2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：離心率求法研究（解析版）

離心率求法專題研究

【知識(shí)梳理】

1.離心率公式：e=￡（其中c為圓錐曲線的半焦距）

⑴橢圓：eC（0,1）

（2）雙曲線：eC（1,+8）

（3）離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)a,c

之間的聯(lián)系。

2.求離心率的方法:求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)a,b,c的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)

的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：

（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求

焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系,進(jìn)而兩條焦半徑與a有關(guān)，另一條邊為焦距,從而可求解。

（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算:如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,b,c進(jìn)行表示,再利用

條件列出等式求解。

3.離心率的范圍問題:在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：

（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求:例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問

題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”;則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用a,b,c表示,且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破

口。

（2）若題目中有一個(gè)核心變量,則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（構(gòu)造

函數(shù)）。

（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a,b,c的不等式,進(jìn)而解出離心率。

注:在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：

橢圓：eC（0,1）,雙曲線：ee（1,+oo）

4.求橢圓或雙曲線的離心率的值或取值范圍，一般要盡快的列出與a,b,c有關(guān)的方程或不等式，然后消去6,

轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式，就能進(jìn)一步解決問題.（求雙曲線的漸近線的斜率的值或取值范圍可

借鑒此方式）

①求值的問題主要是利用題中的等量關(guān)系，列出與a,b,c有關(guān)的方程.

②求范圍的問題相對(duì)復(fù)雜一些,主要是找出與a,6,c有關(guān)的不等關(guān)系,列出不等式或建立函數(shù)關(guān)系.【適當(dāng)注

意橢圓的焦半徑G[a—c,a+c],雙曲線的焦半徑|PF|）c—a或|PF|>c+a以及雙曲線的浙近線的

斜率能否起作用;還有點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)有限制:方程組或方程有解（判別式法;三角形中的邊角不等關(guān)系

5.解析幾何的題中有時(shí)給出一些較復(fù)雜的向量關(guān)系式，首先應(yīng)該考慮直接運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)（幾何意義）

化簡(jiǎn)，直接坐標(biāo)化化簡(jiǎn)一般較繁瑣！

【方法歸類】

一.由特征量建立a,b,c的關(guān)系（特殊三角形、等量關(guān)系轉(zhuǎn)換a,b,c的齊

次式等）

1.過雙曲線一g=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)作圓/+娟=az的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.若

ab

/AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的離心率為（）

A.-1-B.2C.yD.3

2.設(shè)為雙曲線4—￡=l（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若夙&P（0,2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙

ab

曲線的離心率為（）

A.4B.2C.4D.3

o2

3.從橢圓號(hào)+9=l(a>6>0)上一點(diǎn)P向2軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)用，A是橢圓與立軸正半軸的

ab

交點(diǎn)，B是橢圓與沙軸正半軸的交點(diǎn)，且AB〃OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()

By

4.已知橢圓+1=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為"■，直線l:3x—州=0交橢圓E

a-

于AB兩點(diǎn).若\AF\+|即=4,點(diǎn)M到直線I的距離不小于卷,則橢圓E的離心率的取值范圍是

A.(0*B.(0f]C.借1)D.[fl)

設(shè)F是橢圓4+4=l(a>0,6>0)的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF與圓/+/=d相

5.

切，當(dāng)直線PF的傾斜角為零時(shí)，此橢圓的離心率是

O

6.設(shè)橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)是可月,過點(diǎn)E的直線與橢圓。交于RQ.若|P匈=|理或，且31P月=4|QR,則

橢圓的離心率為

二.回代點(diǎn)的坐標(biāo)(點(diǎn)在圓錐曲線上)建立a,b,c的關(guān)系

7.已知F是橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)，8是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交。于點(diǎn)。，且巨旃=2兩，則橢

圓。的離心率為

8.已知過橢圓號(hào)+為=l(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)A(—a,0)作直線Z交沙軸于點(diǎn)P,交橢圓于點(diǎn)Q,若

ab

^AOP是等腰三角形，且的=2QA，則橢圓的離心率為.

