高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

專題八立體幾何與空間向量175

8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

、五年高考,

考點(diǎn)改|用向量法判定空間中的位置關(guān)系3.（多選）（2022新高考I,9,5分，中）已知正方體

，，則（）

（多選）（2021新高考n,10,5分，中）如圖，下列各43COT1B1G

直線BC,與DA所成的角為

正方體中,o為下底面的中心,M,N為正方體的A.190°

B.直線BC與CA所成的角為90°

頂點(diǎn),P為所在棱的中點(diǎn)，貝！J滿足MNL0P的是｝｝

C.直線Bg與平面BBRD所成的角為45°

（）

D.直線BC｝與平面ABCD所成的角為45。

答案ABD

4.（2020新高考I,20,12分，中）如圖，四棱錐尸-

ABCD的底面為正方形,底面4BCD設(shè)平

面PAD與平面PBC的交線為I.

B（1）證明:以平面POC；

（2）已知PO=4O=1,Q為/上的點(diǎn)，求P8與

平面QCD所成角的正弦值的最大值.

答案BC

考點(diǎn)（2：空間角與距離解析（1）證明：因?yàn)榈酌嫠?/p>

又底面ABCD為正方形，所以AD1

1.（2022全國(guó)甲，7,5分，中）在長(zhǎng)方體48co-

OC.因此40,平面PDC.

A1B1C1D］中，已知與O與平面48co和平面

因?yàn)槠矫鍼5C,所以40〃平

所成的角均為30。,則（）

面PBC.

A.AB=2AD

由已知得/〃4D因此/±平面PDC.

B.AB與平面AB｝C｝D所成的角為30°

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，51的方向?yàn)橹лS正方

C.AC=CBl

D.B.D與平面所成的角為45°向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

答案D則0（0,0,0）,C（0,l,0）,5（1,1,0）,P（0,0,

2.（2023全國(guó)乙理,9,5分，中）已知△A5C為等腰1）,反=（0,1,0）,前=（1,1,-1）.

直角三角形,43為斜邊，△A8O為等邊三角

形.若二面角C-AB-D為150。,則直線CD與

平面48c所成角的正切值為

1V22

A.—B.—D.—

55<45

答案C由（1）可設(shè)。（Q,0,1）,則麗=（a,0,1）.

1765年高考3年模擬A版高考數(shù)學(xué)

設(shè)〃=(%,y,z)是平面QCD的法向量，則X-.-ABLAC,:.OD//AC,

又?:?！辏尽镀矫鍼4C,4CU平面PAC,:.OD//

[n,OQ=0,1ax+z=O,

_?BP可取〃=(T,O,a).平面P4C,

\n-DC=Q,=Q

---y又D、E分別為AB、PB的中點(diǎn),DE//PA,

/—\〃?PB~l—a

所以cos(n,PB)=---------------------------.又?「OEC平面P4C,P4U平面PAC,:.DE//

Ini-\PB\7W1+1

平面P4C,

/T

設(shè)PB與平面QCD所成角為仇則sin。二日-x又0O、Z)EU平面ODE,ODHDE=D,

平面ODE〃平面PAC,

IQ+1I

又OEU平面ODE,.-.OE〃平面PAC.

/l+a2

證法二：連接04,???PO是三棱錐P-ABC

易錯(cuò)余弦值轉(zhuǎn)化為正弦值后應(yīng)

:(:的高，

PO_L平面ABC,;.POA.OA.POLOB,

該是個(gè)正數(shù)).

APOA=APOB=90°PA=PB,PO=PO,

因?yàn)?；?dāng)且僅當(dāng)。時(shí)等號(hào)

=1△P04/△POB,...OA=OB,

延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)/，連接PF,

成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值

易知在RtZUBP中，。為3歹的中點(diǎn)，

的最大值為。

.,：E為PB的中點(diǎn)，OE//PF,

又(W平面P4C,PFU平面PAC,

5.(2022新高考□,20,12分，中)如圖，P。是三棱

OE〃平面PAC.

P-ABC的高,P4=PB,48,4C,E為PB的

(2)取48的中點(diǎn)M,連接0M,O4,以M為坐

中點(diǎn).

標(biāo)原點(diǎn),MB,M。所在直線分別為軸，過(guò)

(1)證明：。E〃平面P4C；

點(diǎn)M且與平面ABC垂直的直線為z軸建立如

(2)若443。=ACBO=30°,PO=3,PA=5,^

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

二面角C-AE-B的正弦值.

