浙江省臺州市路橋區(qū)第三中學2023-2024學年下學期九年級開學考試數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年浙江省臺州市路橋區(qū)第三中學八年級（下）開學數(shù)學試卷一、選擇1.第19屆亞運會在杭州順利舉行，下列體育運動圖標中是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此進行分析即可．【詳解】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．2.下列各組數(shù)中，能作為三角形三邊長的是（）A.1，1，2 B.5，5，9 C.10，4，5 D.5，9，4【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進行分析．【詳解】解：A、，1，1，2不能組成三角形；B、，5，5，9能組成三角形；C、，10，4，5不能組成三角形；D、，5，9，4不能組成三角形．故選：B．3.肺炎支原體直徑約為米，卻有著不可小覷的威力．其中數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為：，其中，為第一位非零數(shù)字前所有的個數(shù)（含小數(shù)點前的）．根據(jù)科學記數(shù)法的一般形式解答即可．【詳解】解：，故選：B．4.下列計算正確的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法以及合并同類項，需要注意不是同類項的一定不能合并．根據(jù)冪的乘方、合并同類項、同底數(shù)冪的乘法及除法法則作答．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，故本選項不合題意；B、，故本選項不合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不合題意．故選：C．5.如圖，，添加下列一個條件后，仍不能判定的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形判定方法進行判斷即可，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【詳解】A.添加，根據(jù)能判定，故本選項不符合題意；B.添加時，根據(jù)不能判定，故本選項不符合題意；C.添加，根據(jù)不能判定，故本選項不符合題意；D.添加，根據(jù)不能判定，故本選項符合題意；故選：D.6.若分式的值為零，則x等于（）A.0 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】分式有意義時，分母不為零；分式的值為零時，分子等于零，據(jù)此可得，求解即可．【詳解】∵分式的值為零，∴，解得，故選：C．【點睛】本題考查了分式的值為零時的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是解題的關(guān)鍵．7.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式法則是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)多項式乘多項式法則展開，再合并同類項，求出答案即可．【詳解】解：，，．故選：A．8.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）．A.6米; B.9米; C.12米; D.15米.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意BC=3米，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2×3=6米，

∴BC+AB=3+6=9（米）．

故選B【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，由4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪成正方形圖案，該圖案的面積為，小正方形的面積為，若分別用，（）表示小長方形的長和寬，則下列關(guān)系式中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景．根據(jù)拼圖可知大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，進而得出，，，結(jié)合完全平方公式得出，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，∵該圖案的面積為，小正方形的面積為，∴大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，即，，故A選項和B選項不符合題意；根據(jù)題意可得：個全等的小長方形的面積加上1個小正方形的面積等于大正方形的面積，即，故D選項不符合題意；則，由該圖案的面積為，可得出，即，故，故C選項符合題意．故選：C．10.在和中，，，D、分別是、上一點，且，有如下三個判斷（）①若，則和一定全等；②若，則和一定全等；③若，則和一定全等．A.②對①③錯 B.②③對①錯 C.全對 D.全錯【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)斜邊及另一條直角邊對應相等的兩個直角三角形是全等三角形可證明②說法正確，根據(jù)全等三角形的判定定理不能根據(jù)①③的條件證明和全等．【詳解】解：①若，即，，，不能證明與是全等三角形，故①錯誤；②若，即，，，根據(jù)斜邊及另一條直角邊對應相等的兩個直角三角形是全等三角形可得與是全等三角形，故②正確；③若，即，，，不能證明與是全等三角形，故③錯誤；綜上，②正確①③錯誤．故選：A．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11.計算：_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了零指數(shù)冪．根據(jù)零指數(shù)冪：（），即可求解．【詳解】解：．故答案：．12.若正多邊形的每一個外角為，則這個正多邊形是_____邊形．【答案】五【解析】【分析】由一個多邊形的外角為和每一個外角都是，可求得其邊數(shù)．此題考查了多邊形的外角和定理．熟練掌握“多邊形的外角和等于”是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：正多邊形的外角和等于，∴這個正多邊形的邊數(shù)，故這個正多邊形是五邊形．故答案為：五．13.如圖，在等腰中，，腰長為，則點關(guān)于軸的對稱點的坐標為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，關(guān)于軸對稱的點的特征．先根據(jù)等腰三角形的定義得出，推出點的坐標，再結(jié)合關(guān)于軸對稱的點的特征，即可求解.【詳解】解：在等腰中，，腰長為，∴，∴點的坐標為，∴則點關(guān)于軸的對稱點的坐標為．故答案為：．14.已知am＝3，an＝5，則am+n的值為_____．【答案】15．【解析】【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的逆運算將am+n變形為am·an，再代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：∵am·an＝am+n，∴am+n＝am·an＝3×5＝15．故答案為：15．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法的逆運算是解答的關(guān)鍵．15.已知，，則的值為_____（用含m，n的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式混合運算．先化簡原式，再根據(jù)，，求出，最后整體代入進行化簡即可．【詳解】解：，∵，，故，，∴，，，將，，，代入原式，得：原式．故答案為：．16.如圖，，D為垂直平分線上一點，且，，則_____．