2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：有關(guān)圓的解法和證明專項(xiàng)練習(xí)

有關(guān)圓的解法和證明專項(xiàng)練習(xí)

圓可以和直線型所有知識(shí)融合在一起，集幾何之大成，中考中可以在選擇題、填空題、解答題等試題中呈現(xiàn).本專題主

要講解圓中角度、線段、面積等基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，并結(jié)合典型題的解證總結(jié)和概括解題規(guī)律和解題方法.主要知識(shí)點(diǎn)有：①圓

周角、圓心角、圓內(nèi)角、圓外角及它們所對(duì)的弧之間的關(guān)系；②圓中的直角三角形，主要是作垂線運(yùn)用垂徑定理、直徑所對(duì)

的圓周角是直角和切線性質(zhì)；③切線的兩種判定方法，三種位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化；④面積的計(jì)算等.

引例熱身

1.如圖,在0O中，ZABC=20°,ZDAC=24°,則NADO的度數(shù)為（）

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖,菱形OABC的頂點(diǎn)A,B,C在。O上,過點(diǎn)B作OO的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.若。O的半徑為1,則BD的長(zhǎng)為（）

A.1B,2C.V2D.V3

3.如圖,在4ABC中，ZACB=90°,ZABC=45°,AB=12cm,將4ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在AB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，則

陰影部分的面積是（）

A.12KB.36兀C.27TtD.30兀

思路指引

L■觀察角的位置-A|弧是圓心角和圓周角的聯(lián)系橋—A|完成角的轉(zhuǎn)化

2.■利用切線性質(zhì)---?有切點(diǎn)，連半徑，得垂直---?求出相關(guān)線段

根據(jù)旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)--通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化--實(shí)現(xiàn)等積變形

點(diǎn)撥分析

1.給出的已知角都是圓周角，連接OA,OC構(gòu)成圓心角，找圓心角與圓周角的關(guān)系是關(guān)鍵，而它們所對(duì)的同一條弧是橋

梁聯(lián)想到同弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，得乙40c=2AABC=40。,/COD=2ACAD=48。,可求得AAOD=88°

.由等腰三角開鄉(xiāng)OAD,得NAD。=N04D=號(hào)X（180°-88°）=46。.故選D.

2.從圖中可以看出，連接OB,可得.△OBD是直角三角形，由四邊形OABC是菱形和同圓半徑相等，得=60。根

據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，得（OB=l,BD=V30B=VI故選D.

3.從圖中可以看出，由旋轉(zhuǎn)可知，尋找旋轉(zhuǎn)中的不變量，可以把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)扇面，即兩個(gè)扇形面積的差.

確定兩個(gè)扇形的半徑，求出扇形所在的圓心角度數(shù)，可求出陰影面積為27兀（皿2）.故選c.

典例串燒

例1已知0O是^ABC的外接圓，過點(diǎn)A作。O的切線，與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,CP與0O交于點(diǎn)D.

⑴如圖①,若4ABC為等邊三角形,求NP的大小.

⑵如圖②,連接AD,若PD=AD,求/ABC的大小.

例1題圖

思路指引

以弧為橋?qū)A周角連圓心和切點(diǎn)三角形外角等于和它不

⑴與圓心角互相轉(zhuǎn)化得直角三角形相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

|得等腰卜

連半徑求得目標(biāo)角

⑵由切線

得垂直

迷津指點(diǎn)從條件出發(fā),連接OA.由切線的性質(zhì),得NPAO=90。.

⑴由△ABC是等邊三角形,得NB=60°,可推出."10C=120。,從而得出ZP=30。.

(2)由PD=AD,得NP=NPAD,而OA=OD,ZOAD=ZADO=2ZP=2ZPAD,且NPAO=90。,可得NP=/PAD=30。，ZAOC=1

20°,所以NABC=60。.

針對(duì)訓(xùn)練1.如圖.AB為OO的切線,切點(diǎn)為A,OB交。O于點(diǎn)C,點(diǎn)D在。O上,且OD〃AC,若NB=38°,則NODC

的度數(shù)為()

A.46°B.48°

C.52°D.58°

例2如圖,已知MN是。O的直徑,P點(diǎn)是。O上的一點(diǎn),NP平分/MNQ,且NQ1PQ.

⑴求證:直線PQ和OO相切.

(2)若NMNP=30。,PQ=V5,求＜30的半徑.

路指引

例2題圖

(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，根據(jù)切線的判定定理，推斷出要證明直線PQ和。O相切，需連接OP,構(gòu)成角平分線加等腰三角

形的基本圖形，從而得到OP〃NQ,而NQ1PQ,故可得OP1PQ,直線PQ是0O的切線.

