人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)3.3冪函數(shù)

3.3幕函

教材分析：

I

幕函數(shù)的定義，y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=》一五個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì).

本課時(shí)內(nèi)容是幕函數(shù)，塞函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù)，很多函數(shù)都是由事函數(shù)與

其他基本的初等函數(shù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算、復(fù)合得到的.塞函數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中后學(xué)習(xí)的第一類具體的

基本初等函數(shù).在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，＞=廣1

y=y=Y等都是學(xué)生很熟悉的.因此幕函數(shù)的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上

的，學(xué)習(xí)中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象是在歸納五個(gè)具體函數(shù)共性基礎(chǔ)上進(jìn)行的.

“幕函數(shù)”的內(nèi)容安排在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”一章的第3節(jié)，是在學(xué)習(xí)完一般函數(shù)

的概念以及函數(shù)的基本性質(zhì)后，選取一類簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)進(jìn)行研究，使學(xué)生明確一類具

體函數(shù)的研究?jī)?nèi)容（定義、表示一一圖象與性質(zhì)一一應(yīng)用），并體會(huì)如何在一般函數(shù)的概念

及基本性質(zhì)的指導(dǎo)下展開研究，因此幕函數(shù)的學(xué)習(xí)既是對(duì)前面所學(xué)內(nèi)容的鞏固，也為后面指

數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

學(xué)情分析：

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一些具體的暴函數(shù)，但缺乏對(duì)研究一類函數(shù)的內(nèi)容和方法的認(rèn)

識(shí)，教學(xué)時(shí)應(yīng)聯(lián)系初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，以及前面學(xué)習(xí)過(guò)的一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，讓學(xué)生

嘗試建構(gòu)本節(jié)課的學(xué)習(xí)思路，從而體會(huì)研究一類函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法.

畫出了=尤3,＞=戶的圖象會(huì)有一定難度.教學(xué)時(shí)應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)解析式的特

1

點(diǎn)，得出y=d是奇函數(shù)，＞=戶的定義域?yàn)榉秦?fù)數(shù)的集合等；然后讓他們思考如何取點(diǎn)，

并利用描點(diǎn)法作圖，分析五個(gè)函數(shù)圖象的共性和差異性而得出性質(zhì).同時(shí)，還要加強(qiáng)信息技

術(shù)的應(yīng)用.

在歸納性質(zhì)時(shí)，學(xué)生對(duì)從哪些方面進(jìn)行歸納會(huì)存在困惑，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考研究函

數(shù)的一般方法及所要研究的內(nèi)容，結(jié)合前面函數(shù)性質(zhì)的研究，為這里性質(zhì)的歸納做好鋪墊.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：觀察五個(gè)具體察函數(shù)的解析式的共性，抽象

幕函數(shù)概念；觀察函數(shù)圖象的內(nèi)容和方法.

教學(xué)目標(biāo)：

I

1.通過(guò)具體實(shí)例，了解塞函數(shù)的定義，會(huì)畫y=y=x2,y=x3,y=x2,丁=/五

1

個(gè)塞函數(shù)的圖象，理解它們的性質(zhì)；

2.通過(guò)對(duì)幕函數(shù)的研究，體會(huì)研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容與方法.

教學(xué)過(guò)程：

(一)塞函數(shù)定義的抽象

問(wèn)題1：我們知道函數(shù)可以用來(lái)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題，請(qǐng)看下面幾個(gè)例子：

(1)如果張紅以1元/kg的價(jià)格購(gòu)買了某種蔬菜wkg,那么她需要支付。=卬元，這

里〃是4的函數(shù)；

(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為m那么正方形的面積S=/,這里S是a的函數(shù)；

(3)如果立方體的棱長(zhǎng)為6,那么立方體的體積丫=/,這里V是匕的函數(shù)；

(4)如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。=西，這里c是S的

函數(shù)；

(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么他騎車的平均速度v=lkm/s,即v=尸，

t

這里v是7的函數(shù).

觀察這五個(gè)函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共同

特征？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生觀察思考后回答問(wèn)題.根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行必

要的補(bǔ)充.最后明確指出：這幾個(gè)函數(shù)的解析式都具有幕的形式，而且都是以幕的底數(shù)為自

變量，塞的指數(shù)都是常數(shù).

