2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．如圖所示，△ABC∽△DEF，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．65° D．80°2．下列各坐標(biāo)表示的點(diǎn)中，在函數(shù)y＝x2+1的圖象上的是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，4） C．（1，2） D．（1，4）3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，AD＝3，BD＝2，則AE與EC的比是（）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：44．將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝﹣2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝﹣2（x﹣3）2 D．y＝﹣2（x+3）25．如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（）A．2 B． C． D．46．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函數(shù)y＝2x2﹣4x圖象上的兩點(diǎn)，那么y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定7．在物理課中同學(xué)們曾學(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一支點(diǎn)燃的蠟燭放在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間數(shù)一塊鉆有小孔章的紙板，由于光沿直線傳播，塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像（如圖1），這種現(xiàn)象就是小孔成像，在圖2中，如果蠟燭火焰圖1根B到孔O的距離為4cm，火焰根的像B'到孔O的距離為10cm，蠟燭火焰AB的高度為2cm，那么倒立的像A'B'的高度為（）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm8．如圖，要在二次函數(shù)y＝x（2﹣x）的圖象上找一點(diǎn)M（a，b），針對b的不同取值，所找點(diǎn)M的個(gè)數(shù)，有下列三種說法：①如果b＝﹣3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0；②如果b＝1，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1；③如果b＝3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．上述說法中正確的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．②③二、填空題9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．已知：，則＝．11．已知點(diǎn)A（1，y1）、點(diǎn)B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是．12．已知兩個(gè)相似三角形的面積之比是4：9，那么這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)Q（3，2），如果二次函數(shù)y＝ax2的圖象與線段PQ有交點(diǎn)，那么a的取值范圍為．14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表．則當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，y滿足的范圍是．x…﹣3﹣113…y…﹣4242…15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，在邊AB上確定點(diǎn)E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的長為．16．如圖，一座懸索橋的橋面OA與主懸鋼索MN之間用垂直鋼索連接，主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，小強(qiáng)騎自行車從橋的一端O沿直線勻速穿過橋面到達(dá)另一端A，當(dāng)他行駛18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，那么他通過整個(gè)橋面OA共需秒．三、解答題17．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．（1）求a和b的值；（2）在坐標(biāo)系xOy中畫出該二次函數(shù)的圖象．18．如圖，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延長線上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED，∠A＝∠D．求證：△ABC∽△DEC．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)D在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象上，且點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．20．如圖，BE是△ABC的角平分線，在BE的延長線上有一點(diǎn)D．滿足CD＝BC．求證：＝．21．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．22．定義：如圖①，如果點(diǎn)D在△ABC的邊AB上且滿足∠1＝∠2，那么稱點(diǎn)D為△ABC的“理想點(diǎn)”，如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，連接CD．求CD的長．23．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．24．如圖△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）求線段DE長的取值范圍．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AE．以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與線段AD交于點(diǎn)G．（1）求證：∠BAE＝∠CAF；（2）用等式表示線段BG與FG的數(shù)量關(guān)系，并證明．27．2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方3米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝﹣x2+bx+c運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)離水平線的高度為7米，求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員恰好落在小山坡的B處？

2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖所示，△ABC∽△DEF，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．65° D．80°【分析】直接利用相似三角形的對應(yīng)角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．下列各坐標(biāo)表示的點(diǎn)中，在函數(shù)y＝x2+1的圖象上的是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，4） C．（1，2） D．（1，4）【分析】將各選項(xiàng)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝x2+1檢驗(yàn)即可．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x2+1＝（﹣1）2+1＝2，∴點(diǎn)（﹣1，﹣2）和點(diǎn)（﹣1，4）不在該函數(shù)圖象上；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x2+1＝12+1＝2，∴點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)圖象上，點(diǎn)（1，4）不在該函數(shù)圖象上；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，都滿足該函數(shù)的解析式．