）U（1,+8）D.（1,+8）

解析：選A???點（1,1）在圓的內部，

/.（1-5）2+（1+5）2<4,

-1<1.

3.圓心在y軸上，半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為(

A./+(y-2)2=lB./+(y+2)2=l

C.(x-I)?+5-3)2=1D./+(y-3)2=1

解析：選A設圓心坐標為(0,垃,則由題意知40-1z+廉2=I,解得6=2,故圓的方程

為/+(y-2)“=1.

4.(-濰坊調研)圓f-2x+/-3=0的圓心到直線x+小y-3=0的距離為一

1-3

解析：圓心(1,0),d=~r==l.

<1+3

答案：1

5.(教材習題改編)圓心在原點且與直線x+y-2=0相切的圓的方程為

解析：設圓的方程為/+y=a2(a>0)

J2?二a：.a=\[2,

x+y=2.

答案：f+y=2

1.方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F-0表不圓的充要條件是：

(1)彳=0；(2)2=今0；(3)方+]一4"尸>0.

2.求圓的方程時，要注意應用圓的幾何性質簡化運算.

(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

⑵圓心在任一弦的中垂線上.

(3)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線.

色|高叫(且、抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

圓的方程的求法

典題導入

[例1](1)(?順義模擬)已知I圓c關于了軸對稱，經過點(1,0)且被X軸分成兩段弧長之比為1：2,

則圓。的方程為()

皿±丹+"B(x土丹+/J

41

2

Dr+

-3-X-3-

⑵已知圓。經過4(5,1),6(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓。的方程為

2兀

［自主解答］(1)由已知知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為工一，設圓心(0,6),半徑

O

JI解得人者即6=±坐

為二貝IJ八打勺二1,rcos-=|b\,b\

4

故圓的方程為

3,

(2)圓。的方程為/+y+Dx+F=0,

26+5〃+分=0,

10+〃+尸=0,

f〃二-4,

解得「

圓，的方程為x+y-4x-6=0.

［答案］(DC(2)7+7-4^-6=0

由題悟法

「利用待定系數法求圓的方程關鍵是建立關于a,b,r或D,￡,廠的方程組.

2.利用圓的幾何性質求方程可直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程，體現了數形結合思想的運

用.

以題試法

1.(?浙江五校聯(lián)考)過圓f+/=4外一點尸(4,2)作圓的兩條切線，切點分別為4B,則△/第的外

接圓的方程是()

A.(x-4)°+(y-2)2=1B.Y+(y-2)2=4

C.(x+2)?+(y+1尸=5D.(x-2)'+(y-1)2=5

解析：選D易知圓心為坐標原點。，根據圓的切線的性質可知小，OB1PB,因此產，40,8四

點共圓，△.為8的外接圓就是以線段。戶為直徑的圓，這個圓的方程是(X-2V+5-1尸=5.

與圓有關的最值問題

典題導入

［例2］⑴(?湖北高考)過點戶(1,1)的直線，將圓形區(qū)域｛(x,y)|V+/W4｝分為,兩部分，使得這兩

部分的面積之差最大，則該直線的方程為()

A.x+y-2=0B.y-l=0

C.x-y=OD.x+3y-4=0

②P(x,力在圓C：(x-1>+(y-1)2=1上移動,則?+)的最小值為.

［自主解答］(1)當圓心與尸的連線和過點尸的直線垂直時，符合條件.圓心。與尸點連線的斜率左

=1,，直線05垂直于x+y-2=0.

(2)由C(l,1)得|0C\則|明面,,=隹T,即+))皿=/_1.所以V+/的最小值為(.-

1y=3-2機

［答案］(DA(2)3-2/

由題悟法

解決與圓有關的最值問題的常用方法

y-b

(1)形如u=—;的最值問題，可轉化為定點(a,6)與圓上的動點(x,力的斜率的最值問題(如/級To)；

(2)形如力=ax+6y的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題(如以題試法2(2))；

(3)形如(x-a￥+(y-6)2的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的最值問題(如例(2)).

以題試法

2.⑴(?東北三校聯(lián)考)與曲線C：f+y+2x+2y=0相內切，同時又與直線/：y=2-x相切的半

徑最小的圓的半徑是.

(2)已知實數x,y滿足(x-2)2+(y+1)2=1則2x-y的最大值為最小值為.

解析：(1)依題意，曲線。表示的是以點以-1,-1)為圓心，/為半徑的圓，圓心以-1,-1)到直

l2J2+J23、歷

線y=2-x即x+y-2=0的距離等于一忑——=29，易知所求圓的半徑等于、？二堂

⑵令6=2x-y,貝1J6為直線2x-y=￡在y軸上的截距的相反數，當直線2x-尸6與圓相切時，b

12X2+1—引I-I-I—

取得最值.由——忑——=1.解得6二5±4，所以2x-y的最大值為5+4，最小值為5-m.

