八年級數(shù)學(xué)上冊期中考試重難點(diǎn)題型（舉一反三）（解析版）

專題06八年級數(shù)學(xué)上冊期中考試重難點(diǎn)題型【舉一反三】

【人教版】

《皂商芍點(diǎn)11

考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系

考點(diǎn)2角平分線與多邊形內(nèi)角和

考點(diǎn)3多邊形內(nèi)角和與外角和

考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷

期中考試重難點(diǎn)題型

考點(diǎn)5等腰三角形中的分類討論思想

考點(diǎn)6三種雙角平分段應(yīng)用

考慮7線段垂直平分級的應(yīng)用

考慮8利用軸對稱變換求最值

《如帆點(diǎn)淮I』

【知識點(diǎn)1］三角形

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.

鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形上，

銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心

4.中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.（三條中線的交點(diǎn)叫重心）

5.角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形

的角平分線.（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等，三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

（例如自行車的三角形車架利用了三角形具有穩(wěn)定性）

7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質(zhì)：

⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

⑵三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

⑶多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）?180。⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360。.

⑸多邊形對角線的條數(shù)：①從“邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引（"-3）條對角線，把多邊形分成（〃-2）個三

角形.

②〃邊形共有“（〃一3）條對角線.

2

【知識點(diǎn)2］全等三角形

1.基本定義：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

⑶對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn).

⑷對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.

⑸對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.

2.基本性質(zhì)：

⑴三角形的穩(wěn)定性：三邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小就全確定，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴邊邊邊（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

⑵邊角邊（5AS）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

⑶角邊角（ASA）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

⑷角角邊（A4S）：兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

⑸斜邊、直角邊（〃L）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

4.角平分線：

⑴畫法：⑵性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等）

【知識點(diǎn)3】軸對稱

1.基本概念：

⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱

圖形.

⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個

圖形關(guān)于這條直線對稱.

⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰

所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質(zhì)：

⑴對稱的性質(zhì)：

①不管是軸對稱圖形還是兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱軸都是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平

分線.

②對稱的圖形都全等.

⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：

①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.

②與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

⑷等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.

③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（1條）.

⑸等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個內(nèi)角都相等，都等于60。

③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.

④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（3條）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）.

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線的垂線：

⑵做已知線段的垂直平分線：

⑶作對稱軸：連接兩個對應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.

⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形：

⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個已知點(diǎn)的距離之和最短.

tAMKl

【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】

【例11（2019秋?洛龍區(qū)校級期中）已知△ABC的三邊長為a",c,化簡|a+〃-c|-也-a-c|的結(jié)果是（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷出a+b-c與的符號，再把要求的式子進(jìn)行化簡，即可得出

答案.

【答案】解：:△ABC的三邊長分別是a、b、c,

a+b>c^b-

?\a+h-c>0,h-a-c<0,

/.\a+b-c\-\b-a-c\=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2（b-c）；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識點(diǎn)是三角形的三邊關(guān)系、絕對值、整式的加減，關(guān)鍵

是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b-c^,b-a-c的符號.

【變式1-1】（2019秋?灘溪縣期中）設(shè)三角形三邊之長分別為3,8,1-2”，則。的取值范圍為（）

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.-2<a<5D.a<-5或a>2

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊列出不等式組求出其解即

可.

【答案】解：由題意，得

8-3<1-2a<8+3,

即5<1-2a<11,

解得：-5<a<-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形三邊關(guān)系建立不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，不等式組的解法的運(yùn)用，解

答時根據(jù)三角形的三邊關(guān)系建立不等式組是關(guān)鍵.

【變式1-2］（2019秋?寧都縣期中）如圖,在△4BC中，AB=5,AC=3,則BC邊上的中線AO的取值范

B.0<AD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【分析】先延長AD到E,且AD=DE,并連接BE,由于AD=DE,利用SAS易證△

ADg/\EDB,從而可得4c=B￡,在△A8E中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得2VAEV8,從而易求

1<AD<4.

