2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-冪函數(shù)（學(xué)生版）

專題20幕函數(shù)

【知識點梳理】

知識點一：塞函數(shù)概念

形如>=丁(。6尺)的函數(shù)，叫做暴函數(shù)，其中a為常數(shù).

知識點詮釋：

募函數(shù)必須是形如y=%a(acR)的函數(shù)，募函數(shù)底數(shù)為單一的自變量了,系數(shù)為1,指數(shù)為常數(shù).例

如：y=3x4,y=/+i,y=(x—2)2等都不是事函數(shù).

知識點二：幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1、作出下列函數(shù)的圖象：

-13

(l)y=x；(2)y=%2；(3)y=%2；(4)y=x；(5)y=x.

知識點詮釋：

基函數(shù)隨著a的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；

(2)a>0時，塞函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+◎上是增函數(shù).特別地，當(dāng)1>1時，塞函數(shù)的

圖象下凸；當(dāng)0<。<1時，幕函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象

在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+?)時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

2、作塞函數(shù)圖象的步驟如下：

(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；

(2)若幕函數(shù)的定義域為(0,+8)或［0,+8),作圖已完成；

若在(-8,0)或(-8,0］上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性

如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；

如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象.

3、嘉函數(shù)解析式的確定

(1)借助募函數(shù)的定義，設(shè)幕函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值.

(2)結(jié)合幕函數(shù)的性質(zhì)，分析基函數(shù)中指數(shù)的特征.

(3)如函數(shù)/(x)=hx“是塞函數(shù)，求/(x)的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有左=1,即/(x)=x".

4、塞函數(shù)值大小的比較

⑴比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與。和1進(jìn)行比較.常

稱為“搭橋”法.

(2)比較嘉函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造塞函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小.

(3)常用的步驟是：①構(gòu)造累函數(shù)；②比較底的大小；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小.

【題型歸納目錄】

題型一：塞函數(shù)的概念

題型二：塞函數(shù)的圖象的應(yīng)用

題型三：塞函數(shù)的單調(diào)性

題型四：塞函數(shù)的奇偶性

題型五：基值大小的比較

題型六：定點問題

題型七：定義域問題

題型八：值域問題

題型九：解不等式問題

題型十：塞函數(shù)綜合問題

【典例例題】

題型一：塞函數(shù)的概念

例1.(2023?高一課時練習(xí))下列函數(shù)為塞函數(shù)的是()

2

A.y=2x2B.y=2x2-1C.y=—D.y=x2

x

例2.(2023?江西吉安?高一永新中學(xué)校考期中)下列函數(shù)是幕函數(shù)的是()

A.y=x2-1B.產(chǎn)斕C.y=2xD.y=0.3x

例3.(2023?江西贛州?高一?？计谥?在函數(shù)y=丁=2/，j=y=l中，塞函數(shù)的個數(shù)為()

x

A.0B.1C.2D.3

變式1.(2023?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中)已知事函數(shù)/(乃二K的圖像經(jīng)過點(4,2),則。的值為()

￡

A.BC.-2D.2

2-I

變式2.（2023?高一課時練習(xí)）已知嘉函數(shù)，（力=伍-1）/的圖象過點（"g）,則a+b等于（）

A.-B.0C.gD.1

22

變式3.（2023.浙江杭州?高一杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┮阎潞瘮?shù)“力=（/+2〃-2）./-2"在他,+⑹

上是減函數(shù)，則"的值為（）

A.-3B.1C.3D.1或一3

變式4.（2023?黑龍江大慶?高一大慶中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)/⑴=（?r-m-l）x4m+3是基函數(shù)，且在（0,+到上單

調(diào)遞增，則f（2）=（）

A.1B.211

C.g或2"D.2或2T

題型二：塞函數(shù)的圖象的應(yīng)用

例4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，下列3個累函數(shù)的圖象，則其圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是（）

ll

A.@y=x-,?y=xi,③產(chǎn)產(chǎn)B.@y=x-,?y=xi,?y=xi

C.①y=l②y=￡，③片/D.①y=￡,?y=X-',③y=￡

例5.（2023.黑龍江哈爾濱.高一統(tǒng)考期末）若點P（4,2）在基函數(shù)〃x）的圖象上，則的圖象大致是（）

p

例6.（2023?高一課時練習(xí)）已知幕函數(shù)、且。應(yīng)互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，貝女）

y

B.q為偶數(shù)，。為奇數(shù)，且“＜。

q

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且/＞。

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且“＜。

q

變式5.（2023.全國?高一專題練習(xí)）已知幕函數(shù)〃x）的圖象經(jīng)過點（8,4）,則的大致圖象是（）

變式6.（2023?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末）已知哥函數(shù)的圖象經(jīng)過點則該暴函數(shù)的大致圖象是（）