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，AD＝3，BD＝2，則AE與EC的比是（）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4【分析】直接利用平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．4．將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝﹣2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝﹣2（x﹣3）2 D．y＝﹣2（x+3）2【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減”，進(jìn)而得出答案．【解答】解：將二次函數(shù)y＝﹣2x2的圖象向上平移3個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x2+3．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次圖象的圖象與幾何變換．熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．5．如圖，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，則BC＝（）A．2 B． C． D．4【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出BC2＝AC?CD，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC?CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．已知（﹣3，y1）（1，y2）是二次函數(shù)y＝2x2﹣4x圖象上的兩點(diǎn)，那么y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定【分析】將x＝﹣3和x＝1分別代入函數(shù)解析式求得y的值，然后比較大?。窘獯稹拷猓寒?dāng)x＝﹣3時(shí)，y1＝2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）＝30，當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝2×12﹣4×1＝﹣2，∴y1＞y2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是將x的值代入函數(shù)解析式求得y的值．7．在物理課中同學(xué)們曾學(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一支點(diǎn)燃的蠟燭放在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間數(shù)一塊鉆有小孔章的紙板，由于光沿直線傳播，塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像（如圖1），這種現(xiàn)象就是小孔成像，在圖2中，如果蠟燭火焰圖1根B到孔O的距離為4cm，火焰根的像B'到孔O的距離為10cm，蠟燭火焰AB的高度為2cm，那么倒立的像A'B'的高度為（）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm【分析】由AB∥A′B′知△ABO∽△A′B′O，據(jù)此可得，解之即可得出答案．【解答】解：如圖，∵AB∥A′B′，∴△ABO∽△A′B′O，則，即，解得A′B′＝5（cm），故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．8．如圖，要在二次函數(shù)y＝x（2﹣x）的圖象上找一點(diǎn)M（a，b），針對b的不同取值，所找點(diǎn)M的個(gè)數(shù)，有下列三種說法：①如果b＝﹣3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0；②如果b＝1，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1；③如果b＝3，那么點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．上述說法中正確的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．②③【分析】把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得到關(guān)于a的一元二次方程，根據(jù)根的判別式即可判斷．【解答】解：∵點(diǎn)M（a，b）在拋物線y＝x（2﹣x）上，點(diǎn)M（a，b），當(dāng)b＝﹣3時(shí)，﹣3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a﹣3＝0，∵Δ＝4﹣4×（﹣3）＞0，∴有兩個(gè)不相等的值，∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2，①錯(cuò)誤；當(dāng)b＝1時(shí)，1＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+1＝0，∵Δ＝4﹣4×1＝0，∴a有兩個(gè)相同的值，∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為1，②正確；當(dāng)b＝3時(shí)，3＝a（2﹣a），整理得a2﹣2a+3＝0，∵Δ＝4﹣4×3＜0，∴點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0，③錯(cuò)誤；故正確的②，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0）．【分析】找出點(diǎn)（3，0）關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：∵拋物線與x軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴點(diǎn)（3，0）關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．【點(diǎn)評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用拋物線的對稱性求得點(diǎn)（3，0）的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．已知：，則＝．【分析】根據(jù)得出y＝，再把它代入中，即可求出答案．【解答】解：∵，∴y＝，則＝＝；故填：．【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡單．11．已知點(diǎn)A（1，y1）、點(diǎn)B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是a＞0．【分析】利用A、B坐標(biāo)且y1＜y2和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：由已知拋物線為y＝ax2﹣2，∴對稱軸為x＝0，∵x1＜x2，要使y1＜y2，則在x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＞0，故a的取值范圍是：a＞0．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的增減性．由A、B坐標(biāo)和y1＜y2是解題關(guān)鍵．12．已知兩個(gè)相似三角形的面積之比是4：9，那么這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是2：3．【分析】因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，所以這兩個(gè)三角形的相似比是2：3．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9，∴它們對應(yīng)的相似比是2：3．故答案為2：3．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，2），點(diǎn)Q（3，2），如果二次函數(shù)y＝ax2的圖象與線段PQ有交點(diǎn)，那么a的取值范圍為≤a≤2．