天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期月考試題含解析

PAGE20-天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期月考試題（含解析）一、單選題（每題5分，共15個(gè)小題）1.已知a為函數(shù)的微小值點(diǎn)，則a=（）A.3 B.－2 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)等于零，解方程，然后利用微小值點(diǎn)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】.當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的微小值點(diǎn)，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的微小值點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推斷即可.【詳解】A：，故本選項(xiàng)運(yùn)算不正確；B：，故本選項(xiàng)運(yùn)算不正確；C：，故本選項(xiàng)運(yùn)算正確；D：，故本選項(xiàng)運(yùn)算不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)旁邊連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)來(lái)探討函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．4.對(duì)隨意的，函數(shù)存在極值點(diǎn)的充要條件是（）A. B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)等于零，方程肯定有兩個(gè)不等實(shí)根即可.【詳解】有兩個(gè)不等實(shí)根，因此有或.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)有極值的充要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.5.若函數(shù)有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】分析】函數(shù)有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)有唯一大于0的變號(hào)零點(diǎn)，畫(huà)出的圖像，使得兩個(gè)函數(shù)圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，并且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，故，可求解.【詳解】函數(shù)有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)有唯一的大于0的變號(hào)零點(diǎn)，，變形為畫(huà)出的圖像使得兩個(gè)函數(shù)圖像有唯一一個(gè)交點(diǎn)，并且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，故，化簡(jiǎn)為故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)極值點(diǎn)的概念，以及已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題，已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)干脆法，干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法，先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．6.設(shè)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.7.在曲線上切線傾斜角為的點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出曲線上的點(diǎn)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為：，由.由題意可知：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.8.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故選A9.設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)選項(xiàng)中不等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知的不等式特征，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，最終利用新構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)：，，所以函數(shù)定義在R上減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的函數(shù)，所以有.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用函數(shù)單調(diào)性推斷函數(shù)值之間的大小關(guān)系，考查了構(gòu)造法，屬于中檔題.10.已知函數(shù)，若有三個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于零，依據(jù)題意該方程有三個(gè)不等正實(shí)根，這樣通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，明顯方程必有一個(gè)根為，由題意可知：方程必有兩個(gè)不等于1的正實(shí)根，，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，因此有.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了常變量分別法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.11.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把方程進(jìn)行常變量分別，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，推斷出函數(shù)單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)的正負(fù)性，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解，不符合題意，故.于是有，令，明顯當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象一樣如下圖所示：因此要想有實(shí)數(shù)根，只需方程組：有交點(diǎn)，如上圖，則有實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了方程有根求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)合實(shí)力.12.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，再分類探討和兩種狀況，再對(duì)滿意條件的取并集即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即在R上單調(diào)遞增，滿意條件．當(dāng)時(shí)，解得，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，即．綜上所述故選:B【點(diǎn)睛】此題考查定區(qū)間單調(diào)求參數(shù)取值范圍題型，用到的方法為分類探討，屬于一般性題目．13.函數(shù)上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)f（x）在（1，3）上不單調(diào)，得g（1）·g（3）＜0且△≥0，從而可求a的取值范圍．【詳解】所以令因?yàn)楹瘮?shù)上不單調(diào)即在上由實(shí)數(shù)根a=0時(shí)，明顯不成立，a≠0時(shí)，只需，解得或即a∈它的充分不必要條件即為一個(gè)子集所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與充分必要條件的綜合，屬于中檔題．14.若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此函數(shù)的微小值為：或要想函數(shù)區(qū)間上有最小值，則有：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)在區(qū)間有最小值求參數(shù)取值范圍，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.15.