題型三：然函數(shù)的單調(diào)性

例7.（2023?高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中,在區(qū)間（―,。]上為增函數(shù)的是（）

1

A.B.y=-x2C.y=y[xD.y=-x3

"一x

例8.（2023?重慶?高一校聯(lián)考期中）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（）

2

A.y=—B.y=x2C.y=2-xD.y=

x

例9.（2023?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點卜,￡|,則/"）在定義域內(nèi)（）

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有最大值D.有最小值

變式7.（2023?陜西咸陽?高一咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（-1,田）上是增函數(shù)的是

（）

A.y=|x+l|+2B.y=3|x.C.y=~-D.y^-x+1

變式8.（2023?河南鄭州?高一鄭州市第七中學(xué)校考期末）函數(shù)/（X）=（6T-XN的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.[一（,2]B.[-3,一口C.昌,+8）D.（-8,一3

2222

1

變式9.（2023?福建?高一廈門一中?？计谥校┮阎瘮?shù)/⑶=卜2_4%+3日的增區(qū)間為（）

A.（3,+QO）B.（2,+00）C.（f2）D.S,l）

變式10.（2023?高一單元測試）暴函數(shù)丫=尤八2〃-3是奇函數(shù)，且在（0,+8）是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是（）

A.0B.0或2C.2D.0或1或2

變式IL（2023?山西大同?高一統(tǒng)考期中）已知幕函數(shù)〃x）的圖像過點仁,4）則對“X）的表述正確的有

（）

A.是奇函數(shù)，在（0,+”）上是減函數(shù)B,是奇函數(shù)，在（-8,0）上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，在（0,+8）上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，在（-8,0）上是減函數(shù)

題型四：基函數(shù)的奇偶性

例10.（2023?山西呂梁?高一統(tǒng)考期中隔函數(shù)y=的圖象過點（2,五），則關(guān)于該事函數(shù)的下列說法正

確的是（）

A.經(jīng)過第一象限和第三象限B.經(jīng)過第一象限

C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)

例11.（2023?廣東清遠(yuǎn)?高一校聯(lián)考期中）已知累函數(shù)/⑺的圖像過點（2,8）,則〃x）（）

A.是奇函數(shù)，在+8）上是減函數(shù)

B.是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，在（-8,0）上是增函數(shù)

D.是偶函數(shù)，在（-8,0）上是減函數(shù)

例12.（2023?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）若塞函數(shù)"%）=（〃工2+〃19卜'"的圖象關(guān)于，軸對稱，則根=（）

A.一5或4B.-5C.4D.2

2c25/、

變式12.（2023?廣西貴港?高一統(tǒng)考期末）若累函數(shù)〃司=瓦的圖象關(guān)于y軸對稱，解析式的幕

的指數(shù)為整數(shù)，/（X）在（-雙。）上單調(diào)遞減，則加=（）

1?1.49r1T7

AA-9B-§或§C--3D-一§或］

變式13.（2023?廣東珠海?高一珠海市第一中學(xué)?？计谥校┮阎ㄒ?/1+2（常數(shù)必WO）在（0,+8）上有

最大值"=3,若的最小值為N,則M+N=（）

A.0B.3C.4D.5

題型五：幕值大小的比較

例13.（2023?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學(xué)?？计谥校┮阎酆瘮?shù)〃制=（“-加-1卜為一對任意的

外?。,笆）且無產(chǎn)x2,滿足“：）2）>o,若“，beR,a+l+b<0,則/（l+a）+/（6）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.無法判斷

例14.（2023?吉林?高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。>方，則下列不等關(guān)系中一定成立的是（）

A.ab<b2B.a2>b2C.-<TD.a3>b3

ab

42\

例15.（2023?山東聊城?高一山東聊城一中?？计谥校┮阎獎t（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a>b>cD.b<c<a

變式14.（2023?遼寧葫蘆島?高一校聯(lián)考期中）設(shè)％=1產(chǎn)，%=8",%=130叱則（）

A.B.C.%>%>%D.

變式15.（2023?福建南平?高一統(tǒng)考期中）下列比較大小中正確的是（）

A[I"

B.

