河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，則A∪B＝（）A．（﹣∞，3） B．[﹣1，2） C．[﹣1，3） D．（﹣∞，2]2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（，﹣）3．2021年3月18日“2024亞太地區(qū)自然指數(shù)”發(fā)布，中國機(jī)構(gòu)整體表現(xiàn)強(qiáng)勁．在2024年亞太地區(qū)科研產(chǎn)出貢獻(xiàn)份額排名前5位中有4家中國機(jī)構(gòu)，它們分別是中國科學(xué)院（第一），中國科學(xué)技術(shù)高校（其次），北京高校（第四），中國科學(xué)院高校（第五），相應(yīng)的貢獻(xiàn)份額（取整數(shù)）分別為1904，486，456，422，則這四個數(shù)的極差、中位數(shù)分別是（）A．﹣1482，472 B．1482，472 C．﹣1482，471 4．已知a＝log312，b＝log54，，則（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c5．阿基米德是宏大的物理學(xué)家，哲學(xué)家，數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，是名副其實(shí)的“全能天才”．他本人最得意的發(fā)覺是名為“圓柱容球”的幾何圖形，就是在圓柱形容器里放了一個球，這個球頂天立地，四周噴邊（球的直徑與圓柱形容器的高和底面直徑分別相等）．人們?yōu)榱思o(jì)念他，依據(jù)他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了該幾何圖形，在一個“圓柱容球”的圓柱內(nèi)任取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好落在這個“圓柱容球”的球內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則f（x）的極大值為（）A．0 B． C．e D．17．20世紀(jì)30年頭，查爾斯?里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運(yùn)用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）．當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示參數(shù)E＝104.8+1.5M，震級越大，震源放出的能量就越大．1989年美國舊金山地震中，一個測震儀記錄的最大振幅為8000，此時的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.0001，則預(yù)料此次地震震源放出的能量（單位：焦耳）約為（）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．68π B．52π C．36π D．48π9．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為，過F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，則l的斜率為（）A．±1 B． C． D．10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知4c2＝3b2，，則A＝（）A． B． C． D．11．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（）A． B． C． D．112．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A（0，3），當(dāng)△MAF的周長最小時，△MAF的面積為（）A． B．9 C． D．4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量，，若，則＝．14．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為．15．已知，則＝．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，A1C⊥平面DBC1，AB＝BC＝AA1，則異面直線A1D與BC所成角的正切值為三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知數(shù)列{an}中，a1＝，a2＝且．（1）證明{an2}為等差數(shù)列并求an2；（2）求數(shù)列{2an2}的前n項(xiàng)和Sn．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，且底面ABCD為矩形，AB＝1，AD＝2，，E為BC的中點(diǎn)，PE⊥DE．（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）求C到平面PDE的距離．19．華為HarmonyOS系統(tǒng)是一款面對將來、面對全場景的分布式操作系統(tǒng)，預(yù)料該系統(tǒng)將會成為繼Android，IOS系統(tǒng)之后的全球第三大手機(jī)操作系統(tǒng)．為了了解手機(jī)用戶對Harmony﹣OS系統(tǒng)的期盼程度，某公司隨機(jī)在20000人中抽取了100名被調(diào)查者，記錄他們的期盼值，將數(shù)據(jù)分成[0，15），[15，30），…，[75，90]6組，其中期盼值不低于60的稱為特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)，現(xiàn)整理數(shù)據(jù)得到如圖頻率分布直方圖．（1）已知樣本中期盼值小于15的有4人，試估計(jì)總體中期盼值在區(qū)間[15，30）內(nèi)的人數(shù)；（2）已知樣本中的男生有一半特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)，且樣本中特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)的男、女生人數(shù)相等．請依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷是否有99%的把握認(rèn)為是否特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)與性別有關(guān)．特別期盼不特別期盼合計(jì)男女合計(jì)100附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82820．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且不平行于坐標(biāo)軸的動直線l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）記直線OM的斜率為k1，直線AB的斜率為k2，證明：k1k2為定值．（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝2mx﹣4lnx．（1）當(dāng)m＝1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）與的圖象上恰有兩對關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，求m的取值范圍．（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為多參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣mρsinθ+2＝0（m∈R）．