人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級下冊第03講 實際問題與二元一次方程組（1個知識點(diǎn)+4類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第03講實際問題與二元一次方程組課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①列二元一次方程組解決實際問題掌握列二元一次方程組解決實際問題的基本步驟，能夠熟練的列方程解應(yīng)用題。掌握基本等量關(guān)系，能夠熟練的根據(jù)題目設(shè)出未知數(shù)列出方程。知識點(diǎn)01列二元一次方程組解決實際問題列二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟：審題：弄清題意已經(jīng)題目中的等量關(guān)系。設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意設(shè)出兩個未知數(shù)表示題目中的兩個未知量。列方程：根據(jù)所設(shè)未知數(shù)以及等量關(guān)系列出方程組。解方程：解出所列的方程組。檢驗：檢驗方程組的解是否滿足實際問題。答：寫出答案。常見的基本等量關(guān)系：行程問題：速度×?xí)r間＝路程順?biāo)俣龋届o水速度＋水流速度逆水速度＝靜水速度－水流速度配套問題：實際數(shù)量比＝配套比商品銷售問題：利潤＝售價－進(jìn)價；售價＝標(biāo)價×折扣；利潤率＝利潤÷進(jìn)價×100%工程問題：工作效率×工作時間＝工作總量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率【即學(xué)即練1】1．甲、乙兩個班去年植樹時，甲班比乙班多種50棵樹，今年植樹時，甲班比去年多種了12%，乙班比去年多種了15%，甲班比乙班多種50棵，設(shè)去年甲、乙兩班分別種樹x棵、y棵，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練2】2．某中學(xué)七年級（1）班去體育用品商店買一些籃球和排球，供班上同學(xué)進(jìn)行體育鍛煉時使用，共買了2個籃球和6個排球，花570元，并且每個排球比籃球便宜25元．（1）求籃球和排球的單價各是多少；（2）商店里搞活動，有兩種套餐，①套餐打折：五個籃球和五個排球為一套餐，套餐打八折；②滿減活動：滿999減100，滿1999減200；兩種活動不重復(fù)參與，學(xué)校打算購買14個籃球，12個排球，請問如何安排更劃算？題型01順逆行問題【典例1】若一艘輪船沿江水順流航行120km需用3小時，它沿江水逆流航行60km也需用3小時，設(shè)這艘輪船在靜水中的航速為xkm/h，江水的流速為ykm/h，則根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【變式1】A地至B地的航線長1200千米，一艘輪船從A地順?biāo)_往B地需30小時，它逆水返回需要40小時，設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/小時，水速為y千米/小時，可列方程組（）A． B． C． D．【變式2】甲、乙兩地相距100千米，一艘輪船往返兩地，順流航行用4小時，逆流航行用5小時，那么這艘輪船在靜水中速度是_____千米/時．（）A．2.5千米/時 B．22.5千米/時 C．4.5千米/時 D．20.5千米/時【變式3】一架飛機(jī)在A、B兩地飛行，風(fēng)速為15km/h，它從A地順風(fēng)飛往B地需12.5h，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需13h．求：（1）飛機(jī)無風(fēng)時的平均速度；（2）兩地之間的航程．【變式4】今年“五一黃金周”，長江三峽沿途旅游再一次風(fēng)靡全國，其中忠縣石寶寨風(fēng)景區(qū)更是人山人海．“聯(lián)盟號豪華旅游客輪”在相距約270千米的重慶、石寶寨兩地之間勻速航行，從重慶到石寶寨順流航行需9小時，石寶寨到重慶逆流航行比順流航行多用4.5小時．（1）求該客輪在靜水中的速度和水流速度；（2）若在重慶港口、石寶寨兩地之間需建新碼頭便于游客休息觀光，使該客輪從重慶港到該碼頭和從石寶寨到該碼頭所用的航行時間相同，問重慶港與該碼頭兩地相距多少千米．題型02配套問題【典例1】某工廠現(xiàn)有95個工人，一個工人每天可做8個螺桿或22個螺母，兩個螺母和一個螺桿為一套，現(xiàn)在要求工人每天做的螺桿和螺母完整配套而沒有剩余，若設(shè)安排x個工人做螺桿，y個工人做螺母，則列出正確的二元一次方程組為（）A． B． C． D．【變式1】現(xiàn)用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可做4個盒身或做11個盒底，而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子．問用多少張紙板制盒身、多少張紙板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，設(shè)用x張紙板做盒身，y張紙板做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是（）A． B． C． D．【變式2】2023年杭州亞運(yùn)會期間，吉祥物瓊瓊、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個玩偶的進(jìn)價為60元，一個鑰匙扣的進(jìn)價為20元，該店家計劃用5000元購進(jìn)一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設(shè)購進(jìn)x個玩偶，y個鑰匙扣，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【變式3】用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身15個或盒底30個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有260張白鐵皮，用張制盒身可以正好制成整套罐頭盒．【變式4】在手工制作課上，老師組織七年級（2）班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒．七年級（2）班共有學(xué)生44人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人，并且每名學(xué)生每小時剪筒身50個或剪筒底120個．要求一個筒身配兩個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身，多少名學(xué)生剪筒底？【變式5】某口罩廠共有60名員工，每名員工每天可以生產(chǎn)250個罩面或1000根耳繩．已知一個罩面需要配兩根耳繩，口罩廠預(yù)備安排若干名員工生產(chǎn)罩面，其余員工都生產(chǎn)耳繩，若在此安排下，每天生產(chǎn)的罩面和耳繩剛好配套，問安排生產(chǎn)罩面和耳繩的人數(shù)分別是多少？題型03工程問題【典例1】現(xiàn)有一段長為5000米的馬路需要整修，由甲、乙兩個工程小組先后接力完成，甲工程小組每天整修200米，乙工程小組每天整修250米，共用時22天．設(shè)甲工程小組整修馬路x米，乙工程小組整修馬路y米，依題意可列方程組（）A． B． C． D．【變式1】為打造三墩五里塘河河道風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)，由A、B兩個工程小組先后接力完成，A工程小組每天整治12米，B工程小組每天整治8米，共用時20天，設(shè)A工程小組整治河道x米，B工程小組整治河道y米，依題意可列方程組．【變式2】在《二元一次方程組》這一章的復(fù)習(xí)課上，劉老師給出了下面的題目：在某市“精準(zhǔn)扶貧”工作中，甲、乙兩個工程隊先后接力為扶貧村莊修建一條4000米長的公路，甲隊每天修建200米，乙隊每天修建250米，一共用18天完成．（1）李東同學(xué)根據(jù)題意，列出了一個尚不完整的方程組，請寫出李東所列方程組中未知數(shù)x，y表示的意義：x表示，y表示；并寫出該方程組中△處的數(shù)應(yīng)是，□處的數(shù)應(yīng)是；（2）陳彬同學(xué)的思路是想設(shè)甲工程隊一共修建了x米公路，乙工程隊一共修建了y米公路．下面請你按照陳彬的設(shè)想列出方程組，并求出乙隊修建了多少天？【變式3