27,2

9.雙曲線C：與一4=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月（―。,0）,后60）,河,77兩點(diǎn)在雙曲線。上,且

ao

皿N〃F㈤，囪園=4|MN|,線段QN交雙曲線。于點(diǎn)Q,且囪Q|=|QN|,則雙曲線。的離心率為

三.由線段長（范圍）、點(diǎn)的坐標(biāo)范圍建立a,b,c的關(guān)系

（二角形中邊角關(guān)系、焦點(diǎn)二角形、焦半徑范圍、橢圓或雙曲線中的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)范圍等）

22

10.設(shè)后、月是橢圓號(hào)+去=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線2=學(xué)上一點(diǎn)，△鼻是底角為30°

的等便三角形，則E的離心率為（）

「3

A.BR2cD.4

-J-z5

11.(線段長不等式)設(shè)E，鳥分別是橢圓空+g=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=Q上存在P,

ab。

使線段PE的中垂線過點(diǎn)月，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.(0考］B.他,*。?［嚓1)口.呼,1)

12.(焦半徑范圍)橢圓4+《=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為國(一c,0),E(c,0),若橢圓上存在一點(diǎn)P,

ab

使s?m北/PE月si?n乙為PR"E"，則離心率的取值范圍為----------------

13.(焦半徑范圍)雙曲線5=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為可&若P為其上一點(diǎn)，且=21P園,則

ab

雙曲線離心率的取值范圍為()

A.(1,3)B.(1,3］C.(3,+8)D.[3,+℃))

14.(焦半徑范圍)點(diǎn)P是雙曲線寫

=l(a>0,&>0)左支上的一點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為F(c,0)，若河為線段

ab

FP的中點(diǎn)，且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為!■，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()

O

A.(1,8]B.(l.y)。(了1~)D.(2,3]

y

15.(橫坐標(biāo)范圍)已知橢圓C：4+=l(a>b>0),點(diǎn)分別是橢圓C半長軸OAi,04的中點(diǎn)，若橢

a￥

圓。上存在點(diǎn)P滿足4聲必?而=(?,則此橢圓離心率的取值范圍是

16.（點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍）已知橢圓C：4+總=l（a>6>0）的右頂點(diǎn)4a,0），其上存在一點(diǎn)P,使得AAPO

a

90°,求橢圓的離心率的取值范圍.

四.由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換建立a,b,c的關(guān)系

17.已知小用是雙曲線「一%2

=l(a>0,6>0)的兩焦點(diǎn)，以線段EE為邊作正三角形踞￡,若邊郎

的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是

C+]

A.4+2V3B.—1-2—D.A/3+1

222

18.過雙曲線與—七=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(—c,0)(c>0),作圓：/+才=牛的切線，切點(diǎn)為E,延

ab4

長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若&；=^(OF+9)，則雙曲線的離心率為.

19.已知國月是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/取室=寺,記橢圓離心率雙曲

O

線的離心率已2,（工+。）—__________.

'e?'max

20.橢圓。:名+%=l(a>6>0),P為。的上的任意一點(diǎn)，APEE的重心G,內(nèi)心為/,且IGJ/月后,則橢

ab

圓的離心率為.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓考■+4=l(a>b>0),以。為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn)(華,0)作圓的兩

ab\c/

條切線相互垂直，則離心率e=.

2..2

22.橢圓與+/=1(Q為定值，且。>西)的左焦點(diǎn)為F,直線出=小與橢圓相交于點(diǎn)AB.若的周

a5

長的最大值是12,則該橢圓的離心率是.

23.橢圓用+4=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為用(一c,0),￡(c,0),橢圓上存在點(diǎn)M使硒?硒=0,則該橢圓

ab

離心率e的取值范圍為.

,2

24.已知橢圓十+*=1(&>6>0)的焦點(diǎn)分別為片譙,若該橢圓上存在一點(diǎn)。,使得/所狎=60°,則橢

圓離心率的取值范圍是

25.如圖，以48為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD,且AB〃CD.若雙曲線。以A,B為雀點(diǎn)且過G。兩點(diǎn),

則當(dāng)梯形的周長最大時(shí)，雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.1+V2D.1+V3

26.如圖,等腰梯形ABCD中，4B〃CD,且AB=2AD,設(shè)ADAB=d0C（0,專），以4B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D

的雙曲線的離心率為硒，以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2,則（）

A.隨著角度。的增大，生增大，e?為定值；B.隨著角度。的增大，生減小，為定值；

C.隨著角度個(gè)的增大，％增大，eie2也增大；D.隨著角度個(gè)的增大，生減小，e色也減小

作業(yè)i.若雙曲線￡

=l(a>O,fe>0)的一條漸近線被圓Q—2)2+/=4所截得的弦長為2,則。的

ab

離心率為

D?竽

A.2B.V3

作業(yè)2?橢圓￡+^=l(a>fe>0)的焦點(diǎn)為用,月,兩條直線，=±*與2軸的交點(diǎn)分別為陷N,若|7WN1

W2|用,則該橢圓離心率的取值范圍是

A.(0,切B.(0,*C[4，1)