【答案】解：延長到E,使連接BE,

'：AD=DE,NADC=NBDE,BD=DC,

/.△ADC^AEDB(SAS)

：.BE=AC=3,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

：.\<AD<4,

，/的取值范圍是

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【變式1-3]（2019?防城港期中）在等腰△ABC中，AB=AC,其周長為20°",則AB邊的取值范圍是（）

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<lOc/n

C.4cm<AB<ScmD.4cm<AB<10cm

【分析】設(shè)AB=AC=x，則8c=20-2x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

【答案】解：；在等腰△A8C中，AB^AC,其周長為20CTW,

.,.設(shè)48=AC=XC，〃，貝IJBC=（20-2X）cm,

.r2x>20-2x

20-2x>0'

解得5cm<x<lOcvn.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、解-元一次不等式組，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2角平分線與多邊形內(nèi)角和】

【例2】（2019春?沛縣期中）如圖，在五邊形ABCDE中，ZA+ZB+ZE^a,DP,CP分別平分NEDC,

NBCD,則/P的度數(shù)是（)

A

A.90°+LB.-90°c.LaD.5400_XQ

2222

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由N4+N8+/E=a,可求N8CD+NC0E的度數(shù)，再根據(jù)角

平分線的定義可得/尸。C與NPCC的角度和，進(jìn)一步求得NP的度數(shù).

【答案】解：,??五邊形的內(nèi)角和等于540°,NA+/8+/E=a,

ZBCD+ZCDE=540°-a,

■:/BCD、NCDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O,

：.ZPDC+ZPCD=LCZBCD+ZCDE)=270。-豈，

22

.■.ZP=180°-(270°-L)=耳-90°,

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵.注意整體思

想的運(yùn)用.

【變式2-1](2019春?西湖區(qū)校級期中)如圖，在四邊形4BCD中，ND4B的角平分線與NABC的外角平

A.10°B.15°C.30°D.40°

【分析】利用四邊形內(nèi)角和是360°可以求得ND4B+NABC=150°.然后由角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角

的定義求得NB4B+NABP的度數(shù)，所以根據(jù)aABP的內(nèi)角和定理求得NP的度數(shù)即可.

【答案】解：如圖，VZD+ZC=2100,/D48+/4BC+NC+/D=360°,

：.ZDAB+ZABC=\50°.

又,：/DAB的角平分線與/ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P,

：.ZPAB+ZABP^LyDAB+ZABC+L(180°-ZABC)=90°+J-(ZDAB+ZABC)=165°,

222

ZP=I8O0-{ZPAB+ZABP}=15

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角與外角.熟知“四邊形的內(nèi)角和是360?！笔墙?/p>

題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2019秋?香洲區(qū)期中)如圖，在四邊形ABCC中，ZA+ZD=a,NA8C的平分線與/BCD

的平分線交于點(diǎn)P,則/P=()

C.90°+LD.360°-a

222

【分析】先求出/48C+/8CD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求解/P的度

數(shù).

【答案】解：：四邊形A8CQ中，NA8C+NBCD=360°-(ZA+ZD)=360°-a,

"：PB和PC分別為N4BC、/BCD的平分線，

:.NPBC+NPCB=L(NABC+NBCD)=工(360°-a)=180°-L,

222

則/P=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(1800-L)=L.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是先求出/A8C+N8C。的度

數(shù).

【變式2-3](2018秋?遵義期中)如圖，在四邊形ABCD中，/A8C與NBCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在

AO邊上，則NBEC=()

B.1(ZA+ZD)+45°

2

C.180°-(NA+ND)D.L/A+LN。

22

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可.

【答案】解：???四邊形的內(nèi)角和=360°,

/.ZABC+ZBCD=360°-(ZA+ZD),

,?ZABC與ZBCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上，

：.2NEBC=NABC,2NECB=NBCD,

???/EBC+NECB=/(NABC+/BCD)卷X[360°-(ZA+ZD)}

/.ZBEC=180°-(NEBC+NECB)

=180。-lx[360°-(ZA+ZD)]

=|(ZA+ZD)-

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義及四邊形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角平分

線的定義解答.

