2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（共8題，共24分，每小題3分）1．（3分）如圖，在平面內將三角形標志繞其中心旋轉180°后得到的圖案（）A． B． C． D．2．（3分）若點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，則h的值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．（3分）關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是0，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．04．（3分）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD等于（）A．55° B．45° C．40° D．35°5．（3分）南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據題意可以列方程為（）A．x（x+30）＝864 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x2﹣60x﹣864＝06．（3分）如圖，點A在函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）已知二次函數y＝mx2﹣2mx（m為常數），當﹣1≤x≤2時，函數值y的最小值為﹣2，則m的值是（）A．﹣2或 B．﹣2或 C．2或﹣ D．2或﹣8．（3分）將二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）9．（3分）近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m，則y與x之間的函數關系式是．10．（3分）二次函數y1＝ax2+bx+c與一次函數y2＝mx+n的圖象如圖所示，則滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是．11．（3分）已知關于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是．12．（3分）若點A（m，﹣2）在反比例函數的圖象上，則當函數值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是．13．（3分）一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則α的度數為．14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等的實數根，則a2+b+ab的值為．15．（3分）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面米．16．（3分）如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE＝CB，連接AE，以AE為腰，A為直角頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當CD最大，且最大值為+1時，則AB．三、解答題（共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19-23每小題8分、24題7分）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x＝5（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）18．（7分）解方程：．19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若該方程的兩個實數根都是整數，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．20．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B沿順時針方向旋轉90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度數；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的長．21．（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數關系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據上述數據，直接寫出k的值為，直接寫出滿足的函數關系式：；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？22．（6分）在平面直角坐標系xOy中，記函數的圖象為G，直線l：經過A（2，3），與圖象G交于B，C兩點．（1）求b的值；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記圖象G在B，C之間的部分與線段BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m＝2時，區(qū)域W內的整點個數為個；②各區(qū)域W內恰有4個整點，結合函數圖象，m的取值范圍為．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（x0，m），B（x0+4，n）在拋物線y＝x2﹣2bx+1上．（1）當b＝5，x0＝3時，比較m與n的大小，并說明理由；（2）若對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范圍．24．（7分）在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點O（0，0），點A（6，0），點B（0，8）．以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC，得到矩形ADEF，點O，B，C的對應點分別為D，E，F，記旋轉角為α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如圖①，當α＝30°時，求點D的坐標；（Ⅱ）如圖②，當點E落在AC的延長線上時，求點D的坐標；（Ⅲ）當點D落在線段OC上時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）．

2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8題，共24分，每小題3分）1．（3分）如圖，在平面內將三角形標志繞其中心旋轉180°后得到的圖案（）A． B． C． D．【分析】根據旋轉的性質可進行求解．【解答】解：由旋轉的性質可知只有D選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查旋轉，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．2．（3分）若點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，則h的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，可以得到該拋物線的對稱軸為直線x＝h＝＝3，本題得以解決．【解答】解：∵點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝h＝＝3，故選：B．【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．3．（3分）關于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是0，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】由一元二次方程的定義，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a的值可求．【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0是關于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一個根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故選B．【點評】本題考查一元二次方程的定義應用，二次項系數不為0．解題時須注意，此為易錯點．否則選C就錯了．4．（3分）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD等于（）A．55° B．45° C．40° D．35°【分析】根據旋轉的性質，可得∠BOD＝90°，即可求解．【解答】解：∵△OAB繞點O逆時針旋轉90°到△OCD的位置，∴∠BOD＝90°，∵∠AOB＝45°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝45°．故選：B．【點評】本題考查旋轉兩相等的性質：即對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．5．（3分）南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據題意可以列方程為（）A．