2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期同步講練(人教版)第21章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：一元二次方程的綜合應(yīng)用

第21章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：一元二次方程的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)體系

考點(diǎn)1：一元二次方程與面積問(wèn)題

典例：（2020.珠海市斗門(mén)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三期中）如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，

墻對(duì)面有一個(gè)2m寬的門(mén)，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33m.圍成長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)除門(mén)之外四周不能有

空隙.

（1）若墻長(zhǎng)為18m,要圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為150m2,則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？

（2）圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到200m2?請(qǐng)說(shuō)明理由

------12m|--------

【答案】（1）養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是10m,長(zhǎng)為15m；（2）不能，見(jiàn)解析

【解析】

解：（1）設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,根據(jù)題意得：

x（33-2x+2）=150,

解得：xi=10,X2=7.5,

當(dāng)XI=10時(shí)，33-2x+2=15V18,

當(dāng)X2=7.5時(shí)33-2x+2=20>18,（舍去）,

則養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是10m,長(zhǎng)為15m.

（2）設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,根據(jù)題意得：

x（33-2x+2）=200,

整理得：2x2-35x+200=0,

△=（-35）2-4x2x200=1225-1600=-375<0,

因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)根，

所以圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到200m2

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方

程是解題的關(guān)鍵，注意寬的取值范圍.

鞏固練習(xí)

1.（2019?廣西壯族自治區(qū)初三期末）如圖，在長(zhǎng)為32如寬為20根的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰

影部分），余下的部分種上草坪，要使道路的面積比草坪面積少440cm2.

（1）求草坪面積；

（2）求道路的寬.

【答案】⑴540cw2：（2）2>n

【解析】解：（I）設(shè)草坪面積為xcm,

f#x+（x-440）=32x20,

解得x=54（）,

所以，草坪面積為540cm2.

（2）設(shè)道路的寬為ym,

原圖經(jīng)過(guò)平移轉(zhuǎn)化為圖1.

20m

因此，根據(jù)題意得（32-y）（20-y）=540

整理得(y—2)(y—50)=0

解得x=2或x=50（不合題意，舍去）

因此，道路的寬為2,小

2.（2020?湖北省初三月考）如圖是一張長(zhǎng)20c7〃、寬12cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相同

的正方形，然后將四周折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋紙盒，若要制成一個(gè)底面積為180CT后的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，求

需要剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？

7

【答案】正方形的邊長(zhǎng)為1

【解析】

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為Xcm

則無(wú)蓋紙盒的長(zhǎng)為（20-2x）cm,寬為（12-2x）cm

（20-2x）（12—2x）=180

Y—16X+15=0

解得：％=1,%=15（不合題意，舍去）

答：正方形的邊長(zhǎng)為

3.（2020?射陽(yáng)縣第二初級(jí)中學(xué)初二期中）如圖,有長(zhǎng)為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10m）,

圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的長(zhǎng)方形花圃.

AD

BC

（1）設(shè)花圃的一邊AB為xm,則BC的長(zhǎng)可用含x的代數(shù)式表示為m；

（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)是多少米時(shí)，圍成的花圃面積為63平方米?

【答案】（1）30—3x；（2）7

【解析】

解：（1）由題意得:BC—30-3%,

故答案為：30-3xs

（2）由題意得:-3/+30x=63.

解此方程得xi=7,X2—3.

當(dāng)x=7時(shí),30-3x=9<10,符合題意;

當(dāng)x=3時(shí)，30-3x=21>10,不符合題意，舍去；

故當(dāng)A8的長(zhǎng)為力”時(shí)，花圃的面積為63小.

4.（2020?哈爾濱市松雷中學(xué)校初二月考）某社區(qū)進(jìn)行環(huán)境改造，計(jì)劃用地面磚鋪設(shè)樓前矩形廣場(chǎng)的地面

ABCD,已知矩形廣場(chǎng)地面的長(zhǎng)為100米，寬為80米，圖案設(shè)計(jì)如圖所示：廣場(chǎng)的四角為邊長(zhǎng)相同的小正

方形，陰影分為四個(gè)矩形，四個(gè)矩形的寬都為小正方形的邊長(zhǎng)，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色

地面磚.

（1）要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，并且四個(gè)角的小正方形面積的和不超過(guò)500平方米，那么

這個(gè)矩形廣場(chǎng)的四個(gè)角的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米？

（2）在（1）的條件下，為了增加廣場(chǎng)的綠化同時(shí)節(jié)省開(kāi)支，現(xiàn)將廣場(chǎng)四角的白色正方形地面磚的85%中

的一部分改為種植綠色景觀，另一部分鋪設(shè)綠色地面磚.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到種植綠色景觀每平方米的費(fèi)

用為30元，白色地面磚每平方米的費(fèi)用為20元，綠色地面磚每平方米的費(fèi)用為10元.若廣場(chǎng)四角的總費(fèi)

用不超過(guò)9400元，則最多可以將多少面積的白色地面磚改為種植綠色景觀？

【答案】（1）10米.（2）最多可以將240,小的白色地面磚改為種植綠色景觀.

【解析】

解：（1）設(shè)矩形廣場(chǎng)四角的小正方形的邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意，得：

4x2+(100-2x)(80-lx)=5200，

整理，得：X2-45X+350=0.

解之，得：%]=35,X2=10,

四個(gè)角的小正方形面積的和不超過(guò)500平方米，

，x=10

二要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，

則矩形廣場(chǎng)四角的小正方形的邊長(zhǎng)為10米.