【分析】線段PQ在第一象限，當(dāng)開口向下時(shí)顯然無交點(diǎn)；當(dāng)開口向上時(shí)，開口越大|a|越小，當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2）求出a的最小值，當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）求出a的最大值．【解答】解：由題意可知：線段PQ在第一象限，當(dāng)a＜0時(shí)開口向下，顯然y＝ax2的圖象與線段PQ沒有交點(diǎn)，當(dāng)開口向上時(shí)，由拋物線性質(zhì)開口越大a越小”可知：當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)Q（3，2）時(shí)，a有最小值，此時(shí)2＝9a，解出a＝；當(dāng)y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）時(shí)，a有最大值，此時(shí)2＝a，解出a＝2．故a的取值范圍為：≤a≤2．故答案為：≤a≤2．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表．則當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，y滿足的范圍是﹣4＜y≤4．x…﹣3﹣113…y…﹣4242…【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可根據(jù)x＝﹣3及x＝3時(shí)y的值，結(jié)合二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可找出﹣3＜x＜3時(shí)y的取值范圍．【解答】解：從表格看出，函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，4），函數(shù)有最大值4，∴拋物線開口向下，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，取最小值﹣4，∴當(dāng)﹣3＜x＜3時(shí)，﹣4＜y≤4，故答案為，﹣4＜y≤4．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)看懂表格信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題．15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，在邊AB上確定點(diǎn)E的位置．使得△ADE∽△ABC，那么AE的長為．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AC＝4，D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝AC＝2，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，則AE：AC＝AD：AB，即AE：4＝2：5，∴AE＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，一座懸索橋的橋面OA與主懸鋼索MN之間用垂直鋼索連接，主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，小強(qiáng)騎自行車從橋的一端O沿直線勻速穿過橋面到達(dá)另一端A，當(dāng)他行駛18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，那么他通過整個(gè)橋面OA共需46秒．【分析】由題意及拋物線的對稱性，可求得拋物線的對稱軸，從而可得小強(qiáng)通過整個(gè)橋面OA的一半所需要的時(shí)間，再乘以2即可得出答案．【解答】解：∵主懸鋼索是拋物線形狀，兩端到橋面的距離OM與AN相等，且小強(qiáng)騎行18秒時(shí)和28秒時(shí)所在地方的主懸鋼索的高度相同，∴MN的對稱軸為直線x＝＝23，∴他通過整個(gè)橋面OA共需23×2＝46（秒）．故答案為：46．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，明確題意、熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．（1）求a和b的值；（2）在坐標(biāo)系xOy中畫出該二次函數(shù)的圖象．【分析】（1）把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出答案；（2）把解析式配成頂點(diǎn)式，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4），（﹣1，0），∴，解得：，∴a＝1，b＝﹣2；（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象經(jīng)過A（1，﹣4），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．∴圖象經(jīng)過（0，3），（2，﹣3），（3，0）兩點(diǎn)．如圖，【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延長線上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，連接ED，∠A＝∠D．求證：△ABC∽△DEC．【分析】利用兩角法即可判斷出△ABC∽△DEC．【解答】證明：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，注意相似三角形的判定可以是：兩角法，兩邊及其夾角法，三邊法．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)D在二次函數(shù)y＝a（x﹣3）2﹣4的圖象上，且點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值，然后即可得到二次函數(shù)解析式；令y＝0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到A、B的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)D和點(diǎn)C到x軸的距離相等，可得點(diǎn)D和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝（x﹣3）2﹣4即可求解．【解答】解：（1）把點(diǎn)C（0，5）代入y＝a（x﹣3）2﹣4得，9a﹣4＝5，解得a＝1，所以，二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，解得x1＝1，x2＝5，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（1，0），B（5，0）；（2）∵點(diǎn)D和點(diǎn)C（0，5）到x軸的距離相等，∴點(diǎn)D和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為5或﹣5當(dāng)y＝（x﹣3）2﹣4＝5時(shí)，解得x1＝0（舍去），x2＝6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）；當(dāng)y＝（x﹣3）2﹣4＝﹣5時(shí)，原方程無解．綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，令二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝0，解關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．如圖，BE是△ABC的角平分線，在BE的延長線上有一點(diǎn)D．滿足CD＝BC．求證：＝．【分析】由BE是△ABC的角平分線，得∠ABE＝∠CBE，由CD＝BC，得∠CBE＝∠D，則∠ABE＝∠D，而∠AEB＝∠CED，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△ABE∽△CDE，得＝，則＝．【解答】證明：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵CD＝BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠ABE＝∠D，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠ABE＝∠D并且證明△ABE∽△CDE是解題的關(guān)鍵．21．