答案：⑴羋⑵5+45-乖

與圓有關的軌跡問題

31

典題導入

［例3］(?正定模擬)如圖，已知點2(-1,0)與點8(1,0),C是圓x+y=1

上的動點，連接正并延長至〃使得I5=\BC\,求〃與勿的交點P的軌跡方

程.

［自主解答］設動點戶(蒞力，由題意可知?是△/劭的重心

由」(-1,0),8(1,0),令動點以劉，㈤,

則〃(2為-1,2%),由重心坐標公式得

—1+1+2Ab-1〃3x+1

荀二一2一，

貝W.

3y

y<>=~

代入才2+/=1,整理得（x+；）+/="go）,

故所求軌跡方程為"廿+/Jgo).

由題悟法

求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：

(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據直線、圓、圓錐曲線等定義列方程.

(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程.

(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.

以題試法

3.(?鄭州模擬)動點尸到點4(8,0)的距離是到點8(2,0)的距離的2倍,則動點尸的軌跡方程為()

A./+y=32B./+/=16

C.(jr-l)2+y=16D./+(y-1)2=16

解析：選B設P(x、y),則由題意可得x-22+/=yjx-82+/,化簡整理得/+/=16.

和j解題illl軍委聲裝GAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級全員必做題

1,圓(x+2)2+/=5關于原點尸(0,0)對稱的圓的方程為()

A.(^-2)2+y=5B./+(y-2)2=5

C.(x+2)'+(y+2)2=5.x+(y+2)2=5

解析：選A圓上任一點(x,y)關于原點對稱點為(-x,-力在圓5+2-+/=5上，即(-x+21+(-

力-5.即(2-2產+p=5.

2.(?遼寧高考)將圓V+/-2x-4y+l=0平分的直線是()

A.x+pT=0B.x+y+3=0

C.x-y+1=0D.x-y+3=0

解析：選c要使直線平分圓，只要直線經過圓的圓心即可，圓心坐標為(1,2).A,B,C,D四個選

項中，只有C選項中的直線經過圓心.

3.(-青島二中期末)若圓，的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該

圓的標準方程是()

A.(x-3)2+(y-，)=lB.(x-2)?+(y-1)2=1

C.(x-I)2+(y-3)2=1D.^-|^2+(/-1)2=1

4a-3

解析：選B依題意設圓心C(a,l)(a>0),由圓C與直線4x-3y=0相切，得一--=1,解得a=2,

U

則圓C的標準方程是(X-2)2+(y-1)2=1.

4.(?海淀檢測)點戶(4,-2)與圓V+/=4上任一點連線的中點的軌跡方程是()

A.(x-2>+(y+1)2=1B.(了-2尸+(y+1>=4

C.(x+4)?+(y-2)z=4D.(x+2)?+(y-1)、1

，4+xo

X=2'

解析：選A設圓上任一點為0(荀，㈤，制的中點為〃(x,y),貝N.解得

-2+用

、尸~2-'

[XQ-2X-4,

cC因為點。在圓f+V=4上，所以(2x-4)?+(2y+2)、4,gp(^-2)2+(y+l)2=l.

1%=2P+2.

5.(?杭州模擬)若圓f+爐-2x+6p+5z=0,關于直線y=x+26成軸對稱圖形，貝"女-占的取值范

圍是()

A.(-8,4)B.(-8,0)

C.(.—4,+°°)D.(4,+8)

解析：選A將圓的方程變形為(x-l￥+(y+3)2=10-5a,可知，圓心為析-3),且10-5a>0,

即a<2.?.?圓關于直線y=x+26對稱，丁.圓心在直線x+26上，即一3=1+2瓦解得6=—2,：.a-b

<4.

6.已知點"是直線3x+4y-2=0上的動點，點N為圓(x+lT+(y+l)2=l上的動點，貝小仞M的最小

值是()

9

A-B.1

5

|-3—4—21

解析：選C圓心(-1,-1)到點〃的距離的最小值為點(-1,-1)到直線的距離d=-----；-----

94

7,故點加到點"的距離的最小值為d-l=~

oo

7.如果三角形三個頂點分別是。(0,0),2(0,15),庾-8,0),則它的內切圓方程為.

\OA\+\OB\-\AB\15+8-17

解析：因為△/如是直角三角形，所以內切圓半徑為-----------------=——=3,圓心坐

標為(-3,3),故內切圓方程為(x+3/+(y-3)2=9.

答案:一+3)2+5-3尸=9

8.(?河南三市調研)已知圓C的圓心與拋物線/=4x的焦點關于直線y=x對稱，直線4x-3y-2=

。與圓C相交于46兩點，且|朗=6,則圓C的方程為.