【考點(diǎn)3多邊形內(nèi)角和與外角和】

【例3】(2019秋?岳池縣期中)一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于140。，那么從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出

發(fā)的對角線的條數(shù)是()

A.6條B.7條C.8條D.9條

【分析】先求出多邊形的邊數(shù)，再求從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)即可.

【答案】解：???多邊形的每一個內(nèi)角都等于140°,

每個外角是180°-140°=40°,

這個多邊形的邊數(shù)是360°+40°=9,

.??從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是6條.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和及對角線的知識點(diǎn)，找出它們之間的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵.

【變式3-1](2019春?內(nèi)江期中)馬小虎在計(jì)算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算了2個內(nèi)角，其和

等于830。，則該多邊形的邊數(shù)是()

A.7B.8C.7或8D.無法確定

【分析】〃邊形的內(nèi)角和是(〃-2)?180°,即為180°的(〃-2)倍，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小

于180度，因而多邊形中，除去2個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度的商加上2,以后所得的數(shù)值，比這

個數(shù)值大1或2的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù).

【答案】解：設(shè)少加的2個內(nèi)角和為x度，邊數(shù)為

則（n-2）X180=830+%,

即（”-2）X180=4X180+110+^,

因此x=70,〃=7或x=250,n—8.

故該多邊形的邊數(shù)是7或8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確理解多邊形內(nèi)角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定

理是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2019春?諸城市期中）過多邊形的一個頂點(diǎn)可以作7條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角

和的（）

A.4倍B.5倍C.6倍D.3倍

【分析】從多邊形一個頂點(diǎn)可作7條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)是10,〃邊形的內(nèi)角和可以表示成（〃

-2）-180°,代入公式就可以求出內(nèi)角和，多邊形的外角和為360°,相除即可.

【答案】解：???過多邊形的一個頂點(diǎn)共有7條對角線，

故該多邊形邊數(shù)為10,

（10-2）?180°=1440°,

.?.這個多邊形的內(nèi)角和為1440°,

又???多邊形的外角和為360°,

A1440-4-360=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線、內(nèi)角和公式.外角和公式，是需要熟記的內(nèi)容，比較簡單.

【變式3-3】（2019?涼山州期中）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°,那

么原多邊形的邊數(shù)為（）

A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9

【分析】首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù).

【答案】解：設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是〃，則（〃-2）780°=1080°,

解得：“=8.

則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1,可能減少1，

或不變.

【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】

【例4】(2018秋?利津縣期中)如圖，AB//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的對數(shù)是

()

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【答案】解：BC//AD,

：.NBAC=ZACD,/D4C=ZACB.

在△A8C和△CD4中

rZBAC=ZACD

-AC=CA>

LZDAC=ZACB

.,.△ABC^ACDA(ASA),

：.AD=BC,AB=CD.

在△ABE和△CZ)F中

'AB=CD

<NBAE=/DCF，

AE=CF

...△AB哈△CDF(SAS),

:.BE=DF.

'：AE=CF,

：.AE+EF^CE+EF,

：.AF=CE,

在△?!￡＞尸和△C8E中

'BE=DF

<AD=BC，

,AF=CE

：./\ADF^/\CBE（SSS）,

即3對全等三角形，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進(jìn)行推理是解此

題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,4AS',SSS,②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對

應(yīng)角相等.

【變式4-1]（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知，ZCAB^ZDAE,AC=AD,增加下列條件：①

=AE；②BC=ED；③NC=N。；④NB=NE；⑤N1=N2.其中能使△4BCZZV1E。的條件有（）

【分析】根據(jù)已有的條件/AC^AD,利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可.

