兩個平面平行的判定和性質(zhì)

面面平行的判定和性質(zhì)一.面、面平行的定義與表示方法平行平面的定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面叫做平行平面.記作α//β.1.兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點符號表示圖形表示沒有公共點有一條公共直線2.平行平面的畫法：在畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行線.一般畫法錯誤畫法

思考題：1、如果一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，能否說明平面與平面平行？2、要求一個平面內(nèi)的多少條直線與另一個平面平行才可判定兩個平面平行呢？通過上面的兩個問題，我們感覺到判定面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行時不是條數(shù)的問題，而是要求一個平面內(nèi)的直線之間具備某種關系。二、兩個平面平行的判定

判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．MA②圖形語言：③符號語言：已知：在平面內(nèi)有兩條直線、相交且和平面平行．

求證：

證明：(用反證法)

假設．

同理這與題設和是相交直線矛盾．判定定理簡而言之為：一交，兩在，兩平行。線面平行面面平行A

推論:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行。mn練習：判斷下列命題是否正確，并說明理由．（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α與β平行；（2）若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則α與β平行；（3）平行于同一直線的兩個平面平行；×××（4）兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線，這兩個平面平行；（5）a、b為異面直線，且分別在平面α和β內(nèi)，若

a//β,b//α,則α//β。

(6)過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面．××√例題1.已知三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)，分別是PA，PB，PC的中點，求證：平面DEF//平面ABC。證明：在△PAB中，因為D，E分別是PA，

PB的中點，所以DE//AB，因此DE//平面ABC，又知DE平面ABC，F(xiàn)EDCBAP同理EF//平面ABC，又因為DE∩EF=E，所以平面DEF//平面ABC。例1.如圖，在長方體中，求證：平面平面.ABDCD'C'B'A'證明：是平行四邊形平面平面又平面平面同理：平面平面思考：如果兩個平面平行，那么（1）一個平面內(nèi)的直線是否平行于另一個平面？由思考一可以得到證明線面平行的另一種方法，即可以用面面平行證明線面平行（2）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否平行？

（可以由反證法說明）（線面無交點）4.平面與平面平行的性質(zhì)定理:符號語言：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a//b.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.與沒有公共點與也沒有公共點證明:已知：α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，求證：a//b.練習2.（1）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.已知：平面α//平面β//平面γ，兩條直線l，m分別與平面α、平面β、平面γ相交于點A、B、C和點D、E、F，求證：

證明：連接DC，設DC與平面β相交于點G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG，平面DCF與平面β，γ分別相交于直線GE，CF，

因為α//β，β//γ，所以BG//AD，GE//CF，于是得所以（2）.已知三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)，分別是PA，PB，PC的中點，求證：平面DEF//平面ABC。證明：在△PAB中，因為D，E分別是PA，

PB的中點，所以DE//AB，因此DE//平面ABC，又知DE平面ABC，F(xiàn)EDCBAP同理EF//平面ABC，又因為DE∩EF=E，所以平面DEF//平面ABC。（3）.已知a∥β,AB和DC為夾在α、β間的平行線段。求證：AB＝DC.證明：連接AD、BC∵AB//DC∴AB和DC確定平面AC

又因直線AD、BC分別是平面

AC與平面α、β的交線，

∴AD//BC，四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB＝DC性質(zhì)：夾在兩個平行平面間的平行線段相等。性質(zhì)：經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。兩個平面平行的其它性質(zhì)：性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個平面平行。1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_________對.2.如圖,設E,F,E1,F1分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中點.求證:平面ED1∥平面BF1ABCDA1B1C1D1EE1FF1分析:在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線平行另一個平面即可.43.已知a、b為異面直線，求證過a、b分別存在平面α和β，且α//β.提示：在a上取一點A，過A作直線b’//b，同樣在b上取一點B，作直線a’//a，則a和b’確定平面α，b和a’確定平面β，且α//β.例1.如圖，在長方體中，E為