解析:設所求圓的半徑是々依題意得，拋物線V=4x的焦點坐標是(1,0),則圓，的圓心坐標是(0,1),

|4XO-3X1-2|q.(\AB\\n

圓心到直線4x-3y-2=0的距離d=尸^-丁r=1,貝I]〃=/+廣可-=10,因此圓。的方程是

/+(y-1)2=10.

答案：9+(y-1尸=10

y-2

9?(?南京模擬)已知x,y滿足9+八1,則E的最小值為--------

y—2y—2

解析：一f表示圓上的點Plx,力與點0(1,2)連線的斜率，所以「的最小值是直線網與圓相切時

X—1X—1

12—用3y~2

的斜率設直線，。的方程為尸2=1)即小y+2*0,由后1得結合圖形可知，口

33

力,故最小值為了

答案

10.過點c(3,4)且與X軸，y軸都相切的兩個圓的半徑分別為心九求rs.

解：由題意知，這兩個圓的圓心都在第一象限，

且在直線P=x上，故可設兩圓方程為

(x—d),+(y-a)2=a,(x-Z?)2+(y-芹=6、

且=2.由于兩圓都過點C

則(3-a)2+(4-3)2=]，(3-6)2+(4-6)2=方

即才一14女+25=0,4-146+25=0.

貝1J己、6是方程*-14x+25=0的兩個根.

故rii2=a6=25.

11.已知以點尸為圓心的圓經過點4(-1,0)和庾3,4),線段Z8的垂直平分線交圓尸于點。和么且

=4-\/10.

(1)求直線切的方程；

⑵求圓戶的方程.

解：(1)直線4?的斜率A=l,46的中點坐標為(1,2).

則直線CD的方程為y-2=-(x-1),

即x+p-3=0.

⑵設圓心?(a,垃,則由尸在切上得a+6-3=0..①

又；直徑I)=4①，|朋=2四，

J.(a+l)2+N=40.②

^二一3,乃二5,

由①②解得.或

b=6b=-2.

.??圓心戶(-3,6)或一(5,-2).

???圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40

或0-5)2+5+2)2=40.

12.(?吉林摸底)已知關于工y的方程C：后+/一2才-4/+7=0.

(1)當m為何值時，方程C表示圓；

(2)在⑴的條件下，若圓C與直線/：x+2y-4=0相交于〃、及兩點，且1削=羋，求力的值.

解：⑴方程?？苫癁?X-1”+(y-2)2=5-〃，顯然只要5-/>0,即/<5時方程C表示圓.

(2)因為圓。的方程為(x-1產+(y-2尸=5-0，其中/<5,所以圓心以1,2),半徑

11+2X2-4|1

則圓心以1,2)到直線/：x+2y-4=0的距離為d=-

+2勺5

因為陰=與^,所以今融

所以5-勿伐卜殍卜

解得m=4.

B級重點選做題

22

1.(-常州模擬)以雙曲線X至-會V=1的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是()

A.(x—十)2+4=1B.(x-3)?+y=3

C.(x-y[3y+y=3D.(x-3)2+y=9

13I

解析：選B雙曲線的漸近線方程為x土木y=0,其右焦點為⑶0),所求圓半徑r=I,『

勺1+±yJ2

=事,所求圓方程為(x-3>+/=3.

2.由直線y=x+2上的點尸向圓C：(x-4y+5+2/=1弓|切線尸7(7為切點)，當?陽最小時，點?

的坐標是()

A.(-1,1)B.(0,2)

C.(-2,0)D.(1,3)

解析：選B根據切線長、圓的半徑和圓心到點夕的距離的關系，可知］叼="用」-1,故//最小

時，即出。最小，此時比垂直于直線P=x+2,則直線產。的方程為y+2=-(x-4),即p=-x+2,聯(lián)

\y=x+2,

立方程解得點尸的坐標為92).

ly=_x+2o,

3.已知圓〃過兩點。(1,-1),2(-1,1),且圓心〃在x+y-2=0上.

(1)求圓〃的方程；

(2)設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、陽是圓〃的兩條切線，A,6為切點，求四邊形序場面

積的最小值.

解：⑴設圓〃的方程為程-"+(y-?￡=/(r>0).

(1-a2+-1-b2=r,

根據題意，得|—-a2+\-b2=r2,

[a+b-2=0.

解得a=b=l,r=2,

故所求圓〃的方程為5-1)2+(y-1)2=4.

(2)因為四邊形奶的面積S=SAPMI+SAPBM

=^\AM\?\PA\+||W|?\PB\,

又=I颯=2,I*=1陽，所以S=2|7H

而I當I=qi網27陰2=qi冏仆4