【答案】解："：ZCAB=ZDAE,AC=AD,

①加上條件可利用SAS定理證明△ABC絲△A￡D；

②加上BC=ED不能證明△ABCgZXAEZ）；

③加上NC=NO可利用ASA證明△A8C咨ZvlE力；

④加上N8=NE可利用/L4S證明△ABCg△AEZ）；

⑤加上/1=/2不能證明△力8c〈zME。；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SA5、ASA、

AAS.HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式4-2]（2018秋?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一4ABC的是（)

A.AB=6,BC=5,NA=50°B.48=5,BC=6,AC=13

C.NA=50°,ZB=80°，AB=8D.乙4=40°,ZB=50°，ZC=90°

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可知只有C能畫出唯一三角形.

【答案】解：4、已知A3、BC和2c的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

8、'：AB+BC=5+6=11<AC,

：.不能畫出△ABC；

故本選項(xiàng)錯誤；

C、己知兩角和夾邊，能畫出唯一△A8C,故本選項(xiàng)正確；

D、根據(jù)N4=40°,ZB=50°,ZC=90°不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有S55、SAS.ASA、AAS,熟

練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2018秋?東臺市期中）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF-,

@AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,ZC=ZF,BC=EF；

@AB=DE,AC=O凡NB=NE.

其中，能使△ABCgZiOE尸的條件共有（）

【分析】根據(jù)全等三角形判定的條件，可得答案.

【答案】解：@AB=DE,BC=EF,AC=DF：

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,NC=NF,BC=EF；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5等腰三角形中的分類討論思想】

【例5】（2018春?鄴城縣期中）等腰三角形的周長為15cm,其中一邊長為3cm,則該等腰三角形的腰長為

()

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.Sent

【分析】此題要分情況考慮：3c,“是底或3a”是腰.根據(jù)周長求得另一邊，再進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊

關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷是否能夠組成三角形.

【答案】解：當(dāng)3c”?是底時，則腰長是（15-3）+2=6（cm）,此時能夠組成三角形；

當(dāng)3CTW是腰時，則底是15-3X2=9（cm）,此時3+3<9,不能組成三角形，應(yīng)舍去.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到

兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的

關(guān)鍵.

【變式5-1】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為

40°,則此等腰三角形的頂角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來

討論.

【答案】解：當(dāng)為銳角時，如圖：

VZADE=40°,ZA￡D=90°,

AZ4=50°,

當(dāng)為鈍角時，如圖:

D

ZAD￡=40°,ZDAE=50a,

...頂角N3AC=180°-50°=130°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-2】（2019秋?綏棱縣期中）已知一個等腰三角形底邊的長為5cm,一腰上的中線把其周長分成的

兩部分的差為3cm,則腰長為（）

A.2cmB.8cmC.2cn?或8c，”D.\Qcm

【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中線的定義可得4D=CC,然后求出兩三角形的周長的差等于腰長與

底邊的差，然后分情況討論求解即可.

【答案】解：如圖，是△ABC的中線，

：.AD=CD,

...兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，

'/BC=5cm,

.,.AB-5—3或5-AB—3,

解得AB=8或48=2,

若A8=8,則三角形的三邊分別為8?！?、8cvw、5cm,

能組成三角形，

若AB=2,則三角形的三邊分別為2的、2cm.5cm,

；2+2=4<5,

不能組成三角形，

綜上所述，三角形的腰長為8cm.

故選：B.

A

D

------------

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系

判斷是否能組成三角形.

【變式5-3］（2018秋?沙依巴克區(qū)校級期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半,

則其頂角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而不難

求解.

【答案】解：①如圖，,：ZADB=90°,AD=1AB,

2

.?./8=30°,

'：AC^BC,

：.ZCAB=301,,

180°-30°-30°=120°.

②如圖，；NADB=90。,AD=^1AC,

ZACD=30Q,

■：AC=BC,

...NCA8=/B=I5°,ZACB=180°-30°=150°.

