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文檔簡(jiǎn)介
山東省九校2025年高三高考適應(yīng)性月考(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.2.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.3.己知集合,,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.5.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.6.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則7.在長(zhǎng)方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.在菱形中,,,,分別為,的中點(diǎn),則()A. B. C.5 D.9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.11.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.已知,其中是虛數(shù)單位,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價(jià)格分別為30元和20元,那么圓桶造價(jià)最低為________元.14.已知,為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為________________.15.用數(shù)字、、、、、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù),其中相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的有_____個(gè).16.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買物,人出八,盈三錢;人出七,不足四,問人數(shù)物價(jià)各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為:有幾個(gè)人合買一件物品,每人出8元,則付完錢后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價(jià)格?答:一共有_____人;所合買的物品價(jià)格為_______元.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.19.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng)的最小值.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點(diǎn),且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí),AC與平面PCD所成的角為?21.(12分)如圖1,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為的中點(diǎn),以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)如圖,在四棱柱中,平面平面,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長(zhǎng),若不存在說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.2.D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對(duì)循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.3.C【解析】
先化簡(jiǎn),再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,故選:C.本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.5.D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.6.C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.7.C【解析】
在長(zhǎng)方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長(zhǎng)方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示出,再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn),以為原點(diǎn),的方向?yàn)檩S,的方向?yàn)檩S,建立直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以.故選:B.本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題,難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題,如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.9.C【解析】
不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10.D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.11.A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小;若真數(shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.12.C【解析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè)桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價(jià),利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價(jià)為解法一:當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當(dāng)時(shí),圓桶的造價(jià)最低.所以故答案為:本題考查了基本不等式的應(yīng)用,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由,為正實(shí)數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實(shí)數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為:.本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15.【解析】
對(duì)首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】①若首位為奇數(shù),則第一、三、五個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù),其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù),此時(shí),符號(hào)條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè);②若首位數(shù)為偶數(shù),則首位數(shù)不能為,可排在第三或第五個(gè)數(shù)位上,第二、四、六個(gè)數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù),此時(shí),符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).綜上所述,符合條件的位自然數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為:.本題考查數(shù)的排列問題,要注意首位數(shù)字的分類討論,考查分步乘法計(jì)數(shù)和分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16.753【解析】
根據(jù)物品價(jià)格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價(jià)格為53元.即共有7人,商品價(jià)格為53元.本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)【解析】
(1),令,解不等式即可;(2),令得,即,且的最小值為,令,結(jié)合即可解決.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),,,設(shè)的根為,即有可得,,當(dāng)時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增.,所以,①當(dāng);②當(dāng)時(shí),設(shè),遞增,,所以.綜上,.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),處理恒成立問題時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理.18.(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,利用公式計(jì)算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對(duì)稱性,求出對(duì)應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而得出分布列,之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據(jù)題意,可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機(jī)變量的分布列如下表所示:所以,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.本題考查概率的計(jì)算,涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在解題時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19.(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)椋?,由余弦定理得,化?jiǎn)得,可得,解得,又因?yàn)?,所?(6分)(2)因?yàn)?,所以,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以的周長(zhǎng)的最小值為.20.(1)證明見解析;(2)當(dāng)時(shí),AC與平面PCD所成的角為.【解析】
(1)連接交于,由相似三角形可得,結(jié)合得出,故而平面;(2)過作,可證平面,根據(jù)計(jì)算,得出的大小,再計(jì)算的長(zhǎng).【詳解】(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F(xiàn)為垂足,連接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC與平面PCD所成的角,,,,,,時(shí),AC與平面PCD所成的角為.本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與線面角的計(jì)算,屬于中檔題.21.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離;解法二:由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,過點(diǎn)作的垂線,垂足,證明平面,計(jì)算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因?yàn)?,所?又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等邊三角形,且為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?,所?又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱錐的體積.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離,則三棱錐的體積,得.解法二:(1)同解法一;(2)因?yàn)?,平面,平面,所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過點(diǎn)作的垂線,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即為點(diǎn)到平面的距離.由(1
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