（1）求曲線C1和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知P（﹣2，0），線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，若，求m的值．[選修4—5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜4x﹣2的解集；（2）若，，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，則A∪B＝（）A．（﹣∞，3） B．[﹣1，2） C．[﹣1，3） D．（﹣∞，2]解：因?yàn)锳＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{y|y≤2}，所以A∪B＝（﹣∞，3）．故選：A．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（，﹣）解：∵＝＝﹣+i，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），故選：B．3．2021年3月18日“2024亞太地區(qū)自然指數(shù)”發(fā)布，中國機(jī)構(gòu)整體表現(xiàn)強(qiáng)勁．在2024年亞太地區(qū)科研產(chǎn)出貢獻(xiàn)份額排名前5位中有4家中國機(jī)構(gòu)，它們分別是中國科學(xué)院（第一），中國科學(xué)技術(shù)高校（其次），北京高校（第四），中國科學(xué)院高校（第五），相應(yīng)的貢獻(xiàn)份額（取整數(shù)）分別為1904，486，456，422，則這四個數(shù)的極差、中位數(shù)分別是（）A．﹣1482，472 B．1482，472 C．﹣1482，471 解：依據(jù)題意，四個數(shù)據(jù)分別為1904，486，456，422，則其極差1904﹣422＝1482，中位數(shù)為（486+456）＝471，故選：D．4．已知a＝log312，b＝log54，，則（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c解：對于a＝log312＞log39＝2，b＝log54＜log55＝1，，所以a＞c＞b，故選：C．5．阿基米德是宏大的物理學(xué)家，哲學(xué)家，數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，是名副其實(shí)的“全能天才”．他本人最得意的發(fā)覺是名為“圓柱容球”的幾何圖形，就是在圓柱形容器里放了一個球，這個球頂天立地，四周噴邊（球的直徑與圓柱形容器的高和底面直徑分別相等）．人們?yōu)榱思o(jì)念他，依據(jù)他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了該幾何圖形，在一個“圓柱容球”的圓柱內(nèi)任取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好落在這個“圓柱容球”的球內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．解：設(shè)圓柱的體積為m，球的體積為n，球的半徑為r，則圓柱的高為2r，所以m＝πr2?2r＝2πr3，，則所求概率為．故選：B．6．已知函數(shù)，則f（x）的極大值為（）A．0 B． C．e D．1解：因?yàn)椋頵′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，故f（x）的極大值為f（0）＝1，故選：D．7．20世紀(jì)30年頭，查爾斯?里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運(yùn)用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）．當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示參數(shù)E＝104.8+1.5M，震級越大，震源放出的能量就越大．1989年美國舊金山地震中，一個測震儀記錄的最大振幅為8000，此時的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.0001，則預(yù)料此次地震震源放出的能量（單位：焦耳）約為（）（lg2≈0.3，100.65≈4.5）A．4.517 B．4.516 C．4.5×1016 D．4.5×解：，∴E＝104.8+1.5×7.9＝1016.65＝100.65?1016≈4.5×1016．故選：C．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A．68π B．52π C．36π D．48π解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為三棱錐P﹣ABC，把該三棱錐放置在長方體PB中，長方體的棱長分別為6，4，4，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，半徑為．∴外接球的表面積為4π×＝68π．故選：A．9．已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為，過F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，則l的斜率為（）A．±1 B． C． D．解：由題知p＝1，拋物線方程為y2＝2x，設(shè)l的直線方程為，代入拋物線方程，得y2﹣2my﹣1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝2m，y1y2＝﹣因?yàn)椋曰?，故，即l的斜率為．故選：D．10．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知4c2＝3b2，，則A＝（）A． B． C． D．解：因?yàn)?，所以，即，?c2＝3b2，則，從而，又A∈（0，π），故．故選：C．11．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（）A． B． C． D．1解：將f（x）＝cos（ωx+）的圖象向右平移個單位長度后得到g（x）＝cos（ωx﹣+）的圖象．因?yàn)椋?，因?yàn)間（x）在上單調(diào)遞減，所以，，即，所以，ω的最大值為，故選：B．12．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A（0，3），當(dāng)△MAF的周長最小時，△MAF的面積為（）A． B．9 C． D．4解：如圖，設(shè)C的右焦點(diǎn)為F'，由題意可得，c＝3，因?yàn)椋?，．△MAF的周長為，即當(dāng)A，M，F(xiàn)'三點(diǎn)共線時，△MAF的周長最小，此時直線AF'的方程為y＝﹣x+3，聯(lián)立方程組，解得或y＝﹣1，即此時M的縱坐標(biāo)為，故△MAF的面積為．故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量，，若，則＝．解：因?yàn)?，所以＝x+3+2x＝0，解得x＝﹣1，所以，故．故答案為：．14．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為3．解：依據(jù)題意，等式組表示的平面區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)A（1，1），B（0，﹣1），C（3，﹣1）圍成的三角形區(qū)域，如圖：所以面積為；故答案為：3．15．已知，則＝．解：因?yàn)?，所以，故．