直線與曲線相切也與曲線相切，則稱直線為曲線和曲線的公切線，已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)求出兩個(gè)函數(shù)的切線方程，依據(jù)這個(gè)兩個(gè)方程表示同始終線，可得方程組，化簡(jiǎn)方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)形式，求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負(fù)性，畫(huà)出圖象圖形，最終利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為：；設(shè)曲線的切點(diǎn)為：，，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線斜率為，因此過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為：，則兩曲線的公切線應(yīng)當(dāng)滿意：，構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最大值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)曲線的公切線的條數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想.二、填空題（每小題5分共10小題）16.已知曲線的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)______【答案】1【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.17.已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)可以作出________條圖象的切線.【答案】二【解析】【分析】設(shè)出曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，把點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程中，求出方程的根進(jìn)行推斷即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，因此切線方程為：，把的坐標(biāo)代入切線方程中，化簡(jiǎn)得：或，所以過(guò)點(diǎn)可以作出二條的切線.故答案為：二【點(diǎn)睛】本題考查了曲線切線的條數(shù)問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.18.函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)有微小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】1【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的微小值兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值需左負(fù)右正；而由圖得：滿意導(dǎo)函數(shù)值左負(fù)右正的自變量只有一個(gè)；故原函數(shù)的微小值點(diǎn)只有一個(gè)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值19.函數(shù)，若對(duì)于區(qū)間[－2,2]上的隨意，，都有，則實(shí)數(shù)的最小值是_______.【答案】4【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在區(qū)間[－2,2]上的最值，結(jié)合肯定值的性質(zhì)求出的最大值，最終求出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此函數(shù)的微小值為：，函數(shù)的極大值為，，所以函數(shù)在區(qū)間[－2,2]上的值域?yàn)椋海虼藢?duì)于區(qū)間[－2,2]上的隨意，，，因此實(shí)數(shù)的最小值是4.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查了肯定值的性質(zhì)，考查了對(duì)隨意性的理解，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.20.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則=______.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，可得，將代入上式即可求得：，即可求得，將代入即可得解【詳解】因?yàn)?，所?所以，則，所以則，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及賦值法，考查方程思想及計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．21.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?，求解不等式可得函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.22.已知,若存在,,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】試題分析：分兩步求解，要使得成立，則有，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性求得最小值；要滿意使得成立，應(yīng)有，依據(jù)二次函數(shù)學(xué)問(wèn)求出最大值，從而得到關(guān)于的不等式，求得其范圍.試題解析：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得微小值即最小值.函數(shù)的最大值為,若，使得成立,則有的最大值大于或等于的最小值,即.考點(diǎn)：存在性量詞與不等式的有解問(wèn)題．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了存在性量詞與不等式的有解問(wèn)題，屬于中檔題.含有存在性量詞的命題通常轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解答.本題解答的難點(diǎn)是含有兩個(gè)量詞，解答時(shí)，先把其中一個(gè)函數(shù)看成參數(shù)，探討另一個(gè)的最值，再來(lái)解決另一個(gè)的最值，從而得到要求參數(shù)的不等式，求得其范圍.23.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】先推斷函數(shù)奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】由題得f(-x)=,所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).設(shè)x＞0，則，所以上恒成立，所以函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以,所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判定，考查函數(shù)的單調(diào)性的判定，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力.24.已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[1，2]上恒非正或恒非負(fù)進(jìn)行求解即可.【詳解】，由題意可知：或在區(qū)間[1，2]上恒成立.當(dāng)在區(qū)間[1，2]上恒成立時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此有；當(dāng)在區(qū)間[1，2]上恒成立時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此有，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.25.設(shè)過(guò)曲線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上隨意一點(diǎn)處的切線為，總有過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，然后依據(jù)題意，結(jié)合相互垂直的兩直線的斜率關(guān)系，利用集合之間的關(guān)系，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，設(shè)切線的斜率為，則有，因此由，，設(shè)切線的斜率為，則有，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€上隨意一點(diǎn)處的切線為，總有過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，所以有：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率問(wèn)題，考查了存在性的理解，考查了兩直線相互垂直斜率之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.三、解答題（共25分）26.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（Ⅰ），由題設(shè)知，求得的值；（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程在內(nèi)由兩個(gè)不等實(shí)根,可列不等式組,即可求a的范圍【詳解】解：（Ⅰ），由題設(shè)知，故（Ⅱ）由題知，在內(nèi)由兩個(gè)不等實(shí)根，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在極值中的應(yīng)用