第9章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

第9章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.1控制系統(tǒng)中狀態(tài)的基本概念9.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.3根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式9.4根據(jù)系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式9.5根據(jù)系統(tǒng)的方框圖或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式9.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求取傳遞函數(shù)矩陣9.7系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征標(biāo)準(zhǔn)型

9.1控制系統(tǒng)中狀態(tài)的基本概念

1.系統(tǒng)的狀態(tài)如果給定了變量組的初始值x(t0)和t≥t0時的輸入函數(shù)u(t),就能完全確定系統(tǒng)在t≥t0時的行為,像這種能完全描述系統(tǒng)時域行為的一組最小變量組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。需要說明的是,系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)是由初始狀態(tài)x(t0)和t≥t0后的輸入u(t)唯一確定的,與t0時刻以前的狀態(tài)和輸入無關(guān)。

2.狀態(tài)變量

能夠完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小變量組中的每個變量xi(t)(i=1,2,…,n)稱為狀態(tài)變量。

3.狀態(tài)向量

系統(tǒng)有n個狀態(tài)變量x1(t),…,xn(t),用這n個狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的向量(通常以列向量表示)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。

4.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸所組成的n維正交空間,稱為狀態(tài)空間Xn。狀態(tài)空間的每一個點(diǎn)均代表系統(tǒng)的某一特定狀態(tài)。反過來,系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個點(diǎn)來表示。顯然,系統(tǒng)在不同時刻下的狀態(tài),可用狀態(tài)空間中的一條軌跡表示。狀態(tài)軌跡的形狀完全由系統(tǒng)在t0時刻的初態(tài)x(t0)和t≥t0時的輸入函數(shù),以及系統(tǒng)本身的動力學(xué)特性所決定。

例9-1在圖9-1所示的RLC電路系統(tǒng)中,若設(shè)電壓u(t)為輸入,電容上的電壓uC(t)為輸出,則由電路理論可知,它們滿足如下關(guān)系:

式中,i(t)為流過電容的電流,uC(t)為電容上的電壓。圖9-1RLC電路圖

考慮到i(t),uC(t)這兩個變量是獨(dú)立的,故可選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為x1(t)=i(t),x2(t)=uC(t)。狀態(tài)向量為x=(x1(t)x2(t))T。狀態(tài)空間則為以i(t),uC(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的二維空間。比如,系統(tǒng)在任一時刻(例如t1時刻)的狀態(tài)可以用圖9-2中的一個點(diǎn)

M(i(t1),uC(t1))來描述。圖9-2狀態(tài)空間

9.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

9.2.1狀態(tài)空間表達(dá)式的概念設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-3所示,設(shè)輸入為r維,輸出為m維。在經(jīng)典控制理論中,傳遞函數(shù)只是描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系。而在現(xiàn)代控制理論中,以狀態(tài)空間模型描述系統(tǒng)行為的方法和傳遞函數(shù)不同,它把輸入對輸出的影響分成兩部分來描述。圖9-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(1)輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)發(fā)生變化,其變化方程式稱為狀態(tài)方程,其一般形式為

(2)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)及輸入變化引起系統(tǒng)輸出的變化,其變化方程式稱為輸出方程,其一般形式為

狀態(tài)方程和輸出方程組合起來,構(gòu)成對系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述,稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,又稱動態(tài)方程,其一般形式為

在例9-1中,由于

假設(shè)x1(t)=i(t),x2(t)=uC(t),y(t)=x2(t)=uC(t),可列寫出矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式如下:

9.2.2狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式

對于具有r個輸入,m個輸出,n個狀態(tài)變量的系統(tǒng),其狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式用式(9-3)表示,即

若按線性、非線性、時變和定常劃分,系統(tǒng)可分為非線性時變系統(tǒng)、非線性定常系統(tǒng)、線性時變系統(tǒng)和線性定常系統(tǒng),對于不同類型的系統(tǒng),其狀態(tài)空間表達(dá)式的形式有所不同。

1.非線性時變系統(tǒng)

在狀態(tài)空間表達(dá)式(9-3)中,若向量方程中f和g中的各元

至少包含一個元為變量x(t)和u(t)的非線性函數(shù),并且向量函數(shù)f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)是包含t的函數(shù)時,則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為非線性時變系統(tǒng)。

2.非線性定常系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)中,向量函數(shù)f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)表達(dá)式中不顯含t,則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為非線性定常系統(tǒng)。

對于非線性定常系統(tǒng),狀態(tài)空間表達(dá)式有如下形式:

3.線性時變系統(tǒng)

在狀態(tài)空間表達(dá)式(9-3)中,若向量方程中f和g的各元,即

都是變量x(t)和u(t)的線性函數(shù),則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。且當(dāng)向量函數(shù)f(x(t),u(t),t)和g(x(t),u(t),t)是包含t的函數(shù)時,則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

假設(shè)多輸入、多輸出n階系統(tǒng)中,r個輸入量為u1(t),u2(t),…,ur(t),m個輸出量為y1(t),y2(t),…,ym(t),n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),…,xn(t)。此時系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

