天津市河西區(qū)2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGEPAGE15天津市河西區(qū)2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）一、選擇題（共9小題）.1.假如，是兩個單位向量，則與肯定（）A.相等 B.平行 C.方向相同 D.長度相等【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，是兩個單位向量；可得到其模長相等，方向不定，即可推斷答案．【詳解】因為，是兩個單位向量；所以其模長相等，方向不定；故選：D．【點睛】本題主要考查平面對量的概念和關系，還考查了理解辨析的實力，屬于基礎題。2.若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】解：因為選C3.在“世界杯”足球賽閉幕后，某中學學生會對本校高一年級1000名學生收看競賽的狀況用隨機抽樣方式進行調查，樣本容量為50，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如表：觀看場數(shù)01234567觀看人數(shù)占調查人數(shù)的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%從表中可以得出正確的結論為（）A.表中m的數(shù)值為8B.估計觀看競賽不低于4場的學生約為360人C.估計觀看競賽不低于4場的學生約為720人D.估計觀看競賽場數(shù)眾數(shù)為2【答案】B【解析】【分析】由頻率分布表的性質，求出m＝12,否定A;先由頻率分布表求出觀看競賽不低于4場的學生所占比率為36%，由此估計觀看競賽不低于4場的學生約為360人；出現(xiàn)頻率最高的為3．即可作出選擇.【詳解】由頻率分布表的性質，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A錯誤；∵觀看競賽不低于4場的學生所占比率為：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估計觀看競賽不低于4場的學生約為：1000×36%＝360人，故B正確，C錯誤；出現(xiàn)頻率最高的為3．故D錯誤；故選：B．【點睛】本題考查頻率分布表以及利用頻率分布表估計人數(shù)與眾數(shù)，考查基本分析推斷實力，屬基礎題.4.甲、乙兩個元件構成一串聯(lián)電路，設=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，則表示電路故障的事務為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，可知串聯(lián)電路中，甲元件故障或者乙元件故障，都會造成電路故障，依據(jù)并事務的定義，即可得出答案.【詳解】解：由題意知，甲、乙兩個元件構成一串聯(lián)電路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，依據(jù)串聯(lián)電路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都會造成電路故障，所以電路故障的事務為：.故選：A.【點睛】本題考查對并事務的理解，屬于基礎題.5.若為虛數(shù)單位，且，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)乘法的運算法則化簡原式，利用復數(shù)相等的性質可得結果.【詳解】因為，即，因為為虛數(shù)單位，所以，故選C【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)相等的性質，屬于基礎題.6.小波一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支分布如圖2所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為A.30% B.10% C.3% D.不能確定【答案】C【解析】雞蛋開支占食品開支，小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為7.設A、B是兩個概率大于0的隨機事務，則下列論述正確的是（）A.事務A?B，則P（A）＜P（B）B.若A和B互斥，則A和B肯定相互獨立C.若A和B相互獨立，則A和B肯定不互斥D.P（A）+P（B）≤1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)事務的包含關系，對立事務與相互獨立事務的概率與性質進行推斷．【詳解】若事務B包含事務A，則P（A）≤P（B），故A錯誤；若事務A、B互斥，則P（AB）＝0，若事務A、B相互獨立，則P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B錯誤，C正確；若事務A，B相互獨立，且P（A），P（B），則P（A）+P（B）＞1，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題考查概率的性質，屬于基礎題.8.設在中,角所對的邊分別為,若,則的形態(tài)為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，結合三角形內角和定理與誘導公式可得，從而可得結果.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（肯定要留意探討鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9.已知向量，是兩個不共線的向量，且向量m3與（2﹣m）共線，則實數(shù)m的值為（）A.﹣1或3 B. C.﹣1或4 D.3或4【答案】A【解析】分析】由向量共線可得存在實數(shù)k使得m3k[（2﹣m）]，整理，利用平面對量基本定理列關于k，m的方程組，解出即可.【詳解】解：∵向量m3與（2﹣m）共線，∴存在實數(shù)k使得：m3k[（2﹣m）]，化為：（m﹣k）[﹣3﹣k（2﹣m）]，∵向量，是兩個不共線的向量，∴，解得m＝3或﹣1.故選：A.【點睛】本題考查向量共線定理的應用以及平面對量基本定理的應用，是基礎題.二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)___________.【答案】4–i【解析】分析：由題意結合復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：由復數(shù)的運算法則得：.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.11.某高校為了解在校本科生對參與某項社會實踐活動的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應從一年級本科生中抽取_______名學生．【答案】60【解析】【分析】采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查的.【詳解】∵該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，∴應從一年級本科生中抽取學生人數(shù)為：.故答案為60.12.將一顆質地勻稱的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為x，其次次出現(xiàn)的點數(shù)為y．則事務“x+y≤3”的概率為_____．【答案】【解析】【分析】基本領件總數(shù)n＝6×6＝36，利用列舉法求出事務“x+y≤3”包含的基本領件（x，y）有3個，由此能求出事務“x+y≤3”的概率．【詳解】將一顆質地勻稱的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為x，其次次出現(xiàn)的點數(shù)為y．