【河北卷】河北省琢名小漁2025屆“五個一”名校聯(lián)盟高三年級第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（解析版）

河北省“五個一”名校聯(lián)盟2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運算化簡，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因為，所以，，所以.故選：A.2.點為等軸雙曲線的焦點，過作軸的垂線與的兩漸近線分別交于兩點，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】先求出雙曲線的方程，進而求出雙曲線的漸近線方程，即可求出兩點的坐標，即可求出的面積.【詳解】設(shè)雙曲線為：，因為，解得：，所以雙曲線為：，則雙曲線的漸近線為：，所以，解得：，則，所以為等腰直角三角形，所以面積為.故選：B.3.已知：不等式的解集為，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先計算出不等式的解集為時的取值范圍，再根據(jù)范圍大小即可得出結(jié)論.【詳解】若不等式的解集為，當時，符合題意；當時，需滿足且，解得綜合可得而所以p能推出q，q不能推出p，即是的充分不必要條件.故選：A4.用能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（）個.A.212 B.213 C.224 D.225【答案】D【解析】【分析】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分數(shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個；兩位數(shù)有個；三位數(shù)有個；四位數(shù)有個；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時共有個；②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，此時共有個.綜上所述，共有個比小的數(shù).故選：D.5.過圓錐高的中點作平行于底面的截面，則截面分圓錐上部分圓錐與下部分圓臺體積比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓錐、圓臺的體積公式求得圓錐與圓臺的體積關(guān)系．【詳解】設(shè)截面圓半徑為r，圓錐的高為h，圓錐的體積為,則圓臺下底面圓的半徑為2r，圓臺的高為h，圓臺的體積為，所以，，可得.故選：D.6.平面四邊形中，點分別為的中點，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的加法法則可得，兩邊同時平方可得，由平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】因為平面四邊形中，點分別為的中點，所以，所以，由可得：，兩邊同時平方可得：，所以，解得：，所以.故選：A.7.已知首項為2的數(shù)列滿足，當?shù)那绊椇蜁r，則的最小值為（）A.40 B.41 C.42 D.43【答案】B【解析】【分析】通過計算得到為一個周期為4的數(shù)列，從而計算出，得到答案.【詳解】由題意得，，解得，同理，解得，，解得，，解得，故為一個周期為4的數(shù)列，且，故，，故的最小值為41.故選：B8.當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡得到，再由，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，因為，可得，所以，可得，又因為，所以即，因為，因為，可得，所以，則，則，要使得不等式，即恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知五個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為15，則這組數(shù)據(jù)（）A.平均數(shù)為9 B.眾數(shù)為10C.中位數(shù)為10 D.方差為30【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)百分位數(shù)求出a,再根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)和方差的定義，即可判斷選項.【詳解】由題意，五個數(shù)據(jù)80百分為，第80百分位數(shù)為，故；這組數(shù)據(jù)中5和10都出現(xiàn)2次，其余數(shù)出現(xiàn)次數(shù)沒超過2次，故眾數(shù)為5和10，B錯誤；計算平均數(shù)為?，故A錯誤；將5次數(shù)據(jù)從小到大排列為:?，則中位數(shù)為?，故C正確；方差為?，故D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)在上有且僅有兩個對稱中心，則下列結(jié)論正確的是（）A.的范圍是B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.不可能是函數(shù)的圖像的一條對稱軸D.的最小正周期可能為【答案】AC【解析】【分析】A選項，時，，根據(jù)圖象得到，求出；B選項，整體法得到，結(jié)合A選項知，，B錯誤；C選項，假設(shè)為函數(shù)的一條對稱軸，得到方程，求出，C錯誤；D選項，，故的最小正周期，D錯誤.【詳解】A選項，時，，由函數(shù)在上有且僅有兩個對稱中心得，，解得，A正確；B選項，時，，由A可知，故，而，故函數(shù)在上不一定單調(diào)，B錯誤；C選項，假設(shè)為函數(shù)的一條對稱軸，令，，解得，，又，故，又，故無解，故不可能是函數(shù)的圖像的一條對稱軸，C正確；D選項，，故的最小正周期，故的最小正周期不可能為，D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)的零點分別為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由題意得，進而得即可求解判斷；對于B，先明確零點取值范圍，由取值范圍再結(jié)合即即可求解判斷；對于C，由即以及零點的取值范圍即可求解判斷；對于D，結(jié)合AB以及將轉(zhuǎn)化成即可判斷.【詳解】對于A，由題，，所以即，所以，故，故A正確；對于B，由得，故函數(shù)與圖象交點橫坐標和與圖象交點的橫坐標即為函數(shù)和的零點，如圖，由圖象性質(zhì)可知，又由A得，故，所以，故B錯；對于C，由上即，以及得：，故C對；對于D，由AB得，，，所以，故D對.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵一是由和得即，二是數(shù)形結(jié)合明確零點的取值范圍為且，接著對所判式子進行變形放縮等即可判斷.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】令即可求出，求出展開式通項即可求出常數(shù)項.【詳解】令，可得展開式中各項系數(shù)的和，解得；的展開式通項為，因為，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為：.13.