③如圖，VZADB=90°,AD=^BC,

.,.ZB=30°,

'：AB=BC,

...NC48=/C=75°,

.\ZB=30°.

故選：D.

B

【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【考點(diǎn)6三種雙角平分線應(yīng)用】

【例6】（2018春?翠屏區(qū)校級期中）已知△ABC,下列說法正確的是（只填序號）.

①如圖（1）,若點(diǎn)P是NABC和/ACB的角平分線的交點(diǎn)，則NP=90°+L/A；

②如圖（2），若點(diǎn)P是外角NC8尸和/BCE的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90°-工/4；

2

【分析】①正確.三角形的內(nèi)角和為180°,NA3C+/ACB=180°-/A,/尸=180°-(ZABC+

ZACB）,從而得證；

②正確.根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得（NA+/A8C）、（NA+N4CB）；

22

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NP=90°-LAA.

2

③正確.根據(jù)角平分線的定義可得NPBC=LNABC,ZPCE=1.ZACE,由外角的性質(zhì)可得NACE=N

22

ABC+ZA,NPCE=NPBC+NP,等量代換求出結(jié)果;

【答案】解：①正確.點(diǎn)是/A8C和NACB的角平分線的交點(diǎn)，

：.ZPBC+ZPCB=L(ZABC+ZACB')=J_(180°-/A)=90°-1.ZA,

222

.,.ZP=180°-1-(ZABC+ZACB)=180°-90°+L/A=90°+L/A；

222

②正確.???8P、CP為△A8C兩外角的平分線，

：.ZBCP=LZBCE^1-(ZA+ZABC),NP8C=L/CBF=L(/A+NACB),

2222

由三角形內(nèi)角和定理得：

ZfiPC=1800-NBCP-NPBC

=180°』NA+(ZA+ZABC+ZACB)]

2

=180°-(ZA+1800)

2

=90°-^ZA.

2

③正確.「BP是△ABC中NA8C的平分線，C尸是NAC8的外角的平分線，

/.ZPBC^LZABC,ZPCE^LZACE,

22

NACE是△48C的外角，ZPCE是ABPC的外角，

ZACE=ZABC+ZA,/PCE=NPBC+NP,

:.LZACE=^ZABC+LZA,

222

/.A-ZABC+A-ZA=ZPBC+ZP,

22

ZP=AZA；

2

故答案為①②③.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系.

(I)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；

(2)三角形的內(nèi)角和是180度.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件.

【變式6-1](2019秋?新洲區(qū)期中)如圖，△A8C中，NBAC=70°,/ABC的平分線與NACB的外角平

分線交于點(diǎn)O,則NBOC=度.

o

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得N8AC+NA8C=/ACE,ZBOC+

NOBC=NOCE,再根據(jù)角平分線的定義可得/08C=L/48C,ZOCE^LZACE,然后整理可得

22

【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)，ZBAC+ZABC=ZACE,ZBOC+ZOBC=ZOCE,

的平分線與/ACS的外角平分線交于點(diǎn)0,

：.ZOBC^l-ZABC,ZOCE^l-ZACE,

22

：.l-(ZBAC+ZABC)=NBOC+1-NA8C,

22

：.ZBOC=1-ZA,

2

?；NBAC=70°,

：.ZBOC=35°,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，

要注意整體思想的利用.

【變式6-2］（2019秋?高密市期中）如圖，N4CZ）是△4BC的外角，/4BC的平分線與/ACC的平分線

交于點(diǎn)Ai,/A山。的平分線與/AC。的平分線交于點(diǎn)A2,若NA=60°,則NA2的度數(shù)為.

BD

【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得/ACO=NA+NABC,ZAiCD=Z

A\+ZA\BC,根據(jù)角平分線的定義可得/AI8C=L/A8C,ZA}CD=LZACD,然后整理得到/4=工

222

乙4,同理可得NA2=L/AI.