D-年)

作業(yè)3.過雙曲線河:丁—m=1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線Z,如I與雙曲線河的兩條漸近線分別相交于

B,。,且|AB|=|BC|,則雙曲線”的離心率是何

2

作業(yè)4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系。Og中，F(xiàn)是橢圓5+y=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)，直線沙=方與橢圓交

b2

于BC兩點(diǎn)，且4BFC=90°,則該橢囹的離心率選手.

作業(yè)5.已知點(diǎn)F是雙曲線用一去

=l(a>0,6>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于，

ao

軸的直線與雙曲線交于AB兩點(diǎn)，若△4BE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()

A.(1,+8)個(gè)B.(1,2)C.(1,1+72)D.(2,1+72)

作業(yè)6.如圖，已知雙曲線耳一皆2

=l(a>0,fe>0)的左右焦點(diǎn)分別為后，后,|鼻州=2,P是雙曲線右支上的

ab

一點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)AA4PR的內(nèi)切圓半徑為夸,則雙曲線的離心率是()

A.乎B.V2

C.V3D.2V2

作業(yè)7.設(shè)橢圓。:每+3=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為昂用，過用作2軸的垂線與。相交于4B兩點(diǎn),

號(hào)B與夕軸相交于點(diǎn)。，若AD，用8,則橢圓C的離心率等于

作業(yè)8及后分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，過用的直線，與雙曲線的左、右兩支分別交心兩點(diǎn),

若4ABB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為

作業(yè)9.已知橢圓。A券=l(a>6>0)長軸的兩個(gè)端點(diǎn)是AB,若。上存在一點(diǎn)P,使/APB=120°,

求橢圓。的離心率的取值范圍

作業(yè)1O.M,N,P分別是橢圓。名+

p-=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若NMFN=/NMF+

90°,則橢圓。的離心率等于

離心率求法專題研究

【知識(shí)梳理】

1.離心率公式：e=￡（其中c為圓錐曲線的半焦距）

⑴橢圓：eC（0,1）

（2）雙曲線：eC（1,+8）

（3）離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)a,c

之間的聯(lián)系。

2.求離心率的方法:求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)a,b,c的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)

的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：

（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求

焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系,進(jìn)而兩條焦半徑與a有關(guān)，另一條邊為焦距,從而可求解。

（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算:如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,b,c進(jìn)行表示,再利用

條件列出等式求解。

3.離心率的范圍問題:在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：

（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求:例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問

題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”;則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用a,b,c表示,且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破

口。

（2）若題目中有一個(gè)核心變量,則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（構(gòu)造

函數(shù)）。

（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a,b,c的不等式,進(jìn)而解出離心率。

注:在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：

橢圓：eC（0,1）,雙曲線：ee（1,+oo）

4.求橢圓或雙曲線的離心率的值或取值范圍，一般要盡快的列出與a,b,c有關(guān)的方程或不等式，然后消去6,

轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式，就能進(jìn)一步解決問題.（求雙曲線的漸近線的斜率的值或取值范圍可

借鑒此方式）

①求值的問題主要是利用題中的等量關(guān)系，列出與a,b,c有關(guān)的方程.

②求范圍的問題相對(duì)復(fù)雜一些,主要是找出與a,6,c有關(guān)的不等關(guān)系,列出不等式或建立函數(shù)關(guān)系.【適當(dāng)注

意橢圓的焦半徑G[a—c,a+c],雙曲線的焦半徑|PF|）c—a或|PF|>c+a以及雙曲線的浙近線的

斜率能否起作用;還有點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)有限制:方程組或方程有解（判別式法;三角形中的邊角不等關(guān)系

5.解析幾何的題中有時(shí)給出一些較復(fù)雜的向量關(guān)系式，首先應(yīng)該考慮直接運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)（幾何意義）

化簡(jiǎn)，直接坐標(biāo)化化簡(jiǎn)一般較繁瑣！

【方法歸類】

一.由特征量建立a,b,c的關(guān)系（特殊三角形、等量關(guān)系轉(zhuǎn)換a,b,c的齊

次式等）

1.過雙曲線一g=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)作圓/+娟=az的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.若

ab

/AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的離心率為（）

A.-1-B.2C.yD.3

2.設(shè)為雙曲線4—￡=l(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若夙&P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙

ab

曲線的離心率為()

