高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第九篇 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例細(xì)致講解練 理 新人教A版

第九篇統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第1講隨機(jī)抽樣[最新考綱]1．理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性．2．會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.知識梳理1．簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)編號：先將總體的N個個體編號；(2)分段：確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；(3)確定首個個體：在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；(4)獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．辨析感悟1．對簡單隨機(jī)抽樣的認(rèn)識(1)(教材思考問題改編)在簡單隨機(jī)抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次抽到的可能性最大．(×)(2)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡單隨機(jī)抽樣．(×)2．對系統(tǒng)抽樣的理解(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)較多且分布均衡的總體．(√)(4)要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平．(×)3．對分層抽樣的理解(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(×)(6)(·鄭州模擬改編)某校即將召開學(xué)生代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽?。?√)(7)(·湖南卷改編)某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣．(√)[感悟·提升]兩點提醒一是簡單隨機(jī)抽樣(抽簽法和隨機(jī)數(shù)法)都是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣，如(2)．二是三種抽樣方法在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、(5).考點一簡單隨機(jī)抽樣【例1】下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機(jī)抽樣？(1)從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．(2)盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里．(3)從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗．(4)某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽．解(1)不是簡單隨機(jī)抽樣．由于被抽取的樣本總體的個體數(shù)是無限的，而不是有限的．(2)不是簡單隨機(jī)抽樣．由于它是放回抽樣．(3)不是簡單隨機(jī)抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽?。?4)不是簡單隨機(jī)抽樣．因為指定個子最高的5名同學(xué)是56名中特指的，不存在隨機(jī)性，不是等可能抽樣．規(guī)律方法(1)簡單隨機(jī)抽樣需滿足；①抽取的個體數(shù)有限；②逐個抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．(2)簡單隨機(jī)抽樣常有抽簽法(適用總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)表法(適用于個體數(shù)較多的情況)．【訓(xùn)練1】下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的有()．A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗答案B考點二系統(tǒng)抽樣【例2】采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機(jī)編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()．A．7B．9C．10D．15解析從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組抽到的號碼為9，則第二組抽到的號碼為39，第n組抽到的號碼為an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得eq\f(236,15)≤n≤eq\f(257,10)，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，選C.答案C規(guī)律方法(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大．(2)使用系統(tǒng)抽樣時，若總體容量不能被樣本容量整除，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個個體，從而確定分段間隔．(3)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定．【訓(xùn)練2】(1)從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來進(jìn)行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是()．A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32(2)(·臨沂模擬)某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()．A．10B．11C．12D．16解析(1)間隔距離為10，故可能編號是3,13,23,33,43.(2)因為29號、42號的號碼差為13，所以3＋13＝16，即另外一個同學(xué)的學(xué)號是16.答案(1)B(2)D考點三分層抽樣【例3】(·蘭州模擬)某學(xué)校三個興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個小組)(單位：人)籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對這三個小組的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．解析因為eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)＝eq\f(12,45＋15)，所以解得a＝30.答案30規(guī)律方法進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．【訓(xùn)練3】(1)(·江蘇卷)某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生．(2)某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為________．解析(1)高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的eq\f(3,3＋3＋4)＝eq\f(3,10).樣本容量為50，則高二年級抽取：50×eq\f(3,10)＝15(名)學(xué)生．(2)由題意知，青年職工人數(shù)∶中年職工人數(shù)∶老年職工人數(shù)＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由樣本中青年職工為7人得樣本容量為15.答案(1)15(2)151．三種抽樣方法的聯(lián)系三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是eq\f(n,N).2．各種抽樣方法的特點(1)簡單隨機(jī)抽樣的特點：總體中的個體性質(zhì)相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較??；用簡單隨機(jī)抽樣法抽取的個體帶有隨機(jī)性，個體間無固定間距．(2)系統(tǒng)抽樣的特點：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機(jī)會均等；總體分組后，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機(jī)抽樣．(3)分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．創(chuàng)新突破8——抽樣方法與概率的交匯問題【典例】(·天津卷)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出所有可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．突破1：確定分層抽樣中的每層所占的比例．突破2：用列舉法列出所有可能抽取的結(jié)果．突破3：利用古典概型的計算公式計算．解(1)由分層抽樣的定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.則從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).