基本領件總數(shù)n＝6×6＝36，事務“x+y≤3”包含的基本領件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3個，則事務“x+y≤3”的概率為p．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解實力，屬基礎題.13.在三角形ABC中，角A,B,C所對應的長分別為a，b，c，若a=2，B=，c=2，則b=【答案】：2【解析】【詳解】因為已知兩邊及其夾角，所以干脆用余弦定理得b=2.14.已知，是夾角為的兩個單位向量，＝－2，＝k＋，若·＝0，則實數(shù)k的值為________．【答案】【解析】解：因為為兩個夾角為的單位向量，，所以即為15.如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為上的動點，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標系，得出，，利用向量的數(shù)量積公式即可得出，結合，得出的最小值.【詳解】因為，所以以點為原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以，又因為，所以直線的斜率為，易得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設點坐標為，則，則，，所以又因為，所以當時，取得最小值為．【點睛】本題主要考查平面對量基本定理及坐標表示、平面對量的數(shù)量積以及直線與方程．三、解答題：本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟．16.隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．依據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）依據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率．【答案】（1）n1＝7，f1＝0.28；n2＝2，f2＝0.08；（2）見解析（3）0.5904【解析】【分析】（1）利用所給數(shù)據(jù)，可得樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依據(jù)上述頻率分布表，可得樣本頻率分布直方圖；（3）利用對立事務可求概率．【詳解】（1）（40，45]的頻數(shù)n1＝7，頻率f1＝0.28；（45，50]的頻數(shù)n2＝2，頻率f2＝0.08；（2）分組頻數(shù)頻率頻率/組距[25，30]30.120.024（30，35]50.200.04（35，40]80.320.064（40，45]70.280.056（45，50]20.080.016繪制頻率分布直方圖如圖所示：（3）設在該廠任取4人，沒有一人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]為事務A，則至少有一人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]為事務，已知該廠每人日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率為，0.4096，∴，∴在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率0.5904．【點睛】本題考查頻率分布表、頻率分布直方圖、求事務的概率，屬于中檔題.17.在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學獨立競猜，甲同學猜對了12個，乙同學猜對了8個，假設猜對每道燈謎都是等可能的，試求：（1）任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）設事務A表示“甲猜對”，事務B表示“乙猜對”，求出，，任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為：，由此能求出結果．（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為，由此能求出結果.【詳解】（1）設事務A表示“甲猜對”，事務B表示“乙猜對”，則P（A），P（B），∴任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為：P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）．（2）任選一道燈謎，甲、乙都沒有猜對的概率為：P（）＝P（）P（）＝（1）（1）【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事務概率乘法公式和互斥事務概率加法公式等基礎學問，考查運算求解實力，是基礎題.18.在△ABC中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b，c＝2，解這個三角形．【答案】a1，A＝15°，C＝135°或，A＝105°，C＝45°．【解析】【分析】依據(jù)正弦定理求得C，進而得到A，依據(jù)余弦定理求得a即可．【詳解】解：由正弦定理可得sinCsinB，因為b＜c，則C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；依據(jù)余弦定理可得cosB，即，解得a1或1，時，，時，．故該三角形a1，A＝15°，C＝135°或a1，A＝105°，C＝45°．【點睛】本題考查解三角形，確定選用公式的依次是解題關鍵．本題依據(jù)已知條件先用正弦定理求出，從而得角，然后由余弦定理求出．19.已知（2，1），（1，7），（5，1），設C是直線OP上的一點（其中O為坐標原點）（1）求使取到最小值時的；（2）依據(jù)（1）中求出的點C，求cos∠ACB．【答案】（1）；（2）cos∠ACB．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設點，從而將數(shù)量積的坐標表示求出來，可得一個關于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質，即可求得答案；（2）依據(jù)（1）中的點C，可以求得，的坐標，利用向量的數(shù)量積即可求得cos∠ACB的值．【詳解】（1）∵，則直線OP的方程為y，∵C是直線OP上的一點，則設點，∴，∴（1﹣x）（5﹣x）+（7）（1），∴當x＝4時，取到最小值，此時C（4，2），∴；（2）由（1）可知，C（4，2），∴，∴，故cos∠ACB．【點睛】本題考查向量數(shù)量積坐標表示、向量夾角坐標表示、二次函數(shù)最值，考查基本分析求角實力，屬基礎題.20.設z1是虛數(shù)，z2＝z1是實數(shù)，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；（2）若ω，求證ω為純虛數(shù)；（3）求z2﹣ω2的最小值．【答案】（1）|z1|＝1，取值范圍為[，]．（2）見解析（3）1【解析】分析】（1）設z1代數(shù)形式代入z2，依據(jù)z2是實數(shù)，求得|z1|，再依據(jù)﹣1≤z2≤1，求得z1的實部的取值范圍；（2）依據(jù)復數(shù)除法法則化簡ω，再依據(jù)純虛數(shù)概念推斷證明；（3）先化簡z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．【詳解】（1）設z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），則z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）