和

將上兩式用矩陣方程的形式表示,可得出線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

或者,狀態(tài)空間表達(dá)式也可以表示為

式中,A(t)為n×n系統(tǒng)矩陣,即

B(t)為n×r輸入矩陣,即

C(t)為m×n輸出矩陣,即

D(t)為m×r直聯(lián)矩陣,即

4.線性定常系統(tǒng)

線性定常系統(tǒng)中,狀態(tài)空間表達(dá)式中不顯含時間t,其系數(shù)矩陣A、B、C、D是不包含t的函數(shù),所以其狀態(tài)空間表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中

9.2.3狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與模擬結(jié)構(gòu)圖

1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

對于線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程可以用結(jié)構(gòu)圖表示,它形象地表明了系統(tǒng)中信號傳遞的關(guān)系,圖9-4為n階線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,圖9-5為線性時變系統(tǒng)的信號流圖。由圖9-4和圖9-5可清楚地看出,它們既表示了輸入變量對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關(guān)系,又反映了內(nèi)部狀態(tài)變量對輸出變量的影響,所以狀態(tài)空間表達(dá)式是對系統(tǒng)的一種完整描述。圖9-4線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖圖9-5線性時變系統(tǒng)的信號流圖

2.模擬結(jié)構(gòu)圖

在狀態(tài)空間分析中,通常采用模擬結(jié)構(gòu)圖來反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系,這種圖為系統(tǒng)提供了一種清晰的物理圖像,有助于加深對狀態(tài)空間概念的理解。

繪制模擬結(jié)構(gòu)圖的步驟是,首先在適當(dāng)?shù)奈恢蒙袭嫵龇e分器,每個積分器的輸出表示對應(yīng)的狀態(tài)變量,積分器的數(shù)目為狀態(tài)變量的個數(shù);然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程,畫出相應(yīng)的加法器和比例器;最后用箭頭表示出信號的傳遞關(guān)系。

對于狀態(tài)空間表達(dá)式

其中

系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖9-6所示。圖9-5線性時變系統(tǒng)的信號流圖

9.3根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式

實(shí)踐中,我們常常會遇到不同的控制系統(tǒng),不同的系統(tǒng)具有不同的物理機(jī)理,比如,彈簧質(zhì)量系統(tǒng)、液位系統(tǒng)等,根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理,就可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,其一般步驟如下:

(1)確定系統(tǒng)的輸入變量、輸出變量和狀態(tài)變量;

(2)根據(jù)變量應(yīng)遵循的有關(guān)物理(或化學(xué))定律,列出描述系統(tǒng)動態(tài)特性或運(yùn)動規(guī)律的微分方程;

(3)消去中間變量,得出狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變量、輸入變量的關(guān)系式和輸出變量與各狀態(tài)變量、輸入變量的關(guān)系式;

(4)將方程整理成狀態(tài)方程、輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。

例9-2如圖9-1所示RLC電路系統(tǒng),試以電壓u(t)為輸入變量,以電容上的電壓uC(t)為輸出變量,列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。

解分析電路可知:

1)選擇輸入變量為u(t),輸出變量為y(t)=uC(t),流過電容的電流i(t)和電容上的電壓uC(t)作為2個狀態(tài)變量,則有

(2)由電路理論可知,它們滿足如下關(guān)系:

由于

可列寫出矩陣形式的狀態(tài)方程如下:

9.4根據(jù)系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式

9.4.1微分方程中不含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)一般情況下,系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系由n階微分方程描述,其微分方程的形式為

例9-3設(shè)系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

9.4.2微分方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

如果單輸入單輸出系統(tǒng)的微分方程為

1.方法一

對于式(9-11)中的微分方程,引入中間變量z,令

并將原微分方程分解成如下兩個方程:

選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

由式(9-12)和式(9-14)得系統(tǒng)狀態(tài)方程為

綜合式(9-13)~式(9-15),得系統(tǒng)輸出方程為

寫成矩陣形式為

若b0=0,則有

即

寫成矩陣形式為

2.方法二

對于微分方程

可以選擇如下的一組狀態(tài)變量:

式中,β0,β1,β2,…,βn-1為n個待定系數(shù)。

由式(9-18)分別求得y及其各階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量之間的關(guān)系為

將式(9-21)代入式(9-22),整理得

選擇β0,β1,…,βn-1,使得上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都等于0,并令式(9-23)中u的系數(shù)為βn,即可解得

由式(9-18)、式(9-23)和式(9-24)得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

由式(9-18)得系統(tǒng)的輸出方程為

寫成向量矩陣的形式,即

即

狀態(tài)空間表達(dá)式為

例9-4對比可知,同一系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是不唯一的。

9.5根據(jù)系統(tǒng)的方框圖或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

9.5.1幾種常見環(huán)節(jié)的狀態(tài)變量圖當(dāng)線性系統(tǒng)由方框圖的形式給出時,可首先將其化為模擬結(jié)構(gòu)圖,即將其化為積分器、放大器和比較器等各環(huán)節(jié)組成的形式。一般來說,n階系統(tǒng)就有n個積分器,選擇每個積分器的輸出作為狀態(tài)變量,并標(biāo)在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖上,就可得到系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖。圖9-7系統(tǒng)方框圖圖9-8系統(tǒng)狀態(tài)變量圖