x（x+30）＝864 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x2﹣60x﹣864＝0【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60﹣x）步，根據矩形田地的面積是864平方步，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，∴矩形田地的寬為（60﹣x）步．依題意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6．（3分）如圖，點A在函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延長BA交y軸于點D，根據反比例函數k值的幾何意義得到，S矩形OCBD＝3，根據四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．【解答】解：延長BA交y軸于點D，∵AB∥x軸，∴DA⊥y軸，∵點A在函數的圖象上，∴，∵BC⊥x軸于點C，DB⊥y軸，點B在函數的圖象上，∴S矩形OCBD＝3，∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故選：B．【點評】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合應用．熟練掌握反比例函數中k的幾何意義，是解題的關鍵．7．（3分）已知二次函數y＝mx2﹣2mx（m為常數），當﹣1≤x≤2時，函數值y的最小值為﹣2，則m的值是（）A．﹣2或 B．﹣2或 C．2或﹣ D．2或﹣【分析】先求得拋物線對稱軸，然后非兩種情況討論得到關于m的方程，解方程即可求得m值．【解答】解：由二次函數y＝mx2﹣2mx（m為常數），得到對稱軸為直線x＝1，∵當﹣1≤x≤2時，函數值y的最小值為﹣2，∴當m＞0時，x＝1時，y＝﹣2，則m﹣2m＝﹣2，解得m＝2．當m＜0時，x＝﹣1時，y＝﹣2，則m+2m＝﹣2，解得m＝﹣．故m的值為2或﹣，故選：C．【點評】本題考查二次函數的性質，二次函數的最值問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（3分）將二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3【分析】分兩種情形：如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．【解答】解：二次函數解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點坐標為（1，4），當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），把拋物線y＝﹣x2+2x+3圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），頂點坐標M（1，﹣4），如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的實數解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，所以b的值為﹣3或﹣，故選：A．【點評】此題主要考查了翻折的性質，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質，確定翻折后拋物線的關系式；利用數形結合的方法是解本題的關鍵，畫出函數圖象是解本題的難點．二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）9．（3分）近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m，則y與x之間的函數關系式是y＝．【分析】由于近視鏡度數y（度）與鏡片焦距x（米）之間成反比例關系可設y＝，由200度近視鏡的鏡片焦距是0.5米先求得k的值．【解答】解：由題意設y＝，由于點（0.5，200）適合這個函數解析式，則k＝0.5×200＝100，∴y＝．故眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式為：y＝．故答案為：y＝．【點評】本題考查了反比例函數的應用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．10．（3分）二次函數y1＝ax2+bx+c與一次函數y2＝mx+n的圖象如圖所示，則滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是﹣3＜x＜0．【分析】根據函數圖象寫出二次函數圖象在一次函數圖象上方部分的x的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，﹣3＜x＜0時二次函數圖象在一次函數圖象上方，所以，滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是﹣3＜x＜0．故答案為：﹣3＜x＜0【點評】本題考查了二次函數與不等式，此類題目，數形結合準確識圖是解題的關鍵．11．（3分）已知關于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是a＜．【分析】根據根的判別式的意義得到（2a﹣1）2﹣4a2＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＞0，解得a＜，所以a的取值范圍是a＜．故答案為：a＜．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．12．（3分）若點A（m，﹣2）在反比例函數的圖象上，則當函數值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣2或x＞0．【分析】根據題意可求點A的坐標；畫出草圖，運用觀察法求解．【解答】解：∵點A（m，﹣2）在反比例函數的圖象上，∴﹣2m＝4，m＝﹣2．∴A（﹣2，﹣2）．∴當函數值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣2或x＞0．故答案為：x≤﹣2或x＞0．【點評】此題考查了反比例函數的圖象及其性質以及運用觀察法解不等式，難度中等．注意反比例函數的圖象是雙曲線．13．（3分）一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則α的度數為15°或60°．【分析】分情況討論：①DE⊥BC；②AD⊥BC．【解答】解：分情況討論：①當DE⊥BC時，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；②當AD⊥BC時，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．故答案為：15°或60°【點評】本題主要考查了旋轉的定義、旋轉角的求法以及一副三角板的各個角的度數，理清定義是解答本題的關鍵．14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等的實數根，則a2+b+ab的值為1．【分析】根據一元二次方程的解定義及根與系數的關系可得a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，得到a2＝a+3，將a2+b+ab化為（a+b）+ab+3，代入進行計算即可得到答案．【解答】解：由題意可知：a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，∴a2＝a+3，∴原式＝a+3+b+ab＝（a+b）+ab+3＝1+（﹣3）+3＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系以及一元二次方程的解的定義，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根x1，x2和系數a，b，c，有如下關系：，．15．（3分）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面19米．【分析】根據題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x＝0求平移后的拋物線與y軸的交點即可．【解答】解：由題意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），設拋物線解析式為：y＝ax2+20，將A（﹣40，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防車同時后退10米，即拋物線y＝﹣+20向左平移后的拋物線解析式為：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案為：19．【點評】本題考查了待定系數法求拋物線解析式、函數圖象的平移及坐標軸的交點，解題的關鍵是求得移動前后拋物線的解析式．16．（3分）如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE＝CB，連接AE，以AE為腰，A為直角頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當CD最大，且最大值為+1時，則AB＝2．【分析】將CA繞點A逆時針旋轉90°得AH，連接CH，DH，利用SAS證明△CAE≌△HAD，得DH＝CE，當C、H、D三點共線時，CD最大，從而求出AC的長，即可解決問題．