新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講與練第16講 等比數(shù)列及前n項和（講）（原卷版）

第03講等比數(shù)列及其n項和本講為高考命題熱點，分值12-17分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，選擇填空題?？嫉炔畹缺葦?shù)列的性質(zhì)，大題題型多變，但對于文科來講?？疾旎玖康挠嬎闩c數(shù)列求和，對于理科考點相對難度較大，比如新定義，奇偶列等，考察邏輯推理能力與運算求解能力.考點一等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.那么eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即G2＝ab.考點二等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).考點三等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.考點四常用結(jié)論1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.高頻考點一等比數(shù)列基本量的運算【例1】(2019·全國Ⅲ卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝()A.16 B.8C.4 D.2【方法技巧】1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.2.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).【變式訓(xùn)練】1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通項公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.高頻考點二等比數(shù)列的判定與證明【例3】Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.【方法技巧】1.證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.【變式訓(xùn)練】(2021·石家莊質(zhì)量評估)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).(1)證明：數(shù)列{a2n－1}和數(shù)列{a2n}都是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}的前2n項和為T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項.高頻考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例4】(2021·長郡中學(xué)檢測)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為()A.25 B.20C.15 D.10【方法技巧】1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.【變式訓(xùn)練】1.(2022·西安調(diào)研)已知數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a1a7＝4，