解析（1）證法一:連接。4,PO=3,PA=5,.\結(jié)合（1）可知OA=OB=4,

是三棱錐的高，；。平

???POP-ABC.P_L5LAABO=ACBO=30°,:.OM=2,MB=2j3,

面4BC,

尸（0,2,3）,5（2百,0,0）,4（-2后,0,0）,

PO1OA,PO±OB,:.APOA=APOB=90°,

口‘1力’

又PA=PB,PO=PO,:.APOA^APOB,

OA=OB,

ABLAC,ACBA=60°,AB=4j3,

取43的中點(diǎn)O,連接則ODLAB,

AC=12,C（-2V3,12,0）.

設(shè)平面AEB的法向量為?=（利，力肉）,

盛=（4月,0,0）,港“3月

孫二0,

AB?=0,

一即?「3

AE?%=0,3/3久]+%+寧[=0,

令為=3,則Z]=-2,二%=(0,3,-2).

設(shè)平面AEC的法向量為%=(%2，>2/2),

就=(0,12,0),

%二。，由題意知,42(2,2,1),當(dāng)(0,2,2),C(0,0,

AC?M2=0,2

_即,3用2+乃+"=0,3),4(2,0,2),

AE-H2=0,

則吐=(0,-2,1),戒=(0,-2,1),

令42=有，貝1為=-6,.,.“2=(4,0,-6),

B2C2=A2D2B2C2J/A2D2,

,\?〃2124萬(wàn)

—二----,

/.cos(n],n9>=——=——又知82c2與42無(wú)公共點(diǎn)，

l?il-1?21713x73913

B2C2//A2D2.

設(shè)二面角C-AE-B的平面角為仇則sin0=

(2).?點(diǎn)P在棱防1上，.?.設(shè)P(0,2,a)(0W

-J1—cos-0-y-,>'?—■面角C~AE—B的正弦值?W4),

結(jié)合(1)可知匯=(-2,-2,2),*=(0,—

2,1),P4=(2,0,l-a),PG=(0,-2,3-a).

6.(2023新課標(biāo)I,18,12分，中)如圖，在正四棱

設(shè)平面A2C2D2的法向量為"]=(%]，力,Zj),

柱45co中,48=2,A4]=4,點(diǎn)兒，

??1=0,[-2x1-2y.+2z.=o,

B2,C2.D2分別在棱A4],防上,即

??1=0,|-2乃+々=0,

AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：當(dāng)。2〃/2；令Z]=2,則“1=(1,1,2).

設(shè)平面P42c2的法向量為〃2=(出,4,Z2),

(2)點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2

為150。時(shí)，求82P.

?〃2=0，(2x,+(l-a)z2=0,

即一

?“2=0,\-2y2+(3-a)z2-0,

令名2=2,則〃2=(aT,3-a,2),

又；二面角P-A2C2-D2為150°,

\n{?n2I

Icos150°I=Icos〈”[,n2)I

In,I?ln2I

_la-l+3-a+4l_76

解析(1)證明：以C為原點(diǎn)，正，無(wú)，記的

?V(a~l)*2+(3-a)2+4V2a2-8a+14

方向分別為％軸,y軸,z軸的正方向，建立如

叵/a

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即:=，"化簡(jiǎn)得/_4a+3=0.解得

2Va2-4a+7

a=1或a=3,

當(dāng)a=1B't,B2P=1；當(dāng)a=3H'f,B2P=1.

綜上,為P=L

1785年高考3年模擬A版高考數(shù)學(xué)

7.（2023新課標(biāo)n,20,12分，中）如圖，三棱錐(0,0,0),

A-BCDrp,DA=DB=DC,BD_LCD,AADB=5A=(-J2,0,^),AB=(O,^,-J2),

AADC=60°,E為BC的中點(diǎn).

EF=DA,:.F(-/2,0,72)AF=(-/2,0,

⑴證明：8C，〃4；

0).(8分)

點(diǎn)產(chǎn)滿足滋涼求二面角的

（2）=,D-AB-F設(shè)平面DAB的法向量為%=(%*,zi),

正弦值.

IDA-M1=0,[-"%i+7Iz]=0,

則一即，

\AB-n}=0,[也以-yiz1=0,

令Z1=1,則％=(1,1,1).(9分)

設(shè)平面489的法向量為%=(%2，又2/2),

解析(1)證明：連接

=為的中點(diǎn)，DE1BC.令Z2=l,則〃2=（0,1,1）.（10分）

設(shè)二面角的平面角為

(1分)D-AB-F8,

又；DA=DB=DC,AADB=AADC=60°,,\n}?n?\2A/6

則as臼二證向

/\ACD與△480均為等邊三角形，

AC=AB,:.AE±BC.(2分)又，0e[0,IT],

又4ECOE=E,4EU平面ADE,DEU平

面ADE,

BCl^^ADE,(3分)/3

二面角D-AB-F的正弦值為］■.（12分）

XvDAADE,:.BC1DA.(4分)

(2)設(shè)DA=DB=DC=2,則BC=2j2,DE=8.（2023北京，16,14分，中）如圖，在三棱錐

P-ABC中，P4，平面ABC,PA^AB=5C=1,

AE=42,

AE2+DE2=^=DA1,(6分)PC=73.