（2）設(shè)最多可以將山7的白色地面磚改為種植綠色景觀，則鋪設(shè)綠色地面磚的面積為：（85%x400-0根2,

則

30a+10（340-a）+60x20<9400,

解之得：a<240.

最多可以將240帆2的白色地面磚改為種植綠色景觀

5.（2020?黃石市教育局初三一模）某廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)50米、寬30米的空地，現(xiàn)要將它改造為花園，請(qǐng)你設(shè)

計(jì)一個(gè)修建方案，使?jié)M足下列條件：

（1）正中間留出一條寬2米的道路（如圖）；

（2）道路兩旁修建花壇，且花壇總面積占整個(gè)面積（不包括道路）的一半；

（3）設(shè)計(jì)好的整個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米）.

【答案】x的值約取3.9米.

【解析】

解：設(shè)計(jì)成如下圖方案.

設(shè)花壇的邊與空地之間的距離為x米,

由題意可列方程:

(50-2-4x)(30-2x)=8"

X2-27X+90=0,

解得：x,?3.9,X2?23.1(舍去),

x的值約取3.9米.

花壇四周與空地的距離，中間與道路的距離都約為3.9米.

6.（2019?武昌文華中學(xué)初一月考）小麗手中有塊長(zhǎng)方形的硬紙片，其中長(zhǎng)比寬多10cm,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是100cm.

（1）求長(zhǎng)方形的面積.

（2）現(xiàn)小麗想用這塊長(zhǎng)方形的硬紙片，沿著邊的方向裁出一塊長(zhǎng)與寬的比為5：4,面積為520c4的新紙

片作為他用.試判斷小麗能否成功，并說(shuō)明理由.

。D

BC

【答案】（1）長(zhǎng)方形的面積為600c4；（2）不能成功，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

解：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xc加，寬為ycm,

x-y=10

根據(jù)題意得：。/丁、“4

2（x+y）=100

x=30

解得：\“，

y=20

，長(zhǎng)方形面積為：30x20=600c、〃/，

答：長(zhǎng)方形的面積為600cm2；

（2）不能成功，理由如下：

設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為5。（。>0）。〃，則寬為，

根據(jù)題意得：5。x4。=520,

解得：q=J正，%=-底（不合題意，舍去），

5?=5>/26<4。=4莊，

V4726>4A/25=20.

即紙片的寬大于原來(lái)硬紙片的寬，

...小麗不能成功.

考點(diǎn)2：一元二次方程與營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題

典例：（2020?廣東省初三其他）某汽車(chē)租貿(mào)公司共有汽車(chē)50輛，市場(chǎng)調(diào)查表明，當(dāng)租金為每輛每日200元

時(shí)可全部租出，當(dāng)租金每提高10元，租出去的車(chē)就減少2輛.

（1）當(dāng)租金提高多少元時(shí)，公司的每日收益可達(dá)到10120元？

（2）公司領(lǐng)導(dǎo)希望日收益達(dá)到10160元，你認(rèn)為能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出此時(shí)的租金，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，

（3）汽車(chē)日常維護(hù)要定費(fèi)用，已知外租車(chē)輛每日維護(hù)費(fèi)為100元未租出的車(chē)輛維護(hù)費(fèi)為50元，當(dāng)租金為

多少元時(shí)，公司的利潤(rùn)恰好為5500元？（利潤(rùn)=收益-維護(hù)費(fèi)）

【答案】（1）當(dāng)租金提高20元或30元時(shí),公司的每日收益可達(dá)到10120元；（2）日收益不能達(dá)到10160

元，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)租金為250元時(shí)，公司的利潤(rùn)恰好為5500元.

【解析】

2x

（1）設(shè)租金提高X元，則每日可租出（50——）輛，

10

2x

依題意，得：（200+x）（50——）=10120,

10

整理，得：x2-50x+600=0,

解得:Xi=20,X2=30.

答：當(dāng)租金提高20元或30元時(shí)，公司的每II收益可達(dá)到10120元.

（2）假設(shè)能實(shí)現(xiàn)，租金提高x元，

2x

依題意，得：（200+x）（50--）=10160,

整理，得：x2-50x+900=0,

（-50）2-4xlx900<0,

...該一元二次方程無(wú)解，

...日收益不能達(dá)到10160元.

(3)設(shè)租金提高x元，

2x2x2x

依題意，得：(200+x)(50----)-100(50-----)-50x一=5500,

101010

整理，得：x2-100x+2500=0,

解得：X|=X2=50,

.,.200+x=250.

答：當(dāng)租金為250元時(shí)，公司的利潤(rùn)恰好為5500元.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.(2020?浙江省初二期中)某商店銷(xiāo)售一款口罩，每袋的進(jìn)價(jià)為12元，計(jì)劃售價(jià)大于12元但不超過(guò)22元，

通過(guò)試場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種口罩每袋售價(jià)提高1元，日均銷(xiāo)售量降低5袋，當(dāng)售價(jià)為18元時(shí)，日均銷(xiāo)售量為

50袋.

(1)在售價(jià)為18元的基礎(chǔ)上，將這種口罩的售價(jià)每袋提高x元，則日均銷(xiāo)售量是袋；(用含x的

代數(shù)式表示)

(2)要想銷(xiāo)售這種口罩每天贏利275元，該商場(chǎng)每袋口罩的售價(jià)要定為多少元？

【答案】⑴(50-5%)；(2)17

【解析】

解：(1)5()-x.5=5()-5x(袋)：

故答案為：(50-5x)；

(2)根據(jù)題意得：(18-12+幻(50-5幻=275,

即：X2-4X-5=0)

解得：玉=T,%=5，

當(dāng)x=—1時(shí)，售價(jià)是18+(-1)=17元；

當(dāng)x=5時(shí)，售價(jià)是18+5=23元.