教師給出幕函數(shù)的定義，并進(jìn)行板書.

追問(wèn)(1)：這幾個(gè)函數(shù)中有沒有你熟悉的函數(shù)？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考并回答.P=w,S=a2,v=尸分別是初中學(xué)習(xí)過(guò)

的一次函數(shù)(正比例函數(shù))、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的特殊情況，這種形式的函數(shù)稱為幕函

數(shù).

追問(wèn)(2)：能否根據(jù)嘉函數(shù)的定義將上述五個(gè)問(wèn)題中對(duì)應(yīng)的募函數(shù)寫出來(lái)？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的募函數(shù)的解析式寫出來(lái)，并進(jìn)行糾

錯(cuò).

追問(wèn)(3)：你能說(shuō)出塞函數(shù)解析式的特征嗎？判斷下面幾個(gè)函數(shù)是否為基函數(shù)，并說(shuō)

出理由.

2

(1)y=x4；(2)y=x~2；(3)y=T-,(4)y=2x2；(5)y=x3+1；(6)y=x3

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，并闡述原因，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行評(píng)價(jià)和強(qiáng)調(diào)：底

數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1,指數(shù)為常數(shù)，塞嚴(yán)的系數(shù)為1,解析式等號(hào)右邊只有一項(xiàng).根

據(jù)幕函數(shù)的定義(1)(2)(6)是幕函數(shù)，(3)(4)(5)不是幕函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題引出累函數(shù)；通過(guò)追問(wèn)(1)使學(xué)生建立事函數(shù)與

之前已學(xué)函數(shù)的聯(lián)系；追問(wèn)(2)引導(dǎo)學(xué)生抓住塞函數(shù)的解析式的形式特點(diǎn)；追問(wèn)(3)使學(xué)

生對(duì)事函數(shù)的定義加以辨析應(yīng)用，強(qiáng)化理解.

(二)暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)

問(wèn)題2：我們知道了什么是幕函數(shù)，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)該研究些什么呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，最后得出：根據(jù)我們學(xué)過(guò)

的函數(shù)知識(shí)，應(yīng)該研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等內(nèi)容.

追問(wèn)：如何研究塞函數(shù)的這些性質(zhì)呢？

根據(jù)學(xué)生交流討論情況，教師可以適時(shí)地引導(dǎo)歸納，得到：根據(jù)初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，

可以先用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，再觀察圖象得到函數(shù)的性質(zhì).在畫圖過(guò)程中也可以利用解析

式來(lái)幫助我們簡(jiǎn)化畫圖過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗(yàn)，得出研究函數(shù)的一般內(nèi)容和方法.

問(wèn)題3：這五個(gè)哥函數(shù)中、=彳，y=x2,y=/的圖象是我們熟悉的，如何畫出y=/

和y=X?的圖象呢？

追問(wèn)：觀察這兩個(gè)函數(shù)的解析式，你能先說(shuō)出它們的一些性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考回答，最后使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：通過(guò)解析式可以得到函數(shù)的定義域

和奇偶性，y=x3定義域是R,是奇函數(shù)；y=必定義域是非負(fù)實(shí)數(shù)組成的集合，既不是奇

函數(shù)也不是偶函數(shù)，可以通過(guò)這些性質(zhì)簡(jiǎn)化作圖的過(guò)程.

學(xué)生利用描點(diǎn)法進(jìn)行作圖，在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出五個(gè)幕函數(shù)的圖象，教師利

用信息技術(shù)進(jìn)行畫圖并演示.

3

高取點(diǎn)的目的性，使圖象更好地反映出函數(shù)的性質(zhì)特征，而且可以使學(xué)生體會(huì)高中階段研究

函數(shù)性質(zhì)的新特點(diǎn).

問(wèn)題4：觀察這五個(gè)函數(shù)圖象，它們有哪些共同的性質(zhì)？有哪些不同的性質(zhì)？

函數(shù)y=xy=x2y二dy=x2y=/

定義域RRR[0,+8){xxw0}

值域R[0,+8)R[0,+8)卜1嚴(yán)0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(一8,0)減(一8,0)減

單調(diào)性增增增

[0,+°°)增(0,+°°)減

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)補(bǔ)充并將這些性質(zhì)填入表格中.