AE1DE.5L-.-AEA.BC,DEQBC=E,DE(Z^（1）求證平面P45；

求二面角的大小

面BCZ),3CU平面BCD,:.4EL平面BCD.（2）A-PC-B.

以E為原點(diǎn)，記，港，就的方向分別為％軸,y

軸,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

解析（1）證明：因?yàn)槭?,平面

U平面48C,

所以P4，BC,PA，48.所以PB=

-JPA2+AB2=J2.

又因?yàn)?C=1,PC=^，所以PB2+BC2=PC2,

則0(71,0,0),4(0,0,71),3(0,&■,()),￡■所以PB1BC,

專題八立體幾何與空間向量179

又因?yàn)镽4L8C,且P4np8=P,P4,P8U平：解析(1)設(shè)4到平面48。的距離為”.因?yàn)?/p>

面P4B,

=

A-ABC~^A-AXBC~^^LABC*

所以平面P4區(qū)

(2)以8為原點(diǎn)，5C所在直線為4軸,BA所4

?匕5C.4四G=1，SAA、BC=2左，所以“二

在直線為了軸，建立如圖所示的空間直角坐

4

標(biāo)系，3x一

3廠

=72.

I272

(2)如圖，取43的中點(diǎn)E,連接4E.

-一

B

則4(0,1,0),8(0,0,0),。(1,0,0),「(0,1,；

1),所以布=(0,0,1),公=(1,-1,0),記=

(1,-1,-1),記=(1,0,0),

設(shè)平面P4C的法向量為機(jī)=(肛’,Z]),B

(m?AP=z=0,因?yàn)樗訟E,40又因?yàn)槠矫?/p>

貝”一v令九=1,則m=(1,1,：

AtBCJ_平面ABB,Al,平面A.BCC平面

\m,AC=x1-yl=0,

ABBA=4j8,4EU平面48昂4,所以4E1.平

0),ll

設(shè)平面出。的法向量為"=('為,Z?),面413c.又3CU平面ABC,所以AE1BC.

由直三棱柱43C-4B]G得山平面45C,

In-PC=XT-y2-z-,=0,

貝1」一一一一令Z2=-l,則〃=(0,：又BCU平面48C,所以A4,1BC,XA4,n

\n?BC=X2=0,

AE=A,AA1,4EU平面ABBtA.，所以BCJ_平面

1,-1),

ABB.],又4BU平面所以BCLAB.

\m-n11

所以cos〈/n,〃〉=?|=「L=°,

\m\?Ini72x722由(1)知AE=d=后,所以AB^AAl^2,AlB=

又因?yàn)槎娼?-PC-B為銳二面角，272,

所以二面角A-PC-B的大小為于又因?yàn)榈拿娣e為2立，所以BC=2.

以5為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量就，而，嬴的方向分

9.(2022新高考I,19,12分，中)如圖，直三棱柱

別為孫y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

ABC-AlB1Cl的體積為4,/XA.BC的面積為

B-xyz,

272.

(1)求4到平面43c的距離；則C(2,0,0),4(0,2,0),4(0,2,2),0(1,1,

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn),A4]=43,平面415c1),8(0,0,0),則就=(2,0,0),諭=(0,2,

，平面488Ml，求二面角4-BO-C的正弦值.

0)屈=(1,1,1).

設(shè)平面ABD的法向量為?!=(%!，乃,句),

曲?84=0,(2y.=0,

貝(1一即

,BD=0,(%1+%+21=0,

B令“1=1,得Zi=T,所以/二(1,0,-1).

(^180)5年高考3年模擬A版高考數(shù)學(xué)

設(shè)平面的法向量為〃2=(?2,先,22),所以所以S^c=；4c-EF=EF.

則巴即『巴

當(dāng)EF上BD時(shí),EF最小，即AAFC的面積最

[n2-BD=0,\x2+y2+z2=0,

73

令,%=1,得Z2=T,所以“2=(°,1,T)?小,止匕時(shí)石產(chǎn)=彳.