?..計(jì)劃售價(jià)大于12元但不超過(guò)22元，

x=-l.售價(jià)是17元.

答：該商場(chǎng)每袋口罩的售價(jià)要定為17元.

2.(2020?廣州市花都區(qū)南陽(yáng)學(xué)校初三月考)某商店以每件40元的價(jià)格進(jìn)了一批商品，出售價(jià)格經(jīng)過(guò)兩個(gè)月

的調(diào)整，從每件50元上漲到每件72元，此時(shí)每月可售出188件商品.

(1)求該商品平均每月的價(jià)格增長(zhǎng)率；

(2)因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價(jià)出售.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每下降一元，每

個(gè)月多賣(mài)出一件，設(shè)實(shí)際售價(jià)為x元，則x為多少元時(shí)銷(xiāo)售此商品每月的利潤(rùn)可達(dá)到4000元.

【答案】(1)20%;(2)60元

【解析】

解：(1)設(shè)該商品平均每月的價(jià)格增長(zhǎng)率為，”，

依題意，得：50(1+/?)2=72,

解得：叫=0.2=20%,〃?2=-2.2(不合題意,舍去).

答：該商品平均每月的價(jià)格增長(zhǎng)率為20%.

(2)依題意，得:(x-40)[188+(72-x)]=4000,

整理，得：A2-300.r+14400=0,

解得：M=60,&=240(不合題意，舍去).

答：x為60元時(shí)商品每天的利潤(rùn)可達(dá)到4000元.

3.(2020.北京市文匯中學(xué)初二期中)因魔幻等與眾不同的城市特質(zhì)，以及抖音等新媒體的傳播，重慶己成

為國(guó)內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一.著名“網(wǎng)紅打卡地”磁器口在2018年五一長(zhǎng)假期間，接待游客

達(dá)20萬(wàn)人次，預(yù)計(jì)在2020年五一長(zhǎng)假期間，接待游客將達(dá)28.8萬(wàn)人次.在磁器口老街，美食無(wú)數(shù)，一家

特色小面店希望在五一長(zhǎng)假期間獲得好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面成本價(jià)為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)：若

每碗賣(mài)25元，平均每天將銷(xiāo)售300碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷(xiāo)售30碗.

(1)求出2018至2020年五一長(zhǎng)假期間游客人次的年平均增長(zhǎng)率：

(2)為了更好地維護(hù)重慶城市形象，店家規(guī)定每碗售價(jià)不得超過(guò)20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才

能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)6300元？

【答案】(I)年平均增長(zhǎng)率為20%；(2)每碗售價(jià)定為20元時(shí)，每天利潤(rùn)為6300元.

【解析】

(1)設(shè)平均增長(zhǎng)率為％,則20(1+x)2=28.8

解得：％=0.2=20%x2=-2.2（舍）.

答：年平均增長(zhǎng)率為20%

(2)設(shè)每碗售價(jià)定為了元時(shí)，每天利潤(rùn)為6300元

(y-6)[300+30(25-y)]=6300?

解得：X=20y2=21.

???每碗售價(jià)不超過(guò)20元，

所以y=20.

4.(2020?丹東市第七中學(xué)初三一模)某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)分析，若按每千

克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500千克；銷(xiāo)售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克.針對(duì)這種水產(chǎn)品

的銷(xiāo)售情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題.

(1)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元，計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn)；

(2)商場(chǎng)計(jì)劃在月銷(xiāo)售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多

少？

【答案】(1)月銷(xiāo)售量450千克，月利潤(rùn)6750元；(2)銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為80元/千克

【解析】

(1)月銷(xiāo)售量為:500-5x10=450(千克),

月利潤(rùn)為：(55-40)x450=6750(元).

(2)設(shè)單價(jià)應(yīng)定為x元，

得：(x-40)[500-10(x-50)]=8000,

解得：xi=6(),X2=80.

當(dāng)x=60時(shí)，月銷(xiāo)售成本為16000元，不合題意舍去.

/.x=80.

答:銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為80元/千克.

5.(2020?山東省初二期中)我市某童裝專賣(mài)店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為40元，若銷(xiāo)售價(jià)為60

元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣(mài)店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷(xiāo)售量，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均可多售出2件?設(shè)每件童裝降價(jià)x元(x>0)時(shí)，平均每天可盈利y

元.

(1)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)該專賣(mài)店每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，平均每天盈利400元？

（3）該專賣(mài)店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）曠=一2爐+20尤+400；（2）10元：（3）不可能，理由見(jiàn)解析

【解析】解：（1）根據(jù)題意得，

y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=（20+2x）（60—40—x）=-2x2+20x+4（X）：

（2）當(dāng)y=400時(shí)，400=-2x2+20x+400-

解得西=10,々=0（不合題意舍去）.

答：當(dāng)該專賣(mài)店每件童裝降價(jià)10元時(shí)，平均每天盈利400元；

（3）該專賣(mài)店不可能平均每天盈利600元.

當(dāng)y=600時(shí)，600=—2/+20%+400，

整理得/一10了+100=0，

?.?△=（-10）2-4xlxl00=-300<0,

，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

答：該專賣(mài)店不可能平均每天盈利600元.