9.5.2由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間模型

1.由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間模型的步驟

由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間模型的步驟如下:

(1)由線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)繪制狀態(tài)變量圖。

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)常?？梢苑纸鉃橐恍┑湫鸵浑A環(huán)節(jié)的串聯(lián)或并聯(lián),由此可以根據(jù)典型環(huán)節(jié)的串并聯(lián)形式將其對應(yīng)的狀態(tài)變量圖連接起來,就能繪制出整個線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖,如串聯(lián)法和并聯(lián)法。

(2)根據(jù)整個系統(tǒng)狀態(tài)變量圖可以列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

2.由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間模型的方法

由傳遞函數(shù)導(dǎo)出狀態(tài)空間模型的方法有串聯(lián)法、并聯(lián)法和級聯(lián)法三種方法。

1)串聯(lián)法

串聯(lián)法的思想是將一個n階傳遞函數(shù)分解成若干個低階傳遞函數(shù)的乘積,然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn),最后利用串聯(lián)關(guān)系,寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。下面以例9-6來說明串聯(lián)法建立狀態(tài)空間模型的方法。圖9-9-系統(tǒng)串聯(lián)分解圖

相應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖9-10所示。圖9-10串聯(lián)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)變量圖

可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下:

2)并聯(lián)法

并聯(lián)法的思想是將一個復(fù)雜傳遞函數(shù)分解成若干個低階傳遞函數(shù)的和,然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn),最后利用并聯(lián)關(guān)系寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。下面以

例9-7來說明并聯(lián)法建立狀態(tài)空間模型的方法。圖9-11并聯(lián)狀態(tài)變量圖

可得

即

3)級聯(lián)法

設(shè)n階線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

將式(9-29)改為

根據(jù)梅遜公式,此傳遞函數(shù)可用圖9-12所示的信號流圖表示,與信號流圖相對應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖9-13所示。圖9-12信號流圖圖9-13狀態(tài)變量圖

在圖9-13中,令每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量,由狀態(tài)變量圖寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

寫成矩陣形式,則其狀態(tài)空間表達(dá)式為

9.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求取傳遞函數(shù)矩陣

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

9.7系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征標(biāo)準(zhǔn)型

9.7.1系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換

設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)x下的狀態(tài)空間表達(dá)式為

例9-9-系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

則有

9.7.2系統(tǒng)的特征值和特征向量

1.n×n維系統(tǒng)矩陣A的特征值

對于線性定常系統(tǒng)

則|λI-A|=det(λI-A)稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,而|λI-A|=0為系統(tǒng)的特征方程,該特征方程的根稱為系統(tǒng)的特征值。

這里A的特征值就是特征方程的根,即-1,-2和-3。

2.特征向量

設(shè)λi

是系統(tǒng)矩陣A的特征值,若存在一個n維非零向量pi,使Api=λipi(i=1,2,…,n)成立,則稱pi

為A的對應(yīng)于特征值λi的特征向量。

例9-10系統(tǒng)矩陣為

計(jì)算各特征值的特征向量。

系統(tǒng)相應(yīng)于λ1=-1的特征向量為

系統(tǒng)相應(yīng)于λ2=-2的特征向量為

3.系統(tǒng)特征值的不變性

由于變換矩陣p是非奇異的,因此,狀態(tài)空間表達(dá)式中的系統(tǒng)矩陣是相似矩陣,而相似矩陣具有相同的基本特性,如行列式相同、秩相同、跡相同、特征多項(xiàng)式

相同和特征值相同等。

為證明線性變換下特征值的不變性,需證明|λI-A|和|λI-P-1AP|的特征多項(xiàng)式相同。

由于

注意到行列式|P-1|和|P|的乘積等于乘積|P-1P|的行列式,從而

這就證明了在線性變換下矩陣A的特征值是不變的。

9.7.3狀態(tài)方程的對角線標(biāo)準(zhǔn)型

對于線性定常系統(tǒng),若n×n矩陣A的特征值λ1,λ2,…,λn互異,即矩陣A的獨(dú)立特征向量數(shù)等于n,則必存在非奇異變換矩陣P,經(jīng)過變換后,可將狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型,即

例9-11系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

試化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型。圖9-14系統(tǒng)信號流圖

特殊情況下,如果一個具有相異特征值的n×n維矩陣A由下式給出:

式中,λ1,λ2,…,λn是系統(tǒng)矩陣A的n個相異特征值?；疉為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣P稱為范德蒙德(Vandermonde)矩陣。

例9-12考慮下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

試變換為對角線標(biāo)準(zhǔn)型。

那么

經(jīng)線性變換后系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為

線性變換前后的系統(tǒng)信號流圖分別如圖9-15(a)、(b)所示。圖9-15系統(tǒng)信號流圖

9.7.4狀態(tài)方程的約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型