[反思感悟]分層抽樣與概率結(jié)合的題目多與實際問題緊密聯(lián)系，計算量和閱讀量都比較大，且一般會有圖表，求解時容易造成失誤，平時需注意多訓(xùn)練此類型的題目．【自主體驗】(·潮州模擬)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人數(shù)分布)如下表：學(xué)歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人學(xué)歷為研究生的概率；(2)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為eq\f(5,39)，求x，y的值．解(1)用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.抽取的樣本中有研究生2人，本科生3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3.從中任取2人的所有等可能基本事件共有10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的基本事件有7個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴從中任取2人，至少有1人學(xué)歷為研究生的概率為eq\f(7,10).(2)由題意，得eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.∴35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20，∴eq\f(48,80＋x)＝eq\f(20,50)＝eq\f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分別為40,5.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．某中學(xué)進(jìn)行了該學(xué)年度期末統(tǒng)一考試，該校為了了解高一年級1000名學(xué)生的考試成績，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績單，就這個問題來說，下面說法正確的是()．A．1000名學(xué)生是總體B．每個學(xué)生是個體C．1000名學(xué)生的成績是一個個體D．樣本的容量是100解析1000名學(xué)生的成績是總體，其容量是1000,100名學(xué)生的成績組成樣本，其容量是100.答案D2．(·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()．A．簡單隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣D．系統(tǒng)抽樣解析因為男女生視力情況差異不大，而學(xué)段的視力情況有較大差異，所以應(yīng)按學(xué)段分層抽樣，故選C.答案C3．(·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝()．A．54B．90C．45D．126解析依題意有eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，由此解得n＝90，即樣本容量為90.答案B4．(·江西卷)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為().7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01解析由題意知前5個個體的編號為08,02,14,07,01.答案D5．(·石家莊模擬)某學(xué)校高三年級一班共有60名學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名學(xué)生做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將學(xué)生編號為1,2，…，60.選取的這6名學(xué)生的編號可能是()．A．1,2,3,4,5,6B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32D．3,9,13,27,36,54解析系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣．答案B二、填空題6．(·成都模擬)某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應(yīng)城市數(shù)分別為4,12,8.若用分層抽樣抽取6個城市，則甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為________．解析甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為eq\f(6,24)×4＝1.答案17．某校高級職稱教師26人，中級職稱教師104人，其他教師若干人．為了了解該校教師的工資收入情況，按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查，已知從其他教師中共抽取了16人，則該校共有教師________人．解析設(shè)其他教師為x人，則eq\f(56,26＋104＋x)＝eq\f(16,x)，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．答案1828．(·青島模擬)某班級有50名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，…，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號碼為________的學(xué)生．解析因為12＝5×2＋2，即第三組抽出的是第二個同學(xué)，所以每一組都相應(yīng)抽出第二個同學(xué)，所以第8組中抽出的號碼為5×7＋2＝37號．答案37三、解答題9．某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？解(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19.∴x＝380.(2)初三年級人數(shù)為y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為：eq\f(48,2000)×500＝12名．10．某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽?。庥梅謱映闃臃椒ǔ槿。唧w實施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4，∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．(2)因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00,01,02，…，69編號，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．(3)將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()．A．800B．1000C．1200D．1500解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．答案C2．將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001,002，…，600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()．A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9解析由題意知間隔為eq\f(600,50)＝12，故抽到的號碼為12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ營區(qū)抽25人，第Ⅱ營區(qū)抽17人，第Ⅲ營區(qū)抽8人．答案B二、填空題3.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機(jī)抽40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1～200編號為40組，分別為1～5,6～10，…，196～200，第5組抽取號碼為22，第8組抽取號碼為______．若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．解析將1～200編號分為40組，則每組的間隔為5，其中第5組抽取號碼為22，則第8組抽取的號碼應(yīng)為22＋3×5＝37；由已知條件200名職工中40歲以下的職工人數(shù)為200×50%＝100，設(shè)在40歲以下年齡段中抽取x人，則eq\f(40,200)＝eq\f(x,100)，解得x＝20.答案3720三、解答題4．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100(1)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？(2)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．解(1)應(yīng)抽取大于40歲的觀眾人數(shù)為eq\f(27,45)×5＝eq\f(3,5)×5＝3(名)．(2)用分層抽樣方法抽取的5名觀眾中，20至40歲有2名(記為Y1，Y2)，大于40歲有3名(記為A1，A2，A3).5名觀眾中任取2名，共有10種不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，設(shè)A表示隨機(jī)事件“5名觀眾中任取2名，恰有1名觀眾年齡為20至40歲”，則A中的基本事件有6種：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2故所求概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).