6.（2020?山西省初三一模）2020年年初以來(lái)，全國(guó)多地豬肉價(jià)格連續(xù)上漲，引起了民眾與政府的高度關(guān)注，

政府向市場(chǎng)投入儲(chǔ)備豬肉進(jìn)行了價(jià)格平抑.據(jù)統(tǒng)計(jì)：某超市2020年1月10日豬肉價(jià)格比去年同一天上漲

了40%,這天該超市每千克豬肉價(jià)格為56元.

（1）求2019年1月10日，該超市豬肉的價(jià)格為每千克多少元？

（2）現(xiàn)在某超市以每千克46元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)豬肉，按2020年1月10日價(jià)格出售，平均一天能銷(xiāo)售100千

克.經(jīng)調(diào)查表明：豬肉的售價(jià)每千克下降1元，平均每日銷(xiāo)售量就增加20千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售豬肉平均

每天有1120元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，在盡可能讓利于顧客的前提下，每千克豬肉應(yīng)該定價(jià)為多少元？

【答案】（D2019年1月10日豬肉的價(jià)格為每千克40元；（2）每千克豬肉應(yīng)該定價(jià)為53元.

【解析】（1）設(shè)2019年I月10[|,該超市豬肉的價(jià)格為每千克x元，

根據(jù)題意,得(1+40%)尤=56,

解得：x=40，

答：2019年1月10日豬肉的價(jià)格為每千克40元；

(2)設(shè)每千克豬肉應(yīng)降價(jià)V元，

依題意，得:(56-46-y)(100+20y)=1120,

解得：X=2,y2=3,

?.?盡可能讓利于顧客，

,y=3,

56-y=53.

答：每千克豬肉應(yīng)該定價(jià)為53元.

7.(2019?遼寧省初三月考)某商店經(jīng)銷(xiāo)甲、乙兩種商品?現(xiàn)有如下信息：信息1：甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單

價(jià)之和是3元；信息2：甲商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多1元，乙商品零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的2倍少1元；信

息3：按零售單價(jià)購(gòu)買(mǎi)甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)求甲、乙兩種商品的零售單價(jià)；

(2)該商店平均每天賣(mài)出甲商品500件和乙商品1200件?經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價(jià)每降().1元，甲種

商品每天可多銷(xiāo)售100件?商店決定把甲種商品的零售單價(jià)下降m(m>())元?在不考慮其他因素的條件下，

當(dāng)m為多少時(shí)，商店每天銷(xiāo)售甲、乙兩種商品獲取的總利潤(rùn)為1700元？

【答案】(1)甲、乙零售單價(jià)分別為2元和3元；(2)當(dāng)m定為0.5元才能使商店每天銷(xiāo)售甲、乙兩種商

品獲取的利潤(rùn)共1700兀.

【解析】

(1)假設(shè)甲、種商品的進(jìn)貨單價(jià)為X,y元，乙種商品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，

"x+y=3

根據(jù)題意可得：h(x+l)+2(2y-l)=12,

解得：［.=’2,

故甲、乙零售單價(jià)分別為2元和3元;

（2）根據(jù)題意得出：

（l-m）^500+100x^+lxl200=1700.

即2m2-m=0，

解得m=0.5或m=0（舍去），

答：當(dāng)m定為0.5元才能使商店每天銷(xiāo)售甲、乙兩種商品獲取的利潤(rùn)共1700元.

考點(diǎn)3：以百分?jǐn)?shù)為未知量的一元二次方程

典例：（2020?廣東省初三月考）經(jīng)中共中央決定設(shè)立河北雄安新區(qū)，這一重大措施必將帶動(dòng)首都及周邊區(qū)域

向更高水平發(fā)展，同時(shí)也會(huì)帶來(lái)更多商機(jī).某水果經(jīng)銷(xiāo)商在第一周購(gòu)進(jìn)一批水果1160件，預(yù)計(jì)在第二周進(jìn)

行試銷(xiāo)，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每件10元，若售價(jià)為每件12元，則可全部售出；若售價(jià)每漲價(jià)0.1元，銷(xiāo)量就減少2

件.

（1）若該經(jīng)銷(xiāo)商在第二周的銷(xiāo)量不低于1100件，則售價(jià)應(yīng)不高于多少元？

（2）由于銷(xiāo)量較好，第三周水果進(jìn)價(jià)比第一周每件增加了20%,該經(jīng)銷(xiāo)商增加了進(jìn)貨量，并加強(qiáng)了宣傳力

度，結(jié)果第三周的銷(xiāo)量比第二周在（1）條件下的最低銷(xiāo)量增加了m％,但售價(jià)比第二周在（1）條件下的最

2

高售價(jià)減少了后加％,結(jié)果第三周利潤(rùn)達(dá)到3388元，求機(jī)的值（相>10）.

【答案】（D售價(jià)應(yīng)不高于15元；（2）"7=40.

【解析】

（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)為x元，依題意有：

2（12）

1160―-----^>1100,

0.1

解得:爛15.

答：售價(jià)應(yīng)不高于15元.

（2）第三周的進(jìn)價(jià)：10（1+20%）=12（元），

由題意得：

2

1100（1+m%）[15（1-—m%）-12]=3388,

設(shè)化簡(jiǎn)得50產(chǎn)-25f+2=0,

2I

解得：“=不’2=歷，

所以"71=40,，〃2=10,

因?yàn)閣>10,

所以？n=40.

答：機(jī)的值為40.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給

出的條件，找出合適的不等關(guān)系和等量關(guān)系，列出不等式和方程，再求解.