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，就，港，)的方向分

別為光軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角

又sin〈〃i,%〉＞0,所以sin〈〃i,〃2〉=—.坐標(biāo)系則C(-1,0,0),4(1,0,0),8

(O,73,O),D(O,O,I),F[O,^,1L

所以二面角A-BD-C的正弦值為；\44J

所以石=(-1,0,1),^=(0,-J3,1),

10.(2022全國(guó)乙理，18,12分，中)如圖，四面體

CF=fl——.

ABCD中，40，CO=CO,乙ADB=LBDC,

E為4c的中點(diǎn).

設(shè)平面48。的法向量為"=(*,y,z),

(1)證明：平面5磯)，平面4(刀；

(2)設(shè)AB=BD=2,44c3=60°,點(diǎn)F在BDIAD?n=0,(_%+z=0,

則一即廠

上，當(dāng)9C的面積最小時(shí)，求CF與平面\BD?n=0,(_J5"y+z=0,

43。所成的角的正弦值.令y=l,得〃=("」,").

設(shè)CF與平面ABD所成的角為6,

?..In,CFI4^/3-

貝[Ism0=Icos{n,CF}I=------——=,所

\n\\CF\7

4J3

解析(1)證明：因?yàn)?0=0,E為4c的以CP與平面480所成的角的正弦值為

中I占八、、,

所以O(shè)ELAC.因?yàn)?403=ABDC,AD=CD,

BD=BD,

所以所以=

又E為AC的中點(diǎn)，所以BEVAC.

11.(2021全國(guó)甲理，19,12分，中)已知直三棱柱

又OE,BEU平面BED,且DECBE=E,

ABC-A.B,C,中，側(cè)面A4向8為正方形，

所以AC,平面3EO,又4CU平面4cO,

45=BC=2,E,尸分另U為4c和CG的中點(diǎn)

所以平面ACD±平面BED.

為棱A]B]上的點(diǎn),8

⑵由題意及(1)知48=BC=2,

(1)證明：8歹，?！?；

又44cB=60。,所以4c=2,BE=VJ.

(2)當(dāng)B,D為何值時(shí)，面BBXCXC與面DFE

因?yàn)闉?c的中點(diǎn)，所以O(shè)E=1.

所成的二面角的正弦值最?。?/p>

所以DE2+BE1=BD-，貝!J0E，BE.

連接EP,因?yàn)锳C_L平面BED,EFU平

面BED,

專題八立體幾何與空間向量Q81

第四步:求出相關(guān)平面的法向量.

⑵》=(-1,1,1),而=(a,-2,1),

設(shè)平面DFE的法向量為〃=(x,y,z),

->

IEF?n=-x+y+z=0,

則—不妨設(shè)%=1,則y=

\FD-n=ax-2y+z=0,

解析第一步：證明線線垂直，為建系做

a+12~a

---,z----,

鋪墊.3'3，

BF,B{B_L,BFCB^B=B,(Q+12-a)

.??〃=”亍，亍J.

A1B1_1_平面BlClCB,

-：AB//A.B,481.平面B?CB,易知陽(yáng)=(1,0,0)是平面BB?C的一個(gè)法

又?.?BCU平面BCCB,;.ABLBC.向量.

第二步：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)量第五步：由向量夾角公式表示二面角大小,

的坐標(biāo).利用函數(shù)思想求其最值.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，區(qū)4,3。,3與所在直線分別設(shè)平面BB?C與平面OE歹所成的銳二面

為％軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角角的大小為。，貝IJcos0-Icos(m,n)I二

坐標(biāo)系，則B(0,0,0),F(0,2,l),￡(l,l,

0)部=(0,2,1),設(shè)B]D=a(0WaW2),

則O(a,0,2),則笳=(l-a,l,-2).

_____/aii

2

sind-\!l-cos0三可,故當(dāng)。二萬(wàn),即BXD~—

第三步:利用a?8=0判定線線垂直.時(shí)，平面BB{CXC與平面DFE所成的二面角的

(1)證明：?.?筋?涼=(0,2,1)-/a

正弦值最小，最小值為

2)=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0,.'.BFLDE.

1825年高考3年模擬A版高考數(shù)學(xué)

、三年^/以,

綜合拔高，148Eb均為直角梯形9〃

平面ABEF,AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

1.(2024屆山東濰坊安丘三區(qū)縣檢測(cè)，5)在正三棱

已知點(diǎn)為上一點(diǎn)求證：

柱43C-4向孰中，若43=2,44i=l,貝IJ點(diǎn)4(1)G49,4G=4O,8G

與平面不平行；

到平面48c的距離為()OCE

(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦

答案B值為g,求點(diǎn)F到平面DCE的距離.