第2講用樣本估計總體[最新考綱]1．了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會他們各自的特點．2．理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差．3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋．4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解樣本估計總體的思想．5．會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.知識梳理知識梳理1．頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1.(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)的反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比．(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．2．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．(2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，eq\x\to(x)是平均數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差．辨析感悟1．對頻率分布直方圖的認(rèn)識(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．(×)(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.(√)2．對樣本數(shù)字特征的認(rèn)識(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(√)(4)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．(√)(5)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次．(×)(6)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(√)(7)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(×)(8)如圖是某電視臺綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為85,1.6.(√)(9)(·廣州調(diào)研改編)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是15.(√)[感悟·提升]1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)確定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．2．兩個防范一是在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率，如(1)；二是利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.考點一頻率分布直方圖的應(yīng)用【例1】某中學(xué)高一女生共有450人，為了了解高一女生的身高情況，隨機(jī)抽取部分高一女生測量身高，所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如下：組別頻數(shù)頻率145.5～149.580.16149.5～153.560.12153.5～157.5140.28157.5～161.5100.20161.5～165.580.16165.5～169.5mn合計MN(1)求出表中字母m，n，M，N所對應(yīng)的數(shù)值；(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；(3)估計該校高一女生身高在149.5～165.5cm范圍內(nèi)有多少人？審題路線由頻率分布表可以計算出m，n，M，N的值?作頻率分布直方圖?利用頻率分布直方圖求值．解(1)由題意M＝eq\f(8,0.16)＝50，落在區(qū)間165.5～169.5內(nèi)數(shù)據(jù)頻數(shù)m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，頻率為n＝0.08，總頻率N＝1.00.(2)頻率分布直方圖如下圖：(3)該所學(xué)校高一女生身高在149.5～165.5cm之間的比例為0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，則該校高一女生在此范圍內(nèi)的人數(shù)為450×0.76＝342(人)．規(guī)律方法解決頻率分布直方圖的問題，關(guān)鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系．這些數(shù)據(jù)中，比較明顯的有組距、eq\f(頻率,組距)，間接的有頻率、小長方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結(jié)合兩個等量關(guān)系：小長方形面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，小長方形面積之和等于1，即頻率之和等于1，就可以解決直方圖的有關(guān)問題．【訓(xùn)練1】(·遼寧卷)某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]人．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()．A．45B．50C．55D．60解析第一、第二小組的頻率分別是0.1,0.2，所以低于60分的頻率是0.3，設(shè)班級人數(shù)為m，則eq\f(15,m)＝0.3，m＝50.答案B考點二莖葉圖的應(yīng)用【例2】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)，試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成右面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解(1)設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)A，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)B，則eq\x\to(x)A＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.eq\x\to(x)B＝eq\f(1,20)(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.則eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B，因此A藥的療效更好．(2)由觀測結(jié)果繪制如下莖葉圖：從莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2,3上；B藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0,1上．由上述可看出A藥的療效更好．規(guī)律方法莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)．【訓(xùn)練2】(·重慶卷)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)甲組乙組909x215y87424已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()．