鞏固練習(xí)

1.(2020?重慶初三其他)新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人體中發(fā)現(xiàn)

的新型冠狀病毒.市民出于防疫的需求，持續(xù)搶購(gòu)防護(hù)用品.某藥店口罩每袋售價(jià)20元，醫(yī)用酒精每瓶售

價(jià)15元.

(1)該藥店第一周口罩的銷(xiāo)售袋數(shù)比醫(yī)用酒精的銷(xiāo)售瓶數(shù)多100,且第一周這兩種防護(hù)用品的總銷(xiāo)售額為

9000元，求該藥店第一周銷(xiāo)售口罩多少袋？

(2)由于疫情緊張，該藥店為了幫助大家共渡難關(guān)，第二周口罩售價(jià)降低了銷(xiāo)量比第一周增加了

2

2a0/0,醫(yī)用酒精的售價(jià)保持不變，銷(xiāo)量比第一周增加了。％,結(jié)果口罩和醫(yī)用酒精第二周的總銷(xiāo)售額比第

一周增加了求。的值.

【答案】(1)第一周銷(xiāo)售口罩300袋；(2)。的值為20.

【解析】(1)設(shè)第一周銷(xiāo)售口罩％袋，則銷(xiāo)售醫(yī)用酒精(無(wú)一100)瓶，

依題意，<20x4-15(^-100)=9000,

解得x=3(X).

答：第一周銷(xiāo)售口罩300袋，

故答案為：300；

(2)依題意得，

20(1a%)x300(1+2a%)+15x(300-100)(1+a%)=9000(1+1a%),

整理得0.6。2一12a=(),

解得q=20,?2=0(舍去).

答：”的值為20,

故答案為：20.

2.（2020?重慶一中初三一模）4月24日《復(fù)仇者聯(lián)盟4》在中國(guó)大陸上映.我市江北影城為加大宣傳，

決定在4月23日預(yù)售普通3。票400張和/MAX票100張，且預(yù)售中的/M4X的票價(jià)是普通3￡>票價(jià)的2倍.

（1）若影城的預(yù)售總額不低于21000元，則普通30票的預(yù)售價(jià)格最少為多少元？

（2）影城計(jì)劃在上映當(dāng)天推出普通30票3200張，/MAX票800張.由于預(yù)售的火爆，影城決定將普通30

票的價(jià)格在（1）中最低價(jià)格的基礎(chǔ)上增加而/M4X票價(jià)在（1）中/M4X票價(jià)上增加了。元，結(jié)果

7

普通3D票的銷(xiāo)售量比計(jì)劃少2a%.IMAX票的銷(xiāo)售量與計(jì)劃保持一致，最終實(shí)際銷(xiāo)售額與計(jì)劃銷(xiāo)售額相等，

求”的值.

【答案】（1）普通30票的預(yù)售價(jià)格最少為35元/張；（2）a的值為20.

【解析】

（1）設(shè)普通3D票的預(yù)售價(jià)格為x元/張，則/MAX票的預(yù)售價(jià)格為2x元/張，

依題意，得：400.r+100x2r>21000,

解得：x>35.

答:普通3。票的預(yù)售價(jià)格最少為35元/張.

（2）依題意，得：35（1+—a%）x3200（l-2a%）+（35x2+a）x800=35x3200+35x2x800,

7

整理，得:a2-20?=0,

解得:41=0（舍去），42=20.

答：”的值為20.

3.（2020?重慶巴蜀中學(xué)初二月考）智能手環(huán)是一種穿戴式智能設(shè)備，通過(guò)智能手環(huán)，用戶可以記錄日常生

活中的鍛煉，睡眠、部分還有飲食等實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)與手機(jī)、平板同步，起到通過(guò)數(shù)據(jù)指導(dǎo)健康

生活的作用，某公司2020年3月新推出A型和8型兩款手環(huán).A型手環(huán)每只售價(jià)是B型手環(huán)售價(jià)的1.5倍.3

月份A、3手環(huán)總計(jì)銷(xiāo)售650只，A型手環(huán)銷(xiāo)售額為108000元，3型手環(huán)銷(xiāo)售額為84000元.

（1）求A、3型手環(huán)的售價(jià)各是多少？

（2）由于更多的公司研發(fā)手環(huán)投入市場(chǎng)，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，公司決定4月份對(duì)兩種手環(huán)進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo)，對(duì)

A型手環(huán)直降2a元，銷(xiāo)量比原來(lái)提高了a%,對(duì)5型手環(huán)在原價(jià)基礎(chǔ)上降價(jià)@%銷(xiāo)售，銷(xiāo)量比原來(lái)提高了

4

20%,4月份總計(jì)銷(xiāo)售額為208320元，求。的值.

【答案】（1）A型手環(huán)售價(jià)為360元，8型手環(huán)售價(jià)為240元.（2）40.

【解析】

解：（1）設(shè)B型手環(huán)售價(jià)為X元，表示出A型手環(huán)售價(jià)為1.5%元，由題意得：

10800084000…

------+-----=650

1.5xx

解得x=240

經(jīng)檢驗(yàn)，犬=240符合實(shí)際意義，

A型手環(huán)售價(jià)為L(zhǎng)5x=360（元）.

故A型手環(huán)售價(jià)為360元，8型手環(huán)售價(jià)為240元.