3_3

c-(-2.1)7<(-2.2/D.

題型六：定點問題

例16.（2023?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）當(dāng)aeR時，函數(shù)y=嚴(yán)-2的圖象恒過定點A,則點A的坐標(biāo)為

例17.（2023?上海徐匯?高一位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知/（x）=（2x-l）"+l,則函數(shù)>=/（x）的圖象恒過的

定點P的坐標(biāo)為

例18.（2023?高一課時練習(xí)）信函數(shù)y=xa（aeR）的圖像恒過定點.

變式16.（2023?高一課時練習(xí)）有關(guān)暴函數(shù)的下列敘述中，錯誤的序號是.

①幕函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱或者關(guān)于y軸對稱；

②兩個幕函數(shù)的圖像至多有兩個交點；

③圖像不經(jīng)過點（-1,1）的基函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對稱；

④如果兩個幕函數(shù)有三個公共點，那么這兩個函數(shù)一定相同.

變式17.（2023?陜西渭南?高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2+￡（a為不等于0的常數(shù)）的

圖象恒過定點P,則尸點的坐標(biāo)為.

變式18.（2023?河南濮陽?高一濮陽一高?？计谥校┎徽搶崝?shù)。取何值，函數(shù)y=（x-l）°+2恒過的定點坐標(biāo)

是.

題型七：定義域問題

例19.（2023?浙江?高一校聯(lián)考期末）已知幕函數(shù)y=-3ax。，則此函數(shù)的定義域為.

3

例20.（2023?高一課時練習(xí)）幕函數(shù)y=#的定義域是-

例21.（2023.全國?高一專題練習(xí)）已知幕函數(shù)〃司=|3-2租卜艱的定義域為［°，+8），則實數(shù)機(jī)=.

變式19.（2023?上海青浦?高一上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=的定義域是.

變式20.（2023?高一課時練習(xí)）若（3尤+1金有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

變式21.（2023?山東荷澤?高一階段練習(xí)）已知/（幻=k］+（3X+1）°,則Ax）的定義域為.

題型八：值域問題

例22.（2023?黑龍江雞西?高一雞西市第四中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=x-在區(qū)間［—4,—2］上的最小值是.

x,0<x<1,

例23.（2023?高一課時練習(xí)）函數(shù),的值域為.

—>1.

例24.（2023?河北石家莊?高一石家莊市第九中學(xué)?？计谥校┤裟缓瘮?shù)/（x）的圖象過點,則的值

域為?

變式22.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知max{a,=設(shè)函數(shù)〃》）=11^{凡一},其定義域為

{xIx＜0或x＞0},則函數(shù)/（x）的最小值為.

變式23.（2023?高一課時練習(xí)）已知事函數(shù)了=6/」，該函數(shù)的值域為.

變式24.（2023?高一課時練習(xí)）已知幕函數(shù)的圖象過（2,4）,那么/⑴在［0,e］上的最大值為

題型九：解不等式問題

例25.（2023?重慶?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃x）==^,若/（a+l）＜〃3-2a）,則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A/*］B?居住

（）

C.（4,+00）D.f-=o,-|ju4,+co

例26.（2023?甘肅張掖?高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)“X）的圖象過點（2,32）,若〃。+1）+"-1）＞0,貝M的

取值范圍為（）

A.（2,+oo）B.（l,+oo）C.（。,+8）D.（-1,+cc）

例27.（2023.河南洛陽?高一統(tǒng)考期中）已知基函數(shù)y=/（x）過點（2,碼，則〃x+l）＜2的解集為（）

變式25.（2023.江蘇蘇州.高一星海實驗中學(xué)?？计谥校┎坏仁剑╔+I），（3-2XH的解為（）

11

變式26.（2023?浙江溫州?高一溫州中學(xué)?？计谥校┤簦?m+l）W＞（〃，_機(jī)_3＞,則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A(1-a1

A.-----------

I22

C.(-1,4)

11

變式27.(2023?福建三明?高一校聯(lián)考期中)若.+1)5“3-2a)3,則實數(shù)。的取值范圍是()

2?2323

A.[-,+oo)B.(—co,-]C.(-,—]D.[-,—]

變式28.(2023?高一課時練習(xí))已知基函數(shù)〃司二丁上若2。)，則〃的取值范圍為()

A.(-3,5)B.(-5,3)C.(-5,-3)D.(3,5)

變式29.(2023?山東泰安?高一山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知幕函數(shù)〃x)=(6-2a-2)x"SeR)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，不等式/■(》+5)<〃/-3》)的解集為()

A.(^?,-5)..(1,+°°)B.(^?,-l)U(5,+oo)C.(-1,5)D.(-5,1)

題型十：幕函數(shù)綜合問題

例28.(2023?四川廣安?高一?？茧A段練習(xí))已知幕函數(shù)〃口=(蘇+加-5)x“+("R)在(0,+巧上單調(diào)遞

增.