A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8解析由莖葉圖及已知得x＝5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，即eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，解得y＝8.答案C考點三樣本的數(shù)字特征【例3】甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價．解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.eq\x\to(x)甲＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，eq\x\to(x)乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)可知乙的成績較穩(wěn)定．從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．規(guī)律方法平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大?。居?xùn)練3】將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個剩余分?jǐn)?shù)的方差為 ()．A.eq\f(116,9) B.eq\f(36,7) C．36 D.eq\f(6\r(7),7)解析由題意知eq\f(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91,7)＝91，解得x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(1,7)(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝eq\f(36,7).答案B1．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量．(2)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì)．(3)眾數(shù)體現(xiàn)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有若干數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題．(4)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢．易錯辨析8——統(tǒng)計圖表識圖不準(zhǔn)致誤【典例】從某校高三年級隨機(jī)抽取一個班，對該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示：若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學(xué)生中能報A專業(yè)的人數(shù)為________．[解析]該班學(xué)生視力在0.9以上的頻率為(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故能報A專業(yè)的人數(shù)為0.4×50＝20.[答案]20[易錯警示]解題中易出現(xiàn)審題不仔細(xì)，又對所給圖形沒有真正理解清楚，將矩形的高誤認(rèn)為頻率或者對“0.9以上”的含義理解有誤．[防范措施]求解頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)問題，最容易出現(xiàn)的問題就是把縱軸誤以為是頻率導(dǎo)致錯誤．在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，我們用各個小矩形的面積表示該段數(shù)據(jù)的頻率，所以各組數(shù)據(jù)的頻率等于小矩形的高對應(yīng)的數(shù)據(jù)與小矩形的寬(樣本數(shù)據(jù)的組距)的乘積．【自主體驗】(·福建卷)某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()．A．588B．480C．450D．120解析從頻率分布直方圖可以看出：分?jǐn)?shù)大于或等于60分的頻率為(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，故頻數(shù)為600×0.8＝480.答案B基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(·山東卷)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)．則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是()．A．眾數(shù)B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差解析對樣本中每個數(shù)據(jù)都加上一個非零常數(shù)時不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變．答案D2．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為()．A．32B．0.2C．40D．0.25解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，∴x＝0.2，故中間一組的頻數(shù)為160×0.2＝32，選A.答案A3．(·潮州二模)有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074乙9578768677則下列判斷正確的是()．A．甲射擊的平均成績比乙好B．乙射擊的平均成績比甲好C．甲比乙的射擊成績穩(wěn)定D．乙比甲的射擊成績穩(wěn)定解析甲、乙的平均成績分別為eq\x\to(x)甲＝7，eq\x\to(x)乙＝7，故排除A，B項；甲、乙的成績的方差分別為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，則seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙比甲的射擊成績穩(wěn)定，故選D.答案D4.(·臨沂一模)某中學(xué)高三從甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則x＋y的值為()．A．7B．8C．9D．10解析由莖葉圖可知，甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85，所以x＝5.乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.答案B5．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()．A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析由條形統(tǒng)計圖知：甲射靶5次的成績分別為：4,5,6,7,8；乙射靶5次的成績分別為：5,5,5,6,9；所以eq\x\to(x)甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6；eq\x\to(x)乙＝eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6.所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙．故A不正確．甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5，故B不正確．