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+5（a≠0）．（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，如果P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式求對稱軸，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，即可得到與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將x＝n或n+1分別代入二次函數(shù)解析式，解不等式即可得出n的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+5，∴對稱軸為x＝﹣＝1，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；故答案為：x＝1，（0，5）．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，y＝x2﹣2x+5，∵P（n，y1），Q（n+1，y2）是該二次函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，n2﹣2n+5＞（n+1）2﹣2（n+1）+5，化簡整理得，4n+8＜0，∴n＜，∴實(shí)數(shù)n的取值范圍是n＜．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練的掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．定義：如圖①，如果點(diǎn)D在△ABC的邊AB上且滿足∠1＝∠2，那么稱點(diǎn)D為△ABC的“理想點(diǎn)”，如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，如果點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，連接CD．求CD的長．【分析】由D是△ABC的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)D在AB上時(shí)，CD是AB邊上的高，根據(jù)面積法可求CD長度；當(dāng)D在AC上時(shí)，△BDC∽△ABC，對應(yīng)邊成比例即可求CD長度；D不可能在BC上．【解答】解：①D在AB上時(shí)，如圖：∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，當(dāng)∠BCD＝∠A時(shí)，同理可證∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝，②∵AC＝4，BC＝3，∴AC＞BC有∠B＞∠A，∴“理想點(diǎn)”D不可能在BC邊上，③D在AC邊上時(shí)，如圖：∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，∴∠DBC＝∠A，又∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，∴CD＝，綜上所述，點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，CD的長為或．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．23．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）令x＝0，求得函數(shù)值即可求得；（3）結(jié)合圖象，根據(jù)a的符號(hào)與圖象形狀的關(guān)系列不等式求解．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x﹣1）2+1，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；（2）令x＝0，則y＝ax2﹣2ax+a+1＝a+1，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)a+1；（3）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖1，當(dāng)﹣2≤a+1＜﹣1時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，∴﹣3≤a＜﹣2時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，如圖2，當(dāng)3＜a+1≤4時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)，∴2＜a≤3時(shí)，封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)；綜上，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a+1（a≠0）的圖象與直線y＝a+1圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）只有2個(gè)整點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是﹣3≤a＜﹣2或2＜a≤3．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．24．如圖△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）求線段DE長的取值范圍．【分析】（1）由AB＝6，AC＝4，得＝，則＝，變形為＝，而∠A是△AED和△ABC的公共角，即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明△AED∽△ABC；（2）先由＝，確定AD＞0，AE＞0，則DE＞0，再由0＜AE≤4，確定當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE＝AC＝4，此時(shí)AE最大，DE也最大，即可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出此時(shí)DE的值為，即DE的最大值為，于是得到線段DE長的取值范圍是0＜DE≤．【解答】（1）證明：∵AB＝6，AC＝4，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．（2）點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且＝，∴AD＞0，AE＞0，∴DE＞0，∵0＜AE≤4，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE＝AC＝4，此時(shí)AE最大，DE也最大，∵△AED∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC＝×5＝，∴線段DE長的取值范圍是0＜DE≤．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、線段長度的取值范圍的求解等知識(shí)與方法，根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)范圍確定線段DE最大時(shí)點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．【分析】（1）令y＝0，解一元一次方程即可即可得到A、B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)P（1，0），Q（3，﹣2a﹣1），如果線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）令y＝0，則ax2﹣4ax＝0，即ax（x﹣4）＝0，解得x＝0或x＝4，∴A（0，0），B（4，0）；（3）二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝﹣＝2，圖象過點(diǎn)A（0，0），B（4，0）；當(dāng)a＜0時(shí)，若線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則9a﹣12a≤﹣2a﹣1，解得a≥1（不合題意，舍去）；當(dāng)a＞0時(shí)，若線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a≠0）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則9a﹣12a≥﹣2a﹣1，解得0＜a≤1，綜上所述，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，線段