2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測五十二第五章三角函數(shù)5.5.1.2兩角和與差的正弦余弦正切公式二含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測五十二兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知tan(α+β)=QUOTE,tanβ=QUOTE,則tanα= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為tan(α+β)=QUOTE,tanβ=QUOTE,所以tanα=tan[(α+β)-β]=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.已知sinβ=QUOTE,且sin(α+β)=cosα,則tan(α+β)=()A.1 B.2 C.-2 D.QUOTE【解析】選C.因為sinβ=QUOTE,QUOTE<β<π,所以cosβ=-QUOTE,所以sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=-QUOTEcos(α+β)+QUOTEsin(α+β),所以QUOTEsin(α+β)=-QUOTEcos(α+β),所以tan(α+β)=-2.3.已知θ為其次象限角,且sinθ=QUOTE,則tanQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.由θ為其次象限角而且sinθ=QUOTE,得cosθ=-QUOTE=-QUOTE,tanθ=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.4.已知A+B=QUOTE,則tanA+tanB+QUOTEtanAtanB-QUOTE的值等于 ()A.-2QUOTEB.2QUOTEC.0D.1-QUOTE【解析】選C.tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=QUOTE(1-tanAtanB),所以tanA+tanB+QUOTEtanAtanB-QUOTE=0.5.在△ABC中,角C=120°,tanA+tanB=QUOTE,則tanAtanB的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.tan(A+B)=tan(180°-120°)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故1-tanAtanB=QUOTE,即tanAtanB=QUOTE.6.已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα,tanβ,且α,β∈QUOTE,則α+β= ()A.QUOTEπ或-QUOTEπ B.-QUOTE或QUOTEC.QUOTE D.-QUOTEπ【解析】選D.因為方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα,tanβ,所以tanα+tanβ=-3a,tanαtanβ=3a+1,所以tan(α+β)=QUOTE=1.又因為α,β∈QUOTE,a>1,則tanα+tanβ=-3a<0,tanαtanβ=3a+1>0,所以tanα<0,tanβ<0,所以α,β∈QUOTE,所以α+β∈QUOTE,結(jié)合tan(α+β)=1,所以α+β=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.若tanα=2,則tanQUOTE的值是________.

【解析】因為tanα=2,tanQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形,若小正方形面積為1,大正方形面積為25,直角三角形中較大的銳角為θ,則tanQUOTE=________.

【解析】設直角三角形較短的直角邊長為a,則較長的直角邊長為a+1,斜邊長是5,依據(jù)勾股定理得a2+(a+1)2=25,解方程得a=3,直角三角形中較大的銳角為θ,tanθ=QUOTE,則tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.求下列各式的值:(1)QUOTE.(2)(1+tan25°)(1+tan20°).【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=-QUOTE.(2)原式=1+tan20°+tan25°+tan25°tan20°=tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+1+tan25°·tan20°=2.10.已知tanα=QUOTE,tanβ=-2,且0<α<QUOTE<β<π,求(1)tan(α-β)的值.(2)角α+β的值.【解析】(1)tan(α-β)=QUOTE=QUOTE=7.(2)因為tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-1,又0<α<QUOTE,QUOTE<β<π,所以QUOTE<α+β<QUOTEπ,所以α+β=QUOTEπ.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.若tanQUOTE=QUOTE,則tanα= ()A.2 B.-2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.tanα=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.2.當θ∈QUOTE時,若cosQUOTE=-QUOTE,則tanQUOTE的值為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因為θ∈(0,π),所以-θ∈(-π,0),所以QUOTE-θ∈QUOTE,因為cosQUOTE=-QUOTE<0,所以QUOTE-θ∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=-tanQUOTE=-QUOTE=QUOTE.3.在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC的值是 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.由tanAtanB=tanA+tanB+1,得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),所以tan(A+B)=QUOTE=-1,因為tan(A+B)=-tanC.所以tanC=1.又因為0<C<π,所以C=QUOTE,cosC=cosQUOTE=QUOTE.4.(多選題)關于函數(shù)f(x)=QUOTE,下列說法正確的是 ()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)圖象關于點QUOTE對稱C.函數(shù)圖象關于直線x=QUOTE對稱D.函數(shù)的定義域為QUOTE【解析】選A、B、D.因為函數(shù)f(x)=QUOTE=tanQUOTE,所以函數(shù)的最小正周期為π,A正確.由x+QUOTE=QUOTE,k∈Z?x=QUOTE-QUOTE,k∈Z,所以函數(shù)的圖象關于點QUOTE,k∈Z對稱,B正確.正切函數(shù)的圖象沒有對稱軸,C不正確.由x+QUOTE≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z,得x≠Q(mào)UOTE+kπ,k∈Z,所以函數(shù)的定義域為QUOTE,D正確.二、填空題(每小題5分,共20分)5.tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°=________.

【解析】tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+QUOTEtan20°tan40°=QUOTE.答案:QUOTE6.若α+β=QUOTE,則(1-tanα)(1-tanβ)=________.

【解析】(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanα·tanβ.又tan(α+β)=tanQUOTE=-1=QUOTE,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1,所以(1-tanα)(1-tanβ)=1+1-tanαtanβ+tanαtanβ=2.答案:27.若0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,且tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE,則α+β的值為________.

【解析】由tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE得tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=1,因為0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,所以0<α+β<π,則α+β=QUOTE.答案:QUOTE8.已知銳角α,β滿意α+2β=QUOTEπ,若tanQUOTEtanβ=2-QUOTE,則α=________,β=________.

【解析】由銳角α和β,α+2β=QUOTEπ,得QUOTE+β=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE.由tanQUOTEtanβ=2-QUOTE得tanQUOTE+tanβ=3-QUOTE.所以tanQUOTE,tanβ是方程x2-(3-QUOTE)x+2-QUOTE=0的兩個根,解得x1=1,x2=2-QUOTE.因為0<α<QUOTE,則0<tanQUOTE<1,所以tanQUOTE≠1,即tanQUOTE=2-QUOTE,tanβ=1.又因為0<β<QUOTE,則β=QUOTE,代入α+2β=QUOTE,得α=QUOTE,所以銳角α=QUOTE,β=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=QUOTE,求QUOTE的值.【解析】因為sin(α+β)=QUOTE,所以sinαcosβ+cosαsinβ=QUOTE. ①因為sin(α-β)=QUOTE,所以sinαcosβ-cosαsinβ=QUOTE. ②由①,②解得sinαcosβ=QUOTE,cosαsinβ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=5.10.在△ABC中,求證:tanQUOTEtanQUOTE+tanQUOTEtanQUOTE+tanQUOTEtanQUOTE=1.【證明】因為A+B+C=180°,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=90°.所以QUOTE=90°-QUOTE.所以tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.所以tanQUOTE·tanQUOTE=1.所以QUOTE=1,所以tanQUOTEtanQUOTE+tanQUO