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝eq\f(1,5)×10＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(1,5)×12＝eq\f(12,5)，因為2＜eq\f(12,5)，所以seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙).故C正確．甲的成績的極差為：8－4＝4，乙的成績的極差為：9－5＝4，故D不正確．故選C.答案C二、填空題6．在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是________，________.解析根據(jù)莖葉圖所給數(shù)據(jù)，易知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為45,46.答案45467．(·湖北卷)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中x的值為__________；(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250]內(nèi)的戶數(shù)為________．解析(1)根據(jù)頻率和為1，得(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)(0.0036＋0.0044＋0.0060)×50×100＝70.答案0.0044708．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為________．解析由題意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，|x－y|＝2|t|＝4.答案4三、解答題9．某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在[80,90]之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高．解(1)分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率為0.008×10＝0.08.由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60]之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25.(2)分?jǐn)?shù)在[80,90]之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.10．(·大連模擬)從某校高三年級800名男生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生測量其身高，據(jù)測量，被測學(xué)生的身高全部在155cm到195cm之間．將測量結(jié)果按如下方式分成8組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]，下圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組的人數(shù)相同，第七組與第六組的人數(shù)差恰好為第八組與第七組的人數(shù)差．求下列頻率分布表中所標(biāo)字母的值，并補(bǔ)充完成頻率分布直方圖．頻率分布表：分組頻數(shù)頻率頻率/組距…………[180,185)xyz[185,190)mnp…………解由頻率分布直方圖可知前五組的頻率和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八組的頻率是0.008×5＝0.04，所以第六、七組的頻率和是1－0.82－0.04＝0.14，所以第八組的人數(shù)為50×0.04＝2，第六、七組的總?cè)藬?shù)為50×0.14＝7.由已知得x＋m＝7，m－x＝2－m，解得x＝4，m＝3，所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.補(bǔ)充完成頻率分布直方圖如圖所示．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(·長春調(diào)研)如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)、[40,45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列分布，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為()．A．0.04B．0.06C．0.2D．0.3解析由頻率分布直方圖可知，年齡在[20,25)的頻率為0.01×5＝0.05，[25,30)的頻率為0.07×5＝0.35，又年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的頻率成等差數(shù)列分布，所以年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.2.答案C2．(·陜西卷)從甲乙兩個城市分別隨機(jī)抽取16臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則()．A.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，m甲>m乙B.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，m甲<m乙C.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，m甲>m乙D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，m甲<m乙解析eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,16)(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝eq\f(345,16)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,16)(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝eq\f(457,16).∴eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙．又∵m甲＝20，m乙＝29，∴m甲<m乙．答案B二、填空題3．(·西安一檢)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________．解析不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4，由中位數(shù)及平均數(shù)均為2，得x1＋x4＝x2＋x3＝4，故這四個數(shù)只可能為1,1,3,3或1,2,2,3或2,2,2,2，由標(biāo)準(zhǔn)差為1可得這四個數(shù)只能為1,1,3,3.答案1,1,3,3三、解答題4．(·西安模擬)某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值(如：組區(qū)間[100,110)的中點值為eq\f(100＋110,2)＝105.)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率．解(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估計平均分為eq\x\to(x)＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，則基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15種．則事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9種．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).