（2）由（1）得，B型手環(huán)促銷(xiāo)前的銷(xiāo)售量為84000+240=350臺(tái)，則A型手環(huán)促銷(xiāo)前的銷(xiāo)量為650-350=300

臺(tái)，

由題意得：300（360-2（a）（l+4％）+240x350（1--%）（1+20%）=208320

化簡(jiǎn)得：80+38“-/=0

解得a=40或。=一2（舍）

故。的值為40.

4.（2020?重慶一中初三月考）受非洲豬瘟的影響，2019年的豬肉價(jià)格創(chuàng)歷史新高，同時(shí)其他肉類(lèi)的價(jià)格也

有一定程度的上漲，某超市11月份的豬肉銷(xiāo)量是羊肉銷(xiāo)量的3倍，且豬肉價(jià)格為每千克70元羊肉價(jià)格為每

千克110元.

（1）若該超市11月份豬肉、羊肉的總銷(xiāo)售額不低于27.2萬(wàn)元，則11月份的豬肉銷(xiāo)量至少多少千克？

（2）12月份香腸臘肉等傳統(tǒng)美食的制作，使得市場(chǎng)的豬肉需求加大，12月份豬肉的銷(xiāo)量比11月份增長(zhǎng)了

20a%,由于國(guó)家對(duì)豬肉價(jià)格的調(diào)控，12月份的豬肉價(jià)格比11月份降低了。％,羊肉的銷(xiāo)量是11月份豬

肉銷(xiāo)量的！，且價(jià)格不變.最終，該超市12月份豬肉和.羊肉的銷(xiāo)售額比11月份這兩種肉的銷(xiāo)售額增加了

3

21

—a0/0,求。的值.

2

【答案】（D11月份豬肉銷(xiāo)量至少為2550千克；（2）。的值為15

【解析】

解：（I）設(shè)11月份豬肉銷(xiāo)量為x千克，

則：70x+110xl%>272000.

3

解得：x>2550,

答：II月份豬肉銷(xiāo)量至少為2550千克；

（2）設(shè)11月份羊肉銷(xiāo)量為加千克，豬肉銷(xiāo)量為3加千克，則：

21

3加?（1+20。％）?70?（1-a%）+110冽=（70x34+110?加）（1+豆〃％）,

令a%=f，

2|

則3%(1+20，>70-(1-/)+110根=(70*3根+110?加)(1+5/),

整理得：20/一31=0，

3

解得：，=0或/=一，

20

，a=0(舍)或a=15，

答:a的值為15.

5.(2019?重慶初三一模)鮮豐水果店計(jì)劃用12元/盒的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一款水果禮盒以備銷(xiāo)售.

0)據(jù)調(diào)查，當(dāng)該種水果禮盒的售價(jià)為14元/盒時(shí)，月銷(xiāo)量為980盒，每盒售價(jià)每增長(zhǎng)1元，月銷(xiāo)量就相應(yīng)減

少30盒，若使水果禮盒的月銷(xiāo)量不低于800盒，每盒售價(jià)應(yīng)不高于多少元？

(2)在實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，由于天氣和運(yùn)輸?shù)脑?，每盒水果禮盒的進(jìn)價(jià)提高了25%，而每盒水果禮盒的售價(jià)比

(1)中最高售價(jià)減少了g加％，月銷(xiāo)量比(1)中最低月銷(xiāo)量800盒增加了m%,結(jié)果該月水果店銷(xiāo)售該水果

禮盒的利潤(rùn)達(dá)到了4000元，求”的值.

【答案】(D若使水果禮盒的月銷(xiāo)量不低于800盒，每盒售價(jià)應(yīng)不高于20元；(2)用的值為25.

【解析】

解：(1)設(shè)每盒售價(jià)x元.

依題意得：980-30(%-14)>8()0

解得：x<20

答：若使水果禮盒的月銷(xiāo)量不低于80()盒，每盒售價(jià)應(yīng)不高于2()元

(2)依題意：2o[l-1m%)-12x(l+25%)x800(1+??%)=4000

令：m%=t

化簡(jiǎn)：4產(chǎn)T=0

解得：，|=。(舍去)，t?=一

-4

/.m—25

答：加的值為25.

6.(2020.浙江省初二月考)每年九月是開(kāi)學(xué)季，大多數(shù)學(xué)生會(huì)購(gòu)買(mǎi)若干筆記本滿足日常學(xué)習(xí)需要，校外某

文具店老板開(kāi)學(xué)前某日去批發(fā)市場(chǎng)進(jìn)貨，購(gòu)進(jìn)甲乙丙三種不同款式的筆記本，已知甲款筆記本的進(jìn)價(jià)為2

元/本，乙款筆記本的進(jìn)價(jià)為4元/本，丙款筆記本的進(jìn)價(jià)為6元/本，經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，甲款筆記本、乙款筆記

本和丙款筆記本的零售價(jià)分別定為4元/本、6元/本和10元/本時(shí)，每天可分別售出甲款筆記本30本、乙款

筆記本50本和丙款筆記本20本，如果將乙款筆記本的零售價(jià)提高色元(。>25),甲款筆記本和丙款筆

25

記本的零售價(jià)均保持不變，那么乙款筆記本每天的銷(xiāo)售量將下降。％,丙款筆記本每天的銷(xiāo)售量將上升

-?%,甲款筆記本每天的銷(xiāo)量仍保持不變.

2

(1)若a=30,調(diào)價(jià)后每天銷(xiāo)售三款筆記本共可獲利多少元？

(2)若調(diào)價(jià)后每天銷(xiāo)售三款筆記本共可獲利260元，求a的值.