⑵連接MP,如圖,MN是0O的直徑,所以NMPN=90。.在RtAPQN中.ZPNQ=ZMNP=30°,可求得.PN=2PQ=2V3.

在RtAMPN中,可求得MN=4,故。O的半徑為2.

針對(duì)訓(xùn)練2.如圖,AD是。O的直徑,AB為00的弦,0E±AD,OE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,點(diǎn)C在0E上,滿足“C

BE=ZADB.

⑴求證:BC是。。的切線.

⑵若NCBE=NADB=30。,OA=3,求線段CE的長(zhǎng)

針對(duì)訓(xùn)練2題圖

例3如圖.在四邊形ABCD中.AB\\DC,^B=ND.過點(diǎn)C作CH±AB交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,設(shè)垂足為點(diǎn)H.以CE為直徑

作。O分別交AD,BC于點(diǎn)F,G,連接CF,CF=CH.

⑴求證:四邊形ABCD為菱形.

(2)若tanB=：,OH=9,求AE的長(zhǎng).

思路指引

已知一組對(duì)邊平行，

先證平行四邊形再證鄰邊相等

(1)需證另一組對(duì)邊平行一"

觀察目標(biāo)位置一?尋找相似關(guān)系--表示相關(guān)線段--列出有關(guān)方程

迷津指點(diǎn)⑴AB〃CD,/B=ND,可證得.ZB+"AB=180。,所以4D||BC,可得四邊形ABCD是平行四邊形.再由CE是

直徑,(CHL4B得乙CFD=90°=NCHB,可證得△CFD空△CHB(AAS),所以CD=CB,所以四邊形ABCD是菱形.

(2)由(1)可知,AB=AD,BH=DF,故AF=AH,

設(shè)AH=4a,貝UHE=3a,AE=5a,AF=4a,

△EAHS/XECF,

可得CF=12a,CE=15a.

因?yàn)?OH=9,CE=20E=2(0H+HE),

得方程15a=2(9+3a),

a=2,AE=5a=10.

針對(duì)訓(xùn)練3.如圖.OO是.△ABC的外接圓,AB是。O的直徑，點(diǎn)D在。O上,AC平分NBAD,過點(diǎn)C的切線交直徑A

B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD,BC.

(1)求證：ZBCE=ZCAD.

⑵若AB=10,AD=6,求CE的長(zhǎng).

D.C

針對(duì)訓(xùn)練3題圖

例4如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點(diǎn),D是一BC的中點(diǎn)，BC與AD,OD分別交于點(diǎn)E,E

⑴求證:DO〃AC.AB

(2)求證:DE-DA=DC2.

(3)若tan^CAD=(求sinZCDA的值.例4題圖

思路指引

迷津指點(diǎn)⑴因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),得OD1BC,AB是直徑,得AC垂直于BC.故DO〃AC(也可以由圓心角與圓周角

的關(guān)系導(dǎo)出).

(2)由等弧所對(duì)的圓周角相等得至[].乙CAD=ZDCB,.'.ADCE~AD4C,由比例式證得CD?=DE-DA.

⑶連接BD,則BD=CD,ZDBC=ZCAD.在RtABDE中,tan/DBE=需=需=設(shè)DE=a,則CD=2a,而(CD2=DE-DA

，則AD=4a".AE=3a,二需=3,而^AEC^ADEF,即^AEC和ADEF的相似比為3,

設(shè)EF=k,則CE=3k,BC=8k,

1Q

tanZ.CADAC=6k,AB=10k,:.smZ-CDA=

針對(duì)訓(xùn)練4.如圖,在RtAABC中,.乙4cB=90。,乙4=30°,BC=1,以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的G>O經(jīng)過

點(diǎn)B.

(1)求。O的半徑.

⑵點(diǎn)P為劣弧AB中點(diǎn)，作PQ14C,垂足為Q,求OQ的長(zhǎng).

⑶在⑵的條件下,連接PC,求tanZPCA的值

針對(duì)訓(xùn)練4題圖

測(cè)試闖關(guān)

1.如圖.。0是等邊三角形ABC的內(nèi)切圓.分別切AB,BC,AC于點(diǎn)E,F,D,P是存■上一點(diǎn)，則NEPF的度數(shù)是()

A.65°B.60°C.58°D.50°

第1題圖

2.如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，0O經(jīng)過格點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)P是頂上任意一點(diǎn)，連接AP,BP,則tan/APB的值為()

「V3

AL.—D書

]嶗35

3.如圖①,在。。中,AB為直徑,C為。O上一點(diǎn),ZA=30°,過點(diǎn)C作。O的切線,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求NP的大小.

(2)如圖②,過點(diǎn)B作CP的垂線,垂足為點(diǎn)E,與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

①求NF的大小;

②若。O的半徑為2,求AF的長(zhǎng).