A.4B.2C.4D.3

o2

【解析】V3=tan60°=-，4&2=3c2=4c2—4a2=3c2=^>c2=4a2,e2=4

c

【答案】B

3.從橢圓號(hào)+9=l(a>6>0)上一點(diǎn)P向2軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)用，A是橢圓與立軸正半軸的

ab

交點(diǎn)，B是橢圓與沙軸正半軸的交點(diǎn)，且AB〃OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()

By

【解析】解法一（代數(shù)法）避=（―a,b）麗=（―c,9）

AB//OBn—ax—=—c-6fe=c=>a2—c2=c2=>a2—2c2ne?=3

a2

尤

解法二（幾何法）a=§ntana=tan/?^~=nb=c

【答案】C

4.已知橢圓H:%+1=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為"■，直線l:3x—州=0交橢圓E

a-

于AB兩點(diǎn).若\AF\+|即=4,點(diǎn)M到直線I的距離不小于卷,則橢圓E的離心率的取值范圍是

A.（04]B.（01]?J乎1）D.中）

【解析】由Z：3rr-4y=0心里及橢圓均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

連接AF{,BFl得LJAFyBFn4=\AF\+\BF\=\AF\+\AF{\n4=2a0a=2.

【答案】A

5.設(shè)F是橢圓1+多=1伍＞0,6＞0）的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)。,使得直線9尸與圓/+/=62相

切，當(dāng)直線PF的傾斜角為零時(shí)，此橢圓的離心率是

O

【解析】PF'.y=-V3?（力+c）nV3x+g+V3c=0

d=卷^=6=>3c2=4b②=4a2-4c2

4a2=7C2

2=A

e7

【答案】A

6.設(shè)橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)是可月,過點(diǎn)E的直線與橢圓。交于RQ.若|P匈=|理或，且31P月=4|QR,則

橢圓的離心率為.

【解析】不妨令戶局=4,|QEl=3

2a—4=2。①

2222

（2a-3）2=（3+2）+|。研=5+（2c）-2@

（2a-4=2c

由①,②推出t（2a-3）2=21+4c2

利用3PE=4Q號(hào)利用條件+作垂線勾服三角形

=＞（2c+I）2=21+4c2=c=5,a=7

【答案】/

二.回代點(diǎn)的坐標(biāo)（點(diǎn)在圓錐曲線上）建立a,b,c的關(guān)系

7.已知F是橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交。于點(diǎn)。，且巨旃=2百萬，則橢

圓。的離心率為

【解析】解法一（向量外D點(diǎn)坐標(biāo)）

BF=（c,—b），F(xiàn)D=（x—c,y）

c=2x—2c=%=。（會(huì)告）代回

0~b=2y=薪+評(píng)T

y~2

92

解法二(幾何法)

2:1=Z)(-1-c,―=(c2+a2)?/2—25c2?y—b，=0

_8（0,%）,。（22,例）=>%=-2仇

解法三（不對(duì)稱問題--線性關(guān)系）

JZSF:x——by+c

（橢方/+/娟—Q2/=O

c2+a2)=8c4=e2=[

o

8.已知過橢圓與+率=1（。>0,b>0）的左頂點(diǎn)A（—a,0）作直線I交y軸于點(diǎn)P,交橢圓于點(diǎn)。，若

ab

AAOF是等腰三角形，且所=2QA，則橢圓的離心率為.

【解析】而=（劣,g-a）,^5=（一。一力,一沙）

0PQ=2?QA=（6,g—Q）=2?（—a—x,—y）

2

x=--g-a

x=—2a—2T

0半回代橢圓

y—a=-2ya0

222

一4?a?a2a—bi14

3kH-----5=l=F=5ne=----弓—=1—p

99b2b2a255

【答案】y

9.雙曲線C：軍一首=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月（―。,0）,后60）,河,77兩點(diǎn)在雙曲線。上,且

ab

皿N〃F㈤，囪園=4|MN|,線段QN交雙曲線。于點(diǎn)Q,且囪Q|=|QN|,則雙曲線。的離心率為

【解析】%=亍

=編=*（學(xué)t）=火（旨T）=N仔,6?

