第1章 《勾股定理》單元練習(xí)題 2024-2025學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

第1頁（共1頁）第一章《勾股定理》練習(xí)題時間:120分鐘滿分150分一、單選題（本大題共10小題，總分40分）1．下列長度的三條線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1.5，2.4，3 C．3，3，5 D．2，3，62．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，3），則這兩點之間的距離是（）A．13 B．5 C．13 D．53．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線與點D，則CD的長為（）A．5 B．0.8 C．5?2 D．4．如圖，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，AE＝AD＝2，則AC的長是（）A．4 B．23 C．7 D．55．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，點M在棱AB上，且AM＝3，點N是FG的中點，一只螞蟻沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為（）A．10 B．106 C．34 D．96．如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條長16cm的直吸管露在罐外部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤27．勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，工人師傅砌門時，常用木條EF固定長方形門框ABCD使其不變形．若AF＝1米，AE＝2米，則木條EF＝（）（結(jié)果保留根號）A．3米 B．5米 C．6米 D．7米8．如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長直角邊為a，較短直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．25 B．19 C．13 D．1699．如圖，點O在線段AB上，AO＝2，OB＝1，OC為射線，且∠BOC＝60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．當(dāng)△ABP是直角三角形時，t的值為（）A．?1+338 B．1+338 C．1或10．如圖，△ABC的三邊BC＝17，CA＝18，AB＝19，過△ABC內(nèi)一點P向三邊作垂線，垂足分別為D、E、F，且BD+CE+AF＝27，則BD+BF的長是（）A．18 B．10+63 C．19 D．17二、填空題（本大題共5小題，總分20分）11．在△ABC中，∠C＝90°，若AB=3，則AB2+BC2+AC2＝12．如圖，∠BAC＝90°，AB=22，AC=22，BD＝12，DC=410，則∠13．如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為厘米．14．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，若BD＝1，AC＝4，且∠DAC+2∠BAD＝90°，則AD的長為．15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，?，按照這樣的規(guī)律作下去，第2024個正方形的邊長為．三、解答題（本大題共10小題，總分90分）16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求AB的長．17．如圖，長13m的梯子AC靠在墻上，梯子的底部C離墻角B的距離BC為5m（AB⊥BC），求梯子的頂端A離地面BC的距離AB．18．一個幾何體的三視圖如圖所示，如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā)，沿表面爬到CD的中點E，請你求出這個線路的最短路徑．19．消防云梯的作用主要是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災(zāi)現(xiàn)場，執(zhí)行滅火、疏散等救援任務(wù)．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時間，減少救援難度和風(fēng)險．如圖，已知云梯最多只能伸長到50米（即AA'＝BB'＝50米），消防車高3.4米，救人時云梯伸長至最長，在完成從33.4米（即A′M＝33.4米）高的A處救人后，還要從51.4米（即B′M＝51.4米）高的B處救人，這時消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AB為多少米？20．如圖，小明所在學(xué)校的旗桿BD高約為13米，距離旗桿20米處剛好有一棵高約為3米的香樟樹AE，活動課上，小明有意在旗桿與香樟樹之間的連線上來回踱步，發(fā)現(xiàn)有一個位置到旗桿頂部與樹頂?shù)木嚯x相等，請你求出該位置與旗桿之間的距離．21．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的長；（2）求AB的長；（3）判斷△ABC的形狀．22．我們知道，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．通過觀察常見勾股數(shù)“6，8，10”“8，15，17”……猜想一組正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c），當(dāng)最小數(shù)a為偶數(shù)時，另兩個正整數(shù)b和c滿足b=(a2)2?1，c=(（1）根據(jù)猜想，一組正整數(shù)中，最小數(shù)a為10，則另兩個數(shù)分別是b＝，c＝；（2）請再舉一例證明猜想成立．23．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點．（1）探索AD與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求四邊形ABCD的面積．24．如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．從點A修了一條垂直BC的小路AE（垂足為E），E恰好是BC的中點，且AE＝12m．（1）求邊BC的長；（2）連接AC，判斷△ADC的形狀；（3）求這塊空地的面積．25．綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+(b?a)2，從而得到等式c2=12ab×4+(b?a)【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，顯然BC⊥AD．（1）請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2＝c2．（2）【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為．（3）如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．

答案一、單選題（本大題共10小題，總分40分）1-5．AADCA．6-10．BBACA．二、填空題（本大題共5小題，總分20分）11．6．12．45°．13．2．14．7．15．(2三、解答題（本大題共10小題，總分90分）16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB=A17．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=AC218．開后連接BE，則BE的長是一只螞蟻從點B出發(fā)，沿表面爬到CD的中點E的最短路線，根據(jù)題意得：BC＝π×2×12=π，CE在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=B答：這條路線的最短距離是π219．解：由題意可知，DM＝3.4m，AA'＝BB'＝50m，A'M＝33.4m，B′M＝51.4m，AD⊥B′M，點A、B、D三點共線，∴A'D＝A'M﹣DM＝33.4﹣3.4＝30（m），B′D＝B′M﹣DM＝51.4﹣3.4＝48（m），在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD=AA′2在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD=BB′2∴AB＝AD﹣BD＝40﹣14＝26（m）．答：這時消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AB為26m．20．解：根據(jù)題意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m．如圖，設(shè)該位置為點C，且AC＝xm．由AC＝xm得：BC＝（20﹣x）m（1分）由題意得：CE＝CD，則CE2＝CD2，∴32+x2＝（20﹣x）2+132，解得：x＝14，∴CB＝20﹣x＝6，由0＜14＜20可知，該位置是存在的．答：該位置與旗桿之間的距離為6米．21．解：（1）在△BCD中，因為CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因為CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因為BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．22．解：（1）當(dāng)a＝10時，b=(102)2故答案為：24；26；（2）當(dāng)a＝4時，則b=(42)2∵42+32＝52，即a2+b2＝c2，∴a，b，c是一組勾股數(shù)（答案不唯一）．23．解：（1）AD⊥CD．理由如下，理由如下：由題意，AC2＝102＝100，CD2＝82+42＝80，AD2＝22+42＝20，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD；（2）S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=124．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，∵AB＝15m，AE＝12m，∴BE=A∵E是BC的中點，∴BC＝2BE＝18m．（2）∵AE⊥BC，E是BC的中點，∴AC＝AB＝15m．∵AD＝17m，CD＝8m，∴CD2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ADC是直角三角形．（3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m，∴S△ACD由（1）可知，BC＝18m，∴S∴這塊空地得面積為：S△ABC25．（1）證明：∵S四邊形ABCD=12c2，S梯形AEDC=12（b+a）b，S△BED=12(a?b)