⑴求m的值及函數(shù)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)=一加(切2+2?x+1-a在［0,2］上的最大值為3,求實數(shù)a的值.

例29.(2023?高一單元測試)已知事函數(shù)〃x)=(療-5根+7卜-?(〃-)為奇函數(shù).

⑴求政的值；

⑵若〃2a+l)>〃a),求實數(shù)。的取值范圍.

例30.(2023?遼寧遼陽?高一校聯(lián)考期末)已知幕函數(shù)/(x)=(6+a-5)/為奇函數(shù).

⑴求的解析式；

91

(2)若正數(shù)相,幾滿足3%+12幾+5。=0,若不等式一+—2Z?恒成立.求b的最大值.

mn

變式30.(2023?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)已知幕函數(shù)/(x)=(蘇-3加+3)”-后是偶函數(shù).

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若/(2x—l)</(2-x),求x的取值范圍.

變式31.(2023?福建龍巖?高一統(tǒng)考期末)已知幕函數(shù)/(幻=(2田-9利+10卜"I為偶函數(shù)，

g(x)=/(x)+-(^eR).

⑴若g(2)=5,求&；

(2)已知上V2,若關(guān)于x的不等式g(x)-；^>0在工+s)上恒成立，求上的取值范圍.

變式32.(2023?遼寧.高一校聯(lián)考期末)已知募函數(shù)〃x)=(療-3).尤”在(0,+巧上單調(diào)遞減.

⑴求“力的解析式;

⑵若Vxe[l,2],二求a的取值范圍.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.當(dāng)a=0時函數(shù)y=x"的圖象是一條直線

B.塞函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0,0）和（U）點

C.若哥函數(shù)、=丁是奇函數(shù)，則了=才是定義域上的增函數(shù)

D.幕函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限

2.（2023?浙江?高一校聯(lián)考期中）記a=0.2°」,b=0.1叱c=（0）q5,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

3.（2023?遼寧本溪?高一校考階段練習(xí)）若幕函數(shù)/（x）=（川一2加-2b/—+i在區(qū)間（0,+向上單調(diào)遞增，則

m=（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或一3

4.（2023?云南怒江?高一校考期末）若幕函數(shù)y=/（x）的圖象經(jīng)過］,2）,則/（-3）=（）

A.—B.3C.—D.—3

33

5.（2023?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？奸_學(xué)考試）下列不等式一定成立的是（）

A.若a>b,則!B.若a>b,則〃2〉/

C.若a>b,則Q3〉63D.若貝！JMvaOv/

6.（2023?山東棗莊?高一棗莊八中校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.f（x）=x+lB./（%）=——C./（x）=—D.f{x}=xlxl

x

7.（2023?遼寧鞍山?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（力=（川-機(jī)-1）/+加一3是幕函數(shù)，對任意％,馬￡（0,+0））,且

工產(chǎn)工2，滿足"/）>0,若Q/ER,且〃+匕>0,ab<0,則的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

8.（2023?湖北武漢?高一校聯(lián)考期末）已知塞函數(shù)的圖象經(jīng)過點則該塞函數(shù)的大致圖象是（）

二、多選題

9.（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（。,+e）內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=-桐B.y=V?c.y=x2-lD.y=%3

10.（2023.安徽蕪湖.高一統(tǒng)考期末）下圖為幕函數(shù)y=/（x）的大致圖象，則的解析式可能為（）

12

CD./（%）二聲

11.（2023嚀夏銀川?高一銀川二中?？计谀┘魏瘮?shù)"％）=（加+加-1）尤皿，,"cN*’則下列結(jié)論正確的是

（）

A.m=lB.函數(shù)/（X）是偶函數(shù)

C./（-2）</（3）D.函數(shù)八”的值域為（0,+“）

12.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若函數(shù)/（尤）="，則（）

A.7。）的圖象經(jīng)過點（0,0）和（1,1）

B.