【答案】##36度【解析】【分析】連接，過點D作交于點，與交于點，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角得出，等量代換得出，根據(jù)三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形，全等三角形的對應角相等得出，根據(jù)等角對等邊得出，推得，根據(jù)等邊對等角得出，結(jié)合對頂角相等得出，即，據(jù)此設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求得，即．【詳解】解：連接，過點D作交于點，與交于點，如圖：∵D為的垂直平分線上一點，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，且，∴，∴，設(shè)，則，故，解得：，即．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)等．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三.解答題（本題有8小題，17-19每題6分，20-21題8分，22-23題10分，24題12分，共66分）17.（1）因式分解：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了提公因式法因式分解，多項式除以單項式運算．（1）根據(jù)提公因式法進行因式分解即可求解；（2）根據(jù)多項式除以單項式的運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．18.先化簡代數(shù)式，再從0，1，2這幾個數(shù)中選取一個你喜歡的x的值代入求值．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件．先根據(jù)分式的混合運算化簡原式，再根據(jù)分式有意義的條件得出不能為0和1，取，最后代入求出答案即可．【詳解】解：，要使分式有意義，必須且，故不能為和，當時，原式．19.如圖，點D在上，點E在上，，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應角相等即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在與中，，∴，∴．20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出關(guān)于直線的對稱圖形；（2）在上找一點P，使得的距離最短，在圖中作出P點的位置；（保留作圖痕跡）（3）若點B坐標為，點坐標為，則上一點的對應點坐標表示為．【答案】（1）圖見解析（2）圖見解析（3）【解析】【分析】本題考查了畫對稱軸圖形，最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)．（1）先找出點、、關(guān)于直線的對稱點、、，再順次連接、、即可；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，故，當點，點，點三點共線時，的值最小為；（3）先根據(jù)對稱的兩點的坐標得出對稱軸，再結(jié)合關(guān)于對稱軸對稱的兩個點到對稱軸的距離相等，求出點的橫坐標，即可求解．【小問1詳解】解：如圖：即為所求．【小問2詳解】解：連接，與的交點即為所求點，如圖：【小問3詳解】解：∵點B坐標為，點坐標為，∴點、關(guān)于直線對稱，故上一點的對應點的縱坐標為，橫坐標為，故點的坐標為．故答案為：．21.某公司會計欲查詢乙商品的進價（如下表），發(fā)現(xiàn)進貨單已被墨水污染．商品進價（元/件）數(shù)量（件）總金額甲乙李師傅：我記得甲商品進價比乙商品進價每件高．王師傅：我記得甲商品比乙商品的數(shù)量多件．請求出乙商品的進價為多少元．【答案】元【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用．設(shè)乙商品的進價為元，根據(jù)“甲的進價乙的進價”，“甲的數(shù)量乙的數(shù)量”，列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)乙商品進價為元，根據(jù)題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，故乙商品的進價為元．22.如圖，在中，．（1）已知線段的垂直平分線與邊交于點P，連接，若的周長為，長為，求的周長．（2）以點B為圓心，線段的長為半徑畫弧，與邊交于點Q，連接，若，求的度數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)垂直平分線上的的點到線段兩端點的距離相等得出，，求出，根據(jù)的周長求出，即可求解；（2）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程式，解方程即可求出．【小問1詳解】解：∵線段的垂直平分線與邊交于點P，∴，，∴，∵的周長為，即，故的周長為．【小問2詳解】解：根據(jù)題意可知，∴，∵，且，∴，∵，即，∴．23.【問題提出】如何分解因式：？【問題解決】某數(shù)學“探究學習”小組對以上問題進行了探究：甲同學：乙同學：【方法總結(jié)】將一個多項式適當分組后，利用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解的方法叫做分組分解法．【學以致用】嘗試運用分組分解法解答下列問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊長，，滿足，判斷的形狀并說明理由．【拓展提升】(3)如圖是一塊長方形試驗田，已知長為，長為，當時，長方形試驗田的面積為，當時，長方形試驗田的面積為(，均為正整數(shù))，且滿足，請求出和的值．【答案】（1）；（2）為等腰三角形，理由見解析；（3），【解析】【分析】本題考查了因式分解的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義．（1）根據(jù)分組分解法分解因式即可；（2）利用分組分解法，解方程得出，即可得出為等腰三角形；（3）根據(jù)題意列出方程，結(jié)合實際意義，解方程即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：，∵，，均為正數(shù)，∴，∴，∴為等腰三角形．（3）解：∵長為，長為，∴長方形試驗田的面積為，當時，長方形試驗田的面積為，當時，長方形試驗田的面積為，即，，根據(jù)題意可得：，整理得出：，∵，故，可得出或，分別求解，得出或（舍去），故，．24.如圖1，在和中，，，，連接，兩線相交于點F，與相交于點H，連接，過點A作于點G．（1）探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）①的度數(shù)為；②探究線段，，的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖2，當平分時，設(shè)，，直接寫出的面積．（用含，的式子表示）【答案】（1），（2）①；②（3）【解析】【分析】（1）與交于點，與交于點，根據(jù)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應邊相等，對應角相等得出，，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出，即可得出；（2）①過點作交于點，根據(jù)兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等，全等三角形的對應邊相等得出，根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)得出；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)斜邊及另一條直角邊對應相等的兩個直角三角形是全等三角形，全等三角形的對應邊相等得出，根據(jù)，即可得到；（3）設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，即，，結(jié)合角平分線的定義得出，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，則，代入三角形面積