拋物線上的動點到直線的距離最短時，到的焦點距離為__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，求出P到直線距離，結(jié)合絕對值變形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦點距離即可．【詳解】設(shè)，則點到直線的距離為,當，即當時，拋物線上一點到直線的距離最短，P到C的焦點距離為.故答案為：2．14.下圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，每行的第個數(shù)從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，則該數(shù)陣第行所有數(shù)據(jù)的和__________.【答案】【解析】【分析】先寫出第n行的項再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.【詳解】因為每行的第n個數(shù)從上到下形成以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互換以及余弦定理進行化簡即可得解.（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得：，則，即，由余弦定理可得：，因為，所以.【小問2詳解】因為為的中點，所以，則，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，則，當且僅當取等號，即，所以，即中線長的最大值為.16.如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點，分別是棱上的點，.（1）求證：直線平面；（2）若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接交于，連接，則可證得，再由可證得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點，以所在的直線為軸，過與平行的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接交于，連接，因為分別為棱的中點，所以∥∥，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因為分別為棱的中點，所以，因為∥∥，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因平面，平面，所以直線平面；【小問2詳解】解：連接，因為三棱柱為正三棱柱，所以為等邊三角形，所以，所以以為原點，以所在的直線為軸，過與平行的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面和平面的夾角為，則，因為，所以.17.已知，平面內(nèi)動點滿足直線的斜率之積為.（1）求動點的軌跡方程；（2）過點的直線交的軌跡于兩點，以為鄰邊作平行四邊形（為坐標原點），若恰為軌跡上一點，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，化簡可得軌跡方程．（2）先設(shè)直線再聯(lián)立直線與軌跡方程，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達定理及點到直線距離公式計算面積即可.【小問1詳解】設(shè),則,化簡可得【小問2詳解】以為鄰邊作平行四邊形,則直線與x軸不重合,設(shè)直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，聯(lián)立，消去x得，所以，則.求得O到直線的距離，因為平行四邊形的對角線互相平分所以所以在橢圓上，可得所以平行四邊形面積所以四邊形面積是.【點睛】方法點睛：利用平行四邊形對角線互相平分，對角線共中點求參進而求出面積.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當時，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對進行和的分類討論導(dǎo)數(shù)正負即可得單調(diào)性.（2）證，故問題轉(zhuǎn)化成證，接著構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證.【小問1詳解】由題函數(shù)定義域為，，故當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，令，則時，；時，，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上恒成立，故證證，即，令，則，故當時，；時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故，所以當時，.【點睛】思路點睛：證明含參函數(shù)不等式問題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問題，第（2）問證當時，可將問題轉(zhuǎn)化成證，接著根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進行變形轉(zhuǎn)化和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.19.一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從平面直角坐標系的原點出發(fā)，每隔1秒等可能地向上?向下?向左或向右移動一個單位.（1）共移動兩次，求質(zhì)點與原點距離的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）分別求移動4次和移動6次質(zhì)點回到原點的概率；（3）若共移動次（大于0，且為偶數(shù)），求證：質(zhì)點回到原點的概率為.【答案】（1）答案見解析；（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求出X的所有可能取值以及對應(yīng)的概率，再結(jié)合離散型隨機變量的期望公式求答案即可.（2）利用分步乘法計數(shù)原理、組合以及古典概型的概率公式計算可求得結(jié)果.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】設(shè)表示2次移動中質(zhì)點與原點距離，則可取0，2，，當質(zhì)點向左移動1次向右移動1次，或向上移動1次向下移動1次，最后，則;當質(zhì)點向左移動2次或向右移動2次，或向上移動2次或向下移動2次，最后，則;當質(zhì)點向左移動1次向上移動1次，或向左移動1次向下移動1次，或向右移動1次向上移動1次，或向右移動1次向下移動1次，最后，則的分布列為：0.【小問2詳解】質(zhì)點從原點出發(fā)，每次等可能地向上?向下?向左或向右移動一個單位，共移動4次，可能的結(jié)果共有種情況，若質(zhì)點回到原點，則向左移動2次向右移動2次，或向上移動2次向下移動2次，共有種情況，若質(zhì)點回到原點，則向左移動1次向右移動1次，向上移動1次向下移動1次，共有種情況，所以質(zhì)點回到原點的概率為.質(zhì)點從原點出發(fā)，每次等可能地向上?向下?向左或向右移動一個單位，共移動6次，可能的結(jié)果共有種情況，若質(zhì)點回到原點，則向左移動3次向右移動3次，或向上移動3次向下移動3次，共有種情況，若質(zhì)點回到原點，則向左移動2次向右移動2次，向上移動1次向下移動1次，則向左移動1次向右移動1次，向上移動2次向下移動2次，共有種情況，所以質(zhì)點回