2.(2024屆江蘇南京第一中學(xué)月考，8)在正方體

ABCD-AlBlCiDl中，點(diǎn)E為棱CIDI上的一動(dòng)

點(diǎn),記直線Bg與平面43石所成的角為仇則

cos0的最小值為()

解析(證明：因?yàn)槠矫?/p>

答案C1)04,

3.(2023河南鄭州一模，10)在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝4bU平面所以DA1AB,DAA-AF.

置中，兩個(gè)正方形框架ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都

為1,且它們所在的平面互相垂直活動(dòng)彈子

分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng),

且CM和的長(zhǎng)度保持相等CM=BN=a

(0<°<笈).則下列結(jié)論重誤的是()

又48,4斤,所以以4為坐標(biāo)原點(diǎn),4月,48,40

所在直線分別為4,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，則B(0,2,0),E(l,2,0),C(0,2,l),D(0,

0,2),6(2,0,0),

所以沅=(-1,0,1),晶=(-1,-2,2)，麗=

(2,-2,0),

設(shè)平面DCE的法向量為〃=(%,y,z),

B.當(dāng)a時(shí),的長(zhǎng)度最小

In-EC=-x+z=0,

C異面直線AC與8/所成的角為60°則一

[n?ED=-%-2y+2z=0,

D.MN〃平面BCE

令％=2,貝陵=2,丁=1,所以〃二(2,1,2),

答案B

因?yàn)椤?詬=2x2+1x(-2)=2*0,所以n與

4.(2024屆山東濱州新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)，19)如

圖，在多面體ABCDFE中，四邊形ABCD與就不垂直，即BG與平面DCE不平行.

專題八立體幾何與空間向量183

(2)設(shè)49=a(a>0且a#l),貝!J尸(0,0,0),于是」-+工-3父+您丫

tan2atan?。(0P)1OP」

BF=(a,-2,0).

"-小4

因?yàn)橹本€BF與平面DCE所成角的正弦值

OP2

2OC2-J(AC2+BC2)

2

\BF\Ini-OP

I2a-2I2

2OC---4AB_2。-2-。-2_㈣2

3xVa2+4

OP2-OP2-OP2

化簡(jiǎn)得lla2-40a-16=0,

PC2_1

4

解得a=4或a=-五(舍去)，故4/=4.所以AP2-OA2~2,

OPOP

9(4,0,0),而=(-4,0,2),由(1)知平面OCE(2)因?yàn)閠anB=tana,即=JT?,

''vONOM

的一個(gè)法向量為〃=(2,1,2),

所以0M=90N,即BC=EAC,

所以點(diǎn)F到平面DCE的距離d=

因?yàn)?c2+8。2=4),所以BC=2j3,AC=2.

\FD'n\_4

在圓0中，。1LCB,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，G4

-THI-

所在直線為無(wú)軸,CB所在直線為y軸，過(guò)C且

5.(2023山東煙臺(tái)一模，19)如圖，已知圓錐P。，

垂直于平面的直線為z軸建立空間直角

AB是底面圓。的直徑，且長(zhǎng)為4,C是圓。上

坐標(biāo)系C-xyz.

異于4,3的一點(diǎn),P4=2怎設(shè)二面角P-AC-B

與二面角P-BC-A的大小分別為a與后

(1)求一+—^的值；

tanatanp

(2)若tan[3-tana,求二面角A-PC-B的

余弦值.則C(0,0,0),4(2,0,0),3(0,24,0),

則洋(2,0,0),3=(0,26,0),

因?yàn)槠矫?4C,所以0P〃z軸，

從而P(l,有,2"),則謙=(1,有,2

設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,z),

解析(1)連接「。,則。。，平面45。

[m-CA=0,(2x=Q,

分別取的中點(diǎn)M,N,連接PM,0M,則一即

[m?CP=0,'x+j3y+242z-0,

PN,0V,則在圓0中,。4c

不妨取夕=2左，則機(jī)=(0,20百).

由P。，平面ABC,ACU平面ABC,得P01

設(shè)平面PBC的法向量為〃二(機(jī),〃,方)，

AC.又P0C0M=。，所以AC,平面PM0,因

為PMU平面PM0,所以AC，PM.所以In?CB=0,[2a口二0,

則一即

[n-CP=0,{

4PM0=a.同理，4PN0=/3.m+侶n+2尬1t-0,

1845年高考3年模擬A版高考數(shù)學(xué)

不妨取加=2也，則〃=（2/',0,-1）.D.對(duì)任意點(diǎn)"，線段AD上必存在點(diǎn)N,使得

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