【答案】(1)264元；(2)。的值為50.

30

⑴(4-2)X30+(6+--4)X50X(1-30O/O)+(10-6)X20X(1+15O/O)=264(元),

(2)根據(jù)題意，得(4一2)乂30+(6+4-4)'50(1—。％)+(10—6)[20(1+,4%)]=260,

252

整理得。2一70。+1000=0，

解得，q=50,4=2。(不合題意，舍去)，

答：a的值為50.

7.(2020?重慶南開(kāi)中學(xué)初二月考)某體育用品制造公司通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)銷(xiāo)售某品牌排球，第一周的總銷(xiāo)售額為

3000元，第二周的總銷(xiāo)售額為3520元，第二周比第一周多售出13個(gè)排球.

(1)求每個(gè)排球的售價(jià)；

(2)該公司在第三周將每個(gè)排球的售價(jià)降低了(其中a<5()),并預(yù)計(jì)第三周能售出120個(gè)排球.恰

2

逢中國(guó)女排奪冠，極大地激發(fā)了廣大青少年積極參與排球運(yùn)動(dòng)的熱情，該款排球在第三周的銷(xiāo)量比預(yù)計(jì)的

120個(gè)還多了牝％.已知每個(gè)排球的成本為16元，該公司第三周銷(xiāo)售排球的總利潤(rùn)為4320元，求。的值.

【答案】⑴40；(2)”=20

【解析】

解：(1)設(shè)每個(gè)排球的售價(jià)為x,根據(jù)題意：

3000+13x=3520,

解得：x=4().

答：每個(gè)排球的售價(jià)為40元.

（2）根據(jù)題意:401——a0/o-16x120(1+4%。)=4320,

整理得：片一95。+1500=0，

解得：4=20,4=75（不符合題意舍去）.

故。的值為20.

考點(diǎn)4：一元二次方程與動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

典例：（2020.綿竹市孝德中學(xué)初二期中）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,AB=12,

BC=21,AD=16.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)

A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨

之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

（1）設(shè)4DPQ的面積為S,求S與t之間的關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ是平行四邊形？

（3）分別求出當(dāng)t為何值時(shí),①PD=PQ；②DQ=PQ.

【答案】（1）S=-6t+96：（2）當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PCDQ是平行四邊形：（3）①當(dāng)t=?■時(shí)，PD=PQ；②當(dāng)口

【解析】

(1)在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,BC=21,AB=12,AD=16,

設(shè)AQ=t,BP=2t,則DQ=16-t,PC=21-2t,

過(guò)點(diǎn)P作PE±AD于E,

BC

則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12,

S=/DQ-AB=J(16-t)x12=-6t+96

故答案為：S=6t+96

(2)當(dāng)四邊形PCDQ是平行四邊形時(shí)，PC=DQ,

/.2l-2t=16-t解得：t=5,

???當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PCDQ是平行四邊形.

故答案為：當(dāng)t=5時(shí)，四邊形PCDQ是平行四邊形

(3)VAE=BP=2t,PE=AB=12,

①當(dāng)PD=PQ時(shí)，QE=ED=3QD,

VDE=16-2t,

，AE=BP=AQ+QE,即2t=t+16-2t,

解得：t=一，

3

,161

.,.當(dāng)t=3-時(shí)，PD=PQ

故答案為：當(dāng)1=當(dāng)時(shí)，PD=PQ

②當(dāng)DQ=PQ時(shí)，DQ2=PQ2

“.7

.，/2+122=(16-#解得：t=—

2

7

，當(dāng)1=一時(shí)，DQ=PQ

2

7

故答案為：當(dāng)1=一時(shí)，DQ=PQ

2

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了圖形上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一般運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,速度乘以時(shí)間得到路程，根據(jù)線段相關(guān)關(guān)系求解，在解

題過(guò)程中應(yīng)用到了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn).

鞏固練習(xí)

1.(2020?廣東省初三其他)(1)課本情境:如圖，已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)，出發(fā)時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；

(2)逆向發(fā)散:當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P,Q兩點(diǎn)的距離為多少？當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s時(shí)，P,Q兩點(diǎn)的距離為多

少？

（3）拓展應(yīng)用：若點(diǎn)P沿著AO—OC—CB移動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)

B停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間APOQ的面積為12cm2?

AB

Roc

Q24

【答案】（1）或（2）6\/2C7?I,2y/l3cm（3）4s或6s

【解析】

解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PEL8C于E,

由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

?點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm,

A62+(16-5t)2=100,

解得L=m'匕=I-，

(2)t=2時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知AP=3x2=6cm,C0=2x2=4cm,

.??四邊形APEB是矩形,

:,PE=AB=6,BE=6,

：.EQ=BC-BE-C0=16-6-4=6,

根據(jù)勾股定理得PQ=y）PE2+EQ2=672，

，當(dāng)f=2s時(shí)，P,。兩點(diǎn)的距離為60cm；

當(dāng)f=4s時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知AP=3x4=12a〃，CQ=2x4=8cni,

，四邊形APE8是矩形，

；.PE=AB=6,8。=8,CE=OP=4

：.EQ=BC-CE-8。=16-4-8=4,

根據(jù)勾股定理得PQ=^PE^EQ1=2V13,

P，Q兩點(diǎn)的距離為2ji5c”

(3)點(diǎn)Q從C點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)所花的時(shí)間為16+2=8s,

當(dāng)點(diǎn)P在A。上時(shí)，心生=吐瑛=12,

22

解得t=4.