故答案為：?6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，A1C⊥平面DBC1，AB＝BC＝AA1，則異面直線A1D與BC所成角的正切值為解：設(shè)AB＝BC＝AA1＝1，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得AA1⊥底面ABC即有AA1⊥AC，設(shè)AC＝x，即有AD＝CD＝x，由A1C⊥平面DBC1，可得A1C⊥DC可得tan∠C1A1C?tan∠A1C1D＝tan∠C1A1C?tan∠C解得x＝，所以△ABC為直角三角形，且AB⊥BC，取AB的中點(diǎn)H，連接A1H，DH，可得DH∥BC，則∠A1DH為異面直線A1D與BC所成角．由BC⊥AB，可得DH⊥AB，由三垂線定理可得DH⊥AH，在直角三角形A1DH中，DH＝，A1H＝＝，所以tan∠A1DH＝＝．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知數(shù)列{an}中，a1＝，a2＝且．（1）證明{an2}為等差數(shù)列并求an2；（2）求數(shù)列{2an2}的前n項(xiàng)和Sn．解：（1）因?yàn)?，，所以即，因?yàn)閍1＝，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故．（2）因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為4，公比為8的等比數(shù)列，故．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，且底面ABCD為矩形，AB＝1，AD＝2，，E為BC的中點(diǎn)，PE⊥DE．（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）求C到平面PDE的距離．解：（1）證明：連接AE．因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD且交于AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．因?yàn)镻A?平面PAD，所以PA⊥AB．在△AED中，，AD＝2，所以AE2+ED2＝AD2，即AE⊥ED．因?yàn)镻E⊥DE，PE∩AE＝E，所以DE⊥平面PAE．因?yàn)镻A?平面PAE，所以PA⊥DE．因?yàn)锳B，DE相交，所以PA⊥平面ABCD．（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，E為BC的中點(diǎn)，，所以三棱錐P﹣ECD的體積為，在△PDE中，，PE＝2，所以△PDE的面積為．設(shè)C到平面PDE的距離為d，則，所以．即C到平面PDE的距離為．19．華為HarmonyOS系統(tǒng)是一款面對將來、面對全場景的分布式操作系統(tǒng)，預(yù)料該系統(tǒng)將會成為繼Android，IOS系統(tǒng)之后的全球第三大手機(jī)操作系統(tǒng)．為了了解手機(jī)用戶對Harmony﹣OS系統(tǒng)的期盼程度，某公司隨機(jī)在20000人中抽取了100名被調(diào)查者，記錄他們的期盼值，將數(shù)據(jù)分成[0，15），[15，30），…，[75，90]6組，其中期盼值不低于60的稱為特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)，現(xiàn)整理數(shù)據(jù)得到如圖頻率分布直方圖．（1）已知樣本中期盼值小于15的有4人，試估計(jì)總體中期盼值在區(qū)間[15，30）內(nèi)的人數(shù)；（2）已知樣本中的男生有一半特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)，且樣本中特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)的男、女生人數(shù)相等．請依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并推斷是否有99%的把握認(rèn)為是否特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)與性別有關(guān)．特別期盼不特別期盼合計(jì)男女合計(jì)100附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828解：（1）因?yàn)闃颖局衅谂沃挡恍∮?0的頻率為，所以樣本中期盼值小于30的頻率為0.1，則樣本中期盼值在區(qū)間[15，30）內(nèi)的人數(shù)為100×0.1﹣4＝6，故總體中期盼值在區(qū)間[15，30）內(nèi)的人數(shù)約為20000×＝1200；（2）因?yàn)闃颖局刑貏e期盼HarmonyOS系統(tǒng)的人數(shù)為，所以樣本中特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)的男生人數(shù)為，故樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100﹣60＝40，則列聯(lián)表如下：特別期盼不特別期盼合計(jì)男303060女301040合計(jì)6040100所以K2＝，故沒有99%的把握認(rèn)為是否特別期盼HarmonyOS系統(tǒng)與性別有關(guān)．20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且不平行于坐標(biāo)軸的動直線l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）記直線OM的斜率為k1，直線AB的斜率為k2，證明：k1k2為定值．（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），（1）證明：因?yàn)?，，所以，即．因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，所以．（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），聯(lián)立方程組，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，則，．所以，所以M的坐標(biāo)為．假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P，則直線PM的斜率為．因?yàn)椤鰽BP為等邊三角形，所以．因?yàn)椋?，所以，?3k2+27＝0，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在這樣的點(diǎn)P．21．已知函數(shù)f（x）＝2mx﹣4lnx．（1）當(dāng)m＝1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）與的圖象上恰有兩對關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，求m的取值范圍．解：（1）當(dāng)m＝1時，f（x）＝2x﹣4lnx，則．令f'（x）≥0，得x≥2，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞）．（2）因?yàn)閒（x）與g（x）的圖象上恰有兩對關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，所以方程f（x）＝g（﹣x）有兩個正根，即關(guān)于x的方程有兩個正根．令，則，當(dāng)m≤0時，h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（2）＝2m﹣4ln2+4＜0，得m＜2ln2﹣2．當(dāng)0＜m＜1時，h（x）在（0，2），上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以h（2）＝2m﹣4ln2+4＝0或．而h（2）＝2（m+2﹣2ln2）＞0，令，則t＞2