2

【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)得，ZACD=ZA+ZABC,ZA\CD=ZA\+ZAiBC,

?/AABC的平分線與/ACO的平分線交于點(diǎn)A\,

：.ZA\BC=^ZABC,ZAiCD^l-ZACD,

22

：.ZAi+ZAiBC=l-(ZA+ZABC)=LzA+ZA\BC,

22

Z^4i=—ZA,

2

同理可得乙42=工乙41=工X_LX60。=15。，

222

故答案為15°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，

角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖然后求出后一個角是前一個角的上是解題的關(guān)鍵.

2

【變式6-3](2018秋?江漢區(qū)校級期中)如圖，AMC中，NC=104°,8/平分NABC與△ABC的外角

平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F,則ZF=.

【分析】根據(jù)角平分線的定義的定義可知：ZABF^LZABC,ZEAB^LZDAB,根據(jù)三角形外角的性

22

質(zhì)可知：/EAB-NABF=52°,進(jìn)而得到/尸的度數(shù).

【答案】解：：8尸平分/ABC,AE平分/D4B,

ZABF=^ZABC,NEAB=LZDAB,

22

'：ZDAB-ZABC=ZC=104°,

ZF=NEAB-AABF=L(ZDAB-ZABC)=52°,

2

故答案為：52°.

c

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于與它不相

鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7線段垂直平分線的應(yīng)用】

【例7】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB=AC,N8AC為鈍角，BC=6,AB、AC的垂直

平分線分別交8c于點(diǎn)￡＞、E,連接AD、AE,那么AAOE的周長為.

【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AE=EC,所以AAOE周長=8C.

【答案】解：???A8、AC的垂直平分線分別交8c于。、E,

：.AD=BD,AE=CE,

LAADE=AD+DE+AE=BD+DE+CE—BC—6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AE=EC.

【變式7-1］（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，OM、EN分別垂直平分AC和BC交A8于M、N,

ZACB=118°,則的度數(shù)為.

【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A+/&根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得/4CM+/8CN的度數(shù)，然后求解.

【答案】解：VZACB=118°,

AZA+ZB=62°.

'：AM=CM,BN=CN,

：.ZA=ZACM,ZB=ZBCN,

:.NACM+NBCN=62°.

：.4MCN=NACB-（/ACM+NBCN）=118°-62°=56°.

故答案為：56°.

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，滲透/整體求值的思想方法，

難度不大.

【變式7-2］（2019秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在△D4E中，Z￡>AE=30°,線段AE,AO的中垂線分別交直線

OE于B和C兩點(diǎn)，則ZBAC的大小是.

【分析】由已知條件，利用了中垂線的性質(zhì)得到線段相等及角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解.

【答案】解：如圖，???8是4E的中垂線上的點(diǎn)，C是A。的中垂線上的點(diǎn)，

：.AB=BE,AC=CD,

ZAED=NBAE=ZBAD+ZDAE,ZCDA=ZCAD^ZDAE+ZCAE,

'：^DAE+ZADE+ZAED=180°,

ZBAD+ZDAE+ZDAE+ZCAE+ZDAE=3ZDAE+ZBAD+ZEAC=90°+ZBAD+ZEAC=180°,

：.ZBAD+ZEAC^90Q,

AZBAD+ZEAC+ZDAE=90a+30°=120°.

故答案為：120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了中垂線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定與性質(zhì)；確定各角的關(guān)系利

用內(nèi)角和列式求解是正確解答本題的關(guān)健.

【變式7-3］（2018秋?老河口市期中）如圖，△ABC的邊AB,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P,連接P8,PC,

若/A=70°,則/BPC的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到加=尸8,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/附8=/P3A,根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理計(jì)算.