中點(diǎn)Q（—[c，].J備一1）

回代點(diǎn)Q0懸e2T?（宗T=1

三.由線段長（范圍）、點(diǎn)的坐標(biāo)范圍建立a,b,c的關(guān)系

（二角形中邊角關(guān)系、焦點(diǎn)二角形、焦半徑范圍、橢圓或雙曲線中的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)范圍等）

10.設(shè)用、鳥是橢圓興=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線2=苧上一點(diǎn)，△鼻明是底角為30°

的等便三角形，則E的離心率為

A.JB.4C.4D.4

/D4J

【解析】-|-a—c—|pB|?sin30°=ce=-|-

【答案】C

11.(線段長不等式)設(shè)用，月分別是橢圓空+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線xJ上存在P,

ab。

使線段PE的中垂線過點(diǎn)月，則橢圓離心率的取值范圍是()

【解析】解法一：F2|）|Q￡|=2c>cnc?W3c

co

解法二：=>m2=（2c）2—（苗—c）>0n2c>￡—c

【答案】D

12.(焦半徑范圍)橢圓4+《=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為國(一c,0),E(c,0),若橢圓上存在一點(diǎn)P,

ab

使s?m/北PE月si?n乙為PR"E"，則離心率的取值范圍為----------

【答案】(2-1,1)

13.(焦半徑范圍)雙曲線5=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為可&若P為其上一點(diǎn)，且=21P園,則

ab

雙曲線離心率的取值范圍為()

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+8)D.[3,+8)

【解析】rf=2、『北

r

[『1=2r2li—4a

\PFi\>|Q月|=>2a>c—Q=>3a>cne43

【答案】B

14.（焦半徑范圍）點(diǎn)P是雙曲線《—冬=l（a>0,6>0）左支上的一點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為F（c,0），若河為線段

ab

FP的中點(diǎn)，且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為!■，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

O

A.(1,8]B-D.(2,3]

15.（橫坐標(biāo)范圍）已知橢圓C*+菅=l（a>b>0）,點(diǎn)MN分別是橢圓。半長軸04,04的中點(diǎn)，若橢

圓。上存在點(diǎn)P滿足4PM?而=（?,則此橢圓離心率的取值范圍是.

2________

【解析】解法一（點(diǎn)范圍）*=0河,/^=（—號(hào)一四）,一統(tǒng)）?

222

*=力彳_*+需n/+昭??"0

20畔We<l

導(dǎo)52

解法er（幾何法）由解法一>屑+*=$，又P軌與橢圓有交點(diǎn)n為>bne?>2

【答案】［?,1）

16.（點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍）已知橢圓C：與+*=l（a>b>0）的右頂點(diǎn)4a,0），其上存在一點(diǎn)P,使得ZAPO

a

90°,求橢圓的離心率的取值范圍.

【解析】解法一:點(diǎn)在為直徑的圓上,又在橢圓。上,則有:

<-22

—y+三~=1(2)1—Q②1—Q

Iab

①代入②中=(a2-就一卷?g+砂=o

222

=[(a—6)T0—ab]?(x0—Q)=0又/0VQ

=>g=-~2e(。,a)o/>2b2

a-b

oa2V2c2ne?>0<e<1

n#Ve<L

解法二：加?布=0

0=(g,9o)?(x0-a,yo)

=就一ag+*又*=*?(a2-reg)

=屆一(IXQ+也y(Q2—XQ)

a

22

0=(Q2—b)x—Q3g+Q2b2

下面同法一(略)

四.由幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換建立a,b,c的關(guān)系

17.已知E、E是雙曲線，■—5=l（a>0,6>0）的兩焦點(diǎn)，以線段EE為邊作正三角形MRE，若邊MR

的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是（）

&+1

A.4+2V3B.V3-1D.A/3+1

【解析】ZWf］鳥句尊|=啰。

定義一n|^V2|-\NF1=2a

即V3c—c=2a=>e=—=V3+1

【答案】D

18.過雙曲線名■—苗■=1（&>0力>0）的左焦點(diǎn)廠（一（2,0）億>0）,作圓：/+才=斗的切線,切點(diǎn)為后,延

ab4

長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若&；=^（OF+9），則雙曲線的離心率為.

【解析】，2=|p理=2\OE\=a

Ti—72+2Q—3Q

Rtb=>7：+*=（2c）2010a2=4c2=>e2=-1-

19.已知國月是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/取室=寺,記橢圓離心率雙曲

O

線的禺心率e2,+上)—__________.