第3講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例[最新考綱]1．會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．4．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.知識梳理1．兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)負(fù)相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．4．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機(jī)變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．辨析感悟1．對變量間的相關(guān)關(guān)系的認(rèn)識(1)(·武漢調(diào)研改編)①A項：正方體的棱長與體積是相關(guān)關(guān)系．(×)②B項：日照時間與水稻的畝產(chǎn)量是相關(guān)關(guān)系．(√)(2)(教材思考問題改編)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系．(×)(3)利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系去表示．(√)2．對回歸直線方程的理解(4)通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢．(√)(5)任何一組數(shù)據(jù)都對應(yīng)著一個回歸直線方程．(×)(6)(·湖南卷改編)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，判斷下列命題的正誤：①y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系．(√)②回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))． (√)③若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg.(√)④若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg. (×) 3．對獨立性檢驗的認(rèn)識(7)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(√)(8)由獨立性檢驗可知，有99%的把握認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學(xué)成績有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．(×)[感悟·提升]1．“相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系”的區(qū)別函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系．如(2)．2．三點提醒一是回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．如(5)．二是根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．如(6)中的④.三是獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．如(8).考點一兩個變量間的相關(guān)關(guān)系【例1】(·湖北卷)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論： ①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423； ②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結(jié)論的序號是 ()．A．①②B．②③C．③④D．①④解析①中，回歸方程中x的系數(shù)為正，不是負(fù)相關(guān)；④方程中的x的系數(shù)為負(fù)，不是正相關(guān)，∴①④一定不正確．答案D規(guī)律方法在回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))代表x每增加一個單位，y平均增加的單位數(shù)，一般來說，當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＞0時，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系；當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＜0時，說明兩個變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系．【訓(xùn)練1】對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()．A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)；由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)．答案C考點二線性回歸方程及其應(yīng)用【例2】(·重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)為樣本平均值．審題路線先確定eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i?計算eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2?計算eq\o(b,\s\up6(^))?計算eq\o(a,\s\up6(^))?得到線性回歸方程?由eq\o(b,\s\up6(^))的符號判斷相關(guān)?把x＝7代入線性回歸方程求eq\o(y,\s\up6(^)).解(1)由題意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2＝720－10×82＝80.eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝184－10×8×2＝24.由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(eq\o(b,\s\up6(^))＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).規(guī)律方法(1)正確理解計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準(zhǔn)確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．(2)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．(3)在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計和預(yù)測．【訓(xùn)練2】(·南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù).房屋面積x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)求線性回歸方程；(2)據(jù)(1)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150m2解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(115＋110＋80＋135＋105)＝109，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.設(shè)所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(308,1570)≈0.1962，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝23.2－109×eq\f(308,1570)≈1.8166.∴所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962x＋1.8166.(2)由第(1)問可知，當(dāng)x＝150m2時，銷售價格的估計值為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(萬元)．考點三獨立性檢驗【例3】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()．A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”解析由7.8＞6.635知，有1－0.010即99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”．答案A規(guī)律方法利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預(yù)測．獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，具體做法是根據(jù)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計算隨機(jī)變量的觀測值k，k值越大，說明“兩個變量有關(guān)系”的可能性越大．【訓(xùn)練3】(·東北三校聯(lián)考)某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上合計(2)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析．解(1)2×2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下481250歲以上16218合計201030(2)因為K2＝eq\f(30×8－1282,12×18×20×10)＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).1．求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，由于eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的計算量大，計算時應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤．2．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求線性回歸方程．3．根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度．方法優(yōu)化8——求回歸直線方程的方法技巧【典例】(·安徽卷)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地年的糧食需求量．[優(yōu)美解法](1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)處理如下：年份－－4－2024需求量－257－21－1101929對處理的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.2.由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝6.5(x－2006)＋3.2.即eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5(x－2006)＋260.2.(2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測年的糧食需求量為6.5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸)．[反思感悟]求回歸直線方程時，重點考查的是計算能力．若本題用一般法去解，計算更繁瑣(如年份、需求量不做如上處理)，所以平時訓(xùn)練時遇到數(shù)據(jù)較大的要考慮有沒有更簡便的方法解決．【自主體驗】為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對x的線性回歸方程為________．解析數(shù)據(jù)處理如下：x′＝父親身高－176－20002y′＝兒子身高－176－1－1011計算得：eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝0.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0，∴所求回歸直線方程為：eq\o(y,\s\up6(^))－176＝eq\f(1,2)(x－176)，即eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋88.答案eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋88基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()．A．速度一定時，位移與時間B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量C．身高與體重D．電壓一定時，電流與電阻解析A、B、D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個變量間是相關(guān)關(guān)系，對于身高一樣的人，體重仍可以不同，故選C.答案C2.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是()．A．直線l過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析由樣本的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯．答案A3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()．A．－1B．0