【答案】解：NABC+NAC8=180°-ZA=IIO°,

是A8的垂直平分線，

：.PA^PB,

:.NaB=NPBA,

同理，ZPAC=ZPCA,

.../P8A+/PC4=/ftW+NB4C=NA=70°,

：.ZPBC+ZPCB=\\Oa-70°=40°,

：.ZBPC=lS0°-40°=140°,

故答案為：140。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂

宜平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)8利用軸對稱變換求最值】

【例8】（2017秋?襄州區(qū)期中）如圖，NAOB=30°,NAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,且OP=12,在。4上有一點(diǎn)

Q,OB上有一點(diǎn)R,若△PQR周長最小，則最小周長是

【分析】先畫出圖形，作PM-LOA與04相交于并將延長一倍到E,即例E=P例.作PN_L08

與08相交于M并將PN延長一倍到F,BPNF=PN.連接EF與0A相交于。，與。8相交于H,再連

接P。，PR,則△PQR即為周長最短的三角形.再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出再根據(jù)

三角形各角之間的關(guān)系判斷出AE。尸的形狀即可求解.

【答案】解：設(shè)/2。4=0,則NPO8=30°-6,作PM_LOA與OA相交于并將延長一倍到E,

即ME=PM.

作PN1.OB與OB相交于N,并將PN延長一倍到F,即NF=PN.

連接EF與相交于。，與0B相交于R,再連接PQ,PR,則△PQ/?即為周長最短的三角形.

,：0A是PE的垂直平分線,

：.EQ^QP-.

同理，08是PF的垂直平分線，

:.FR=RP,

.?.△PQR的周長=EE

'：0E=0F=-0P^\2,且/E0F=/E0P+NP。尸=20+2(30°-0)=60°,

...△E。尸是正三角形，

：.EF=\2,

即在保持OP=12的條件下△PQR的最小周長為12.

故答案為：12

【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即把

求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答.

【變式8-1](2018秋?洛龍區(qū)校級期中)如圖，等腰三角形ABC的面積是16,且底邊BC長為4,腰AC

的垂直平分線EF分別交邊AC,AB于點(diǎn)EF,若點(diǎn)。為邊8C的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則4

CM。周長的最小值是.

【分析】連接AQ,由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，故再根據(jù)三角形的面積

公式求出A。的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故

AO的長為CM+M4的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【答案】解：連接AQ,

???△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

J.ADVBC,

：.SMBC=LBC'AD=LX4XAD=16,解得AD=S,

22

：是線段AC的垂直平分線，

/.點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

：.AD的長為CM+MD的最小值，

二△€1￡>〃的周長最短為：（CM+MO）+。0=/1。+28。=8+工乂4=8+2=10.

22

故答案為：10

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)定理，熟知等

腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2019秋?北塘區(qū)期中）如圖，在五邊形ABCQE中，NBAE=136°,NB=NE=90°,在

BC,DE上分別找一點(diǎn)M,N,使得△AMN的周長最小時，則/4MN+/4MW的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)要使aAMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于

BC和ED的對稱點(diǎn)A',A",即可得出N/U'M+ZA"^ZHAA1=44°,進(jìn)而得出N4WN+NAMW

=2（ZAA1M+ZA"）即可得出答案.

【答案】解：作A關(guān)于8c和EO的對稱點(diǎn)A',A",連接A'A",交BC于M,交ED于N,貝DA'

A"即為△AMN的周長最小值.作DA延長線AH,

?.?/B4E=136°,

：.ZHAA'=44°,

二/A'+/A"=44°,

:/A'=/M44',/NAE=/A

且NA'+ZMAA'=NAMN,ZNAE+ZA"=NANM,

：.ZAMN+ZANM^ZA'+ZMAA'+ZNAE+ZA"=2(/A'+ZA")=2X44°=88°,

故答案為：88°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識,

根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.

【變式8-3](2019?黃岡期中)如圖，AC,8。在AB的同側(cè)，AC=2,BD=8,AB=8,點(diǎn)M為AB的中

點(diǎn)，若NCM￡>=120°,則CD的最大值是.

【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A',點(diǎn)8關(guān)于0M的對稱點(diǎn)8',證明△4'MB'為等邊三

角形，即可解決問題.

【答案】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于C例的對稱點(diǎn)A',點(diǎn)B