'e?'max

【解析】解法一:2+‘212電fn=Qi+。2

\r=Qi—。2

-72=2a22

T7]_兀_4+rl—4c?

又2=cosg=

2r。2

——2-cos91

設(shè)由J+匚堊.16

—=爰sin，生e2

le2V3

解法二（柯西不等式:積和方W方和積）

fic=—>0

ei

令n-+3y2=4,求(a;+y)max

y=i>0

(a?+(V3y)2)-[12+》(①T+囂+y)

4：x(x+yy2x+y<4f.

oo

20.橢圓。:馬+多=l（a>b>0）,P為。的上的任意一點(diǎn)，kPFM的重心G,內(nèi)心為1,且IGJ/月鳥,則橢

ab

圓的離心率為.

【解析】解法一:設(shè)%>0P（g,y。）.重心G（學(xué)華）.

設(shè)內(nèi)切半徑r,/G〃EEnr=，Q=咨.

O

等面積法0當(dāng)?(2c+\PF{\+|P￡|)=2c?%=>4(2c+2Q)=2cn4c=2Qn6=J

OJ/

n

解法二:角平分線性質(zhì)_\PI\_r2

\F[M\~\MI\一\F2M\

\PI\_\PG\_2

IGURF2n

\MI\~|G-0|1

\PI\ri+r2a

合比性質(zhì)02=2

一

\MI\~\FXM\+\F2M\2c

21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓考■+率=l（a>b>0）,以。為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn)（，,0）作圓的兩

abc

條切線相互垂直，則離心率e=.

【解析】四邊形OAQB為正方形，/=2ana=2c=e=^

【答案】

2

22.橢圓《+等=l（o為定值，且a>V5）的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A,B.若^FAB的周

a3

長的最大值是12,則該橢圓的離心率是.

【解析】周長=|E4|+F8

=2Q—|^4.2*2）+2Q—\By/21+

=4a+\AB\——\BF^<4Q4Q=12a=3c2=Q?-5=4

【答案】日

o

2?2__________

23.橢圓與+3=1（Q>6>0）的兩焦點(diǎn)為E（—c,0）,月（c,0）,橢圓上存在點(diǎn)河使用M-￡M=O,則該橢圓

a0

離心率e的取值范圍為.

【解析】解法一（定義一）

、,+fn+r2=2a“％、L「，1

法一：〈??00rl=/（5,仇c）e[a—c,a+c_|ne

（ri+r2=4c2

法二：匕+,廠2a寸以又0<e<l

"；+代=4。2V22V2

一fr1+r2=2a

法三：8$90。=._]=00發(fā)3=2/=r1=/（%.0）6[&—c,a+c]ne

Inn

法四：八十,二^又"血ne

解法二（定義二:焦半徑公式）

『飛=%曷=—c[（W]ne

解法三（幾何特征）M點(diǎn)軌跡方程/+才=02與橢圓耳+[_=1有交點(diǎn)，

ab

oc>b=>c?>/=a?-。2=Q2<2c2=>/>0<e<1

解法四（焦點(diǎn)△中視角問題）*ax>90°=p>45°ntan夕=點(diǎn)>tan45°=1=>e

【答案

24.已知橢圓士+苔=l（a>b>0）的焦點(diǎn)分別為E,&若該橢圓上存在一點(diǎn)P,使得NRP耳=60°,則橢

ab

圓離心率的取值范圍是.

【解析】解法一：。>60°ncos(19max)=駕—1<cos60°=-y

7/3621

=力廠=1—薪氣

解法二：夕max>60°=>0>30°ntanp>tan30°=卷>=e

【答案】白，1）

25.如圖，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB〃CD.若雙曲線。以A,B為崔點(diǎn)且過兩點(diǎn),

則當(dāng)梯形的周長最大時(shí)，雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.1+V2D.1+V3

【解析】設(shè)Z.BAC=。=>\BC\=2R-sin6)=>\EB\=\BC\-sin。=2R-sin%

|CD|=2R-2?\EB\^2R-4R-sin26?

=>梯形周長=+2-\BC\+\CD\

—2R+4R,sin。+2R—47?,sin?。

——4_R,(sinJ—+5R

當(dāng)sin”即昨?qū)r(shí)，梯形周長最大值5R.

[\BC\^R

此時(shí)

[\AC\^V3R

a=J(“H