追問(wèn)：再觀察這五個(gè)累函數(shù)的圖象上是否有某些特殊點(diǎn)可以體現(xiàn)出它們的共同特點(diǎn)？

在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象還有什么變化趨勢(shì)？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)得到結(jié)論：五個(gè)函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）,

在第一象限內(nèi)函數(shù)y=/的圖象"當(dāng)尤越來(lái)越大時(shí)，圖象無(wú)限靠近無(wú)軸，當(dāng)尤趨于0時(shí)，函

數(shù)圖象無(wú)限靠近y軸”.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖象得出五個(gè)募函數(shù)各自的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上歸納出

共性和差異性，得出幕函數(shù)的一些基本性質(zhì).

4

問(wèn)題5：利用函數(shù)的圖象我們得到了五個(gè)哥函數(shù)的基本性質(zhì).事實(shí)上，觀察得到的結(jié)論

是不可靠的，我們還應(yīng)對(duì)其加以嚴(yán)格的證明.

例：證明暴函數(shù)y=?在［0,+8)上是增函數(shù).

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生嘗試完成，教師對(duì)證明過(guò)程進(jìn)行分析評(píng)價(jià).

解析：函數(shù)的定義域是［0,+8),

,巧?1°，+°°)，且再<々，有

/(%)-〃/)=衣-后

_(毒一嘉)("+直)

在+后

一再―-.

+

因?yàn)椋?x2c0,百+北'>0,

所以—</(x2),即一函數(shù)〃尤)=4在［0,+8)上是增函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)τ^察到的性質(zhì)進(jìn)行理性的思考，利用解析式對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)

格的證明，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用抽象語(yǔ)言表述的單調(diào)性定義在證

明中的重要作用.

問(wèn)題6：練習(xí)，教科書第91頁(yè)練習(xí)1,2,3

1.已知募函數(shù)y=〃x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,吟,求這個(gè)函數(shù)的解析式.

解析：設(shè)幕函數(shù)解析式為y=

將點(diǎn)(2,⑹帶入解析式，則0=2“，

得cr=L

2

y=x^(光20).

設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)幕函數(shù)定義的理解，并規(guī)范數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述.

2.利用幕函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

(1)(-1.5)3,(-1.4)3；(2)——,——；(3)1.22,0.9-5,7n.

-1.5-1.4

5

解析：(1)由于累函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，且-L5<T.4,

(-1.5)3<(-1.4)3.

(2)由于塞函數(shù)y=!在(-8,0)上單調(diào)遞減，且—1.5<—1.4<0,

x

由于>在［0,+8)上單調(diào)遞增，1.1.2>—>1.1>0,

9

即1.23>0.9-2>血.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出使用幕函數(shù)的性質(zhì)比較大小的基本思路和方法：比較大

小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無(wú)法比較大小.因此如果底數(shù)不同

需轉(zhuǎn)化為同底數(shù)暴才能選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)進(jìn)行比較說(shuō)明，同時(shí)要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)幕函數(shù)y=V和y=_L單調(diào)性的應(yīng)用，使用時(shí)提示：塞函數(shù)y=1

XX

的圖象不連續(xù)，因此要注意單調(diào)區(qū)間的描述.

3.畫出函數(shù)y=|x|t的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.

師生活動(dòng)：學(xué)生分析思考后回答，教師引導(dǎo)歸納得出：這是一個(gè)分段函數(shù)，也是一個(gè)偶函數(shù)，

它的定義域是{X|XN0}.當(dāng)x>0時(shí)，y=/是我們熟悉的五個(gè)暴函數(shù)之一，當(dāng)x<0時(shí)的

6

單調(diào)性是：xe(0,+8)單調(diào)遞減，無(wú)?(_8,0)單調(diào)遞增

設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)一般函數(shù)研究思路和方法的理解掌握.

(三)歸納小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答以下幾個(gè)問(wèn)題：

(1)什么是暴函數(shù)？結(jié)合具體的暴函數(shù)，你能說(shuō)出累函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？

(2)結(jié)合對(duì)五