【解答】解：將CA繞點A逆時針旋轉90°得AH，連接CH，DH，∴CA＝AH，∠CAH＝90°，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝90°，∴∠CAH＝∠DAE，∴∠CAE＝∠DAH，∴△CAE≌△HAD（SAS），∴DH＝CE，∴當C、H、D三點共線時，CD最大，設AC＝x，∵點C為AB的中點，∴CA＝CB，∵CE＝CB，∴CE＝AC＝DH＝x，CH＝x，∴x+x＝+1，∴x＝1，∴AB＝2AC＝2，故答案為：＝2．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質等知識，構造全等三角形是解題的關鍵．三、解答題（共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19-23每小題8分、24題7分）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x＝5（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）【分析】（1）根據配方法可以解答此方程；（2）先移項，然后根據提公因式法可以解答此方程．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5，∴x2﹣2x+1＝5+1，∴（x+1）2＝6，∴，解得，，；（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得，x1＝3，．【點評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關鍵是根據方程的特點選擇合適的解答方法．18．（7分）解方程：．【分析】可根據方程特點設y＝x2﹣2x，則原方程可化為y2﹣y﹣6＝0．解一元二次方程求y，再求x．【解答】解：設y＝x2﹣2x，則原方程化為y2﹣y﹣6＝0．即（y﹣3）（y+2）＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．當y1＝﹣2時，x2﹣2x＝﹣2，無解，當y2＝3時，x2﹣2x＝3．解得x1＝3，x2＝﹣1，檢驗：當x1＝3時，9﹣6﹣＝3﹣2＝1，當x2＝﹣1時，1+2﹣＝3﹣2＝1，x1＝3，x2＝﹣1都是原方程的根，∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣1．【點評】本題考查用換元法解分式方程的能力，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據方程特點設出相應未知數，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若該方程的兩個實數根都是整數，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．【分析】（1）計算根的判別式的值得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根據根的判別式的意義得到結論；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根據題意得a為整數，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），然后解一次方程得到a的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0．（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x﹣1＝0或x﹣（a﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝a﹣1，∵方程的兩個實數根都是整數，且其中一個根是另一個根的2倍，∴a為整數，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），解得a＝3或a＝（舍去），∴a的值為3．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．20．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B沿順時針方向旋轉90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度數；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的長．【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性質求得∠BAD、∠BCD的度數，然后由旋轉的性質可求得∠BCE的度數，故此可求得∠DCE的度數；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的長，然后依據比例關系可得到CE和DC的長，最后依據勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°．由旋轉的性質可知∠BAD＝∠BCE＝45°．∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝4．∵CD＝3AD，∴AD＝，DC＝3．由旋轉的性質可知：AD＝EC＝．∴DE＝＝2．【點評】本題主要考查的是旋轉的性質、勾股定理的應用、等腰直角三角形的性質，求得∠DCE＝90°是解題的關鍵．21．（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數關系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據上述數據，直接寫出k的值為11.25，直接寫出滿足的函數關系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？【分析】（1）待定系數法求出解析式，即可；（2）分別求出兩個解析式當y＝0時，x的值，進行比較即可；（3）先求出c的值，再求出t＝1.6時的y值，進行判斷即可．【解答】解：（1）由表格可知，圖象過點（3，10），（4，10），（4.5，6.25），∴h＝＝3.5，∴y＝a（x﹣3.5）2+k，∴，解得：，∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；故答案為：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，當y＝0時：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，解得：x＝5或x＝2（不合題意，舍去）；∴d1＝5米；∵y＝﹣5x2+40x﹣68，當y＝0時：﹣5x2+40x﹣68＝0，解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合題意，舍去）；∴d2＝+4＞5，∴d1＜d2，故答案為：＜；（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，∴B（4，12），∴c＝12，∴y＝﹣5t2+12，當t＝1.6時，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，∵﹣0.8＜0，即她在水面上無法完成此動作，∴她當天的比賽不能成功完成此動作．【點評】本題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確的求出函數解析式．22．（6分）在平面直角坐標系xOy中，記函數的圖象為G，直線l：經過A（2，3），與圖象G交于B，C兩點．（1）求b的值；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．記圖象G在B，C之間的部分與線段BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m＝2時，區(qū)域W內的整點個數為6個；②各區(qū)域W內恰有4個整點，結合函數圖象，m的取值范圍為3≤m＜4．【分析】（1）將點A的坐標代入一次函數關系式可得答案；（2）①結合圖象分析可得答案；②考慮臨界位置，結合圖象得出答案．【解答】解：（1）∵直線經過點A（2，3），∴，解得b＝4，所以b＝4；（2）①如圖所示，區(qū)域W內的整點有（1，3），（2，2），（3，2），（3，1），（4，1），（5，1），共6個．故答案為：6；②當m＝3時，區(qū)域W內有4個整點，如圖所示．當m＜4時，區(qū)域W內有4個整點，如圖所示．所以區(qū)域W內有4個整點，m的取值范圍是3≤m＜4．故答案為：3≤m＜4．【點評】本題考查了一次函數和反比例函數的綜合問題，待定系數法求一次函數（反比例函數）關系式，理解新定義等，確定臨界點是解題的關鍵．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（x0，m），B（x0+4，n）在拋物線y＝x2﹣2bx+1上．（1）當b＝5，x0＝3時，比較m與n的大小，并說明理由；（2）若對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范圍．【分析】（1）拋物線的解析式化成頂點式，即可求得對稱軸，根據二次函數的性質即可判斷；（2）求得拋物線與直線y＝1的交點，即可求得對稱軸，由對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，從而得到，解得4＜b＜5．【解答】解：（1）由題意可知A（3，m），B（7，n）在拋物線y＝x2﹣10x+1上，∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝5，∵A（3，m），B（7，n）到對稱軸的距離相同，∴m