POCO(3/-16)-2/

當(dāng)點(diǎn)P在0C上時(shí)，SAPOQ==12,

22

解得/=6或-劣(舍棄).

3

POCO(2f+22—37)x6

當(dāng)點(diǎn)P在C8上時(shí)?，S“POQ=------------=------------------------=12,

22

解得r=18>8(不符合題意舍棄),

綜上所述，經(jīng)過(guò)4s或6s時(shí)，的面積為12a".

2.(2020?杭州市拱宸中學(xué)初二月考)在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB

向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如果

P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)填空：BQ=,PB=(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5cm?

(3)是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】⑴2tcm；(5-t)cm(2)當(dāng)t=2秒時(shí),PQ的長(zhǎng)度等于5cm(3)存在t=l秒，能夠使得五邊形APQCD

的面積等于26cm2

【解析】

(1),:P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向終點(diǎn)B以Icm/s的速度移動(dòng)，.?.AP=fan.

AB=5cm,.'.PB—(5-r)cm.

???點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，.?.8。=2化"?；

(2)由題意得：(5-f)2+(2f)2=52,解得：日=0,檢=2；

答：當(dāng)f=0秒或2秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5a”.

(3)存在r=l秒，能夠使得五邊形APQC力的面積等于26aM.理由如下：

長(zhǎng)方形A8CD的面積是：5x6=30(5)2),使得五邊形APQC。的面積等于26c/，則MB。的面積為30-

26=4(cm2),(5-r)x2zx—=4,解得：h=4(不合題意舍去)，々=1.

2

即當(dāng)，=1秒時(shí)，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2.

3.(2020?山東省初三一模)閱讀理解：給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知

矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖，矩形是矩形ABCD的“減

半”矩形.

請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:

長(zhǎng):4

長(zhǎng):125G

寬：2寬：3

（1）當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為1,7時(shí),它是否存在"減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由.

（2）邊長(zhǎng)為。的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】（D存在；理由見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

解：（1）存在

x+y=4①

假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)和寬分別為工,丁，貝“?,

孫=一②

.2

由①，得：y=4—x,③

7

把③代入②，得x9-4x+-=0,

2

42ZBcV2\/2

解%=2H—‘尤2=2—-

所以“減半”矩形長(zhǎng)和寬分別為2+注與2-注.

22

（2）不存在

因?yàn)閮蓚€(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為!時(shí)，面積比必定是L,

所以正方形不存在“減半”正方形.

4.（2018?紹興市元培中學(xué)初二期中）如圖四邊形ABC。，AD//BC,48=90°,AD=12an,AB=l（km,

BC=15cm.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出

發(fā)，在線段AO上以每秒2cm的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，。分別從點(diǎn)3,A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。

時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒）.

(1)當(dāng)0<r<5時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PQOC是平行四邊形，若存在，求出f值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，以C,D，Q,P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30?！?；

(3)當(dāng)0<t<5時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使△PQO是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的f的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)t=3；(2)t=—；(3)t=3或叵.

53

【解析】解：⑴；AD〃BC

當(dāng)DQ=CP時(shí)-，四邊形PQDC是平行四邊形，

當(dāng)0<tV5時(shí)，點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C,

VDQ=AD-AQ=12-2t,CP=15-3t,

.,.12-2t=15-3t,

解得：t=3,

...t=3時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；

(2)分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P是從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

,?,CP=15-3t,DQ=12-2t,以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2,

，S州以*CDQP=，(DQ+CP)?AB=30,即(12-2t+15-3t)xl0=30,

22

解得：t=—；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C返回點(diǎn)B時(shí)，

由運(yùn)動(dòng)知，DQ=12-2t,CP=3t-15,

:?S四邊形CDQP=,(DQ+CP)?AB=30,即1(12-2t+3t-15)xlO=3O,

■22

解得：t=9,

?.?點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間為12+2=6,

?*.t=9舍去，

21

.?.當(dāng)t為w秒時(shí)，以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于30cm2；

(3)分三種情況討論：

作PHJ_AD于H,

①當(dāng)PQ=PD時(shí)-，則HQ=HD,

1I/

VQH=HD=-DQ=-(12-2t)=6-t,

22

由AH=BP,得:6-t+2t=3t,

解得：t=3；

②當(dāng)PQ=DQ時(shí)，

VQH=AH-AQ=BP-AQ=3t-2t=t,DQ=12-2t,

/.PQ2=QH2+PH2=t2+IO2,

,/DQ2=PQ2,

二(12-2t)2=t2+102,

24±2JTTT

解得：t=---------——，

3

VO<t<5,

._24-2A/TTT

??t---------------;

3

③當(dāng)DQ=PD時(shí)，

DH=AD-AH=AD-BP=12-3t,DQ=12-2t,

.\PD2=PH2+HD2=1O2+(l2-3t)2,

：DQ2=PD2,

:.(12-2t)2=1()2+(i2-3t)2,

整理得:5t2-24t+100=0,

，方程無(wú)實(shí)根，即此情況不存在,

綜上可知，當(dāng)t=3秒或t=竺小叵秒時(shí)，APQD是等腰三角形.

3

5.(2019?浙江省初二期中)如圖，在邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B

以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng).若P、Q分別從A、

B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：

(1)經(jīng)過(guò)6秒后，BP=cm,BQ=cm；

(2)經(jīng)過(guò)幾秒后，aBPQ是直角三角形？

(3)經(jīng)過(guò)幾秒ABPQ的面積等于1073cm2?