八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第六章第6講 解題技巧專題：平行四邊形中線段和最值之將軍飲馬模型(2類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第6講解題技巧專題：平行四邊形中線段和最值之將軍飲馬模型(2類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一兩條線段和的最小值】 1【考點(diǎn)二多條線段和（周長(zhǎng)）最小值】 10【考點(diǎn)一兩條線段和的最小值】模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例題：（2024·江蘇南通·一模）如圖，平行四邊形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D在邊上，且，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，則的最小值為．2．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，將線段沿x軸向右平移得到，連接，，則的最小值為．3．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)O，若，，則的最小值為．

4．（22-23八年級(jí)下·貴州黔東南·期末）如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，且是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是．

5．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），為等邊三角形，過點(diǎn)D作的垂線，F(xiàn)為垂線上任意一點(diǎn)，連接，G為的中點(diǎn)，連接，則的最小值是．6．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、，若，，，則的最小值為．

【考點(diǎn)二多條線段和（周長(zhǎng)）最小值】模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例題：（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，．連接，且，平分交與于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，若線段（點(diǎn)P在點(diǎn)的左側(cè)）在線段上運(yùn)動(dòng)，，連、，則的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·山東臨沂·期末）已知如圖，．為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?2．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在中，，，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為．

3．（23-24八年級(jí)下·浙江·期中）如圖，中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則五邊形的周長(zhǎng)最小值為．4．（2023八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)、點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)．已知：，，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為．

5．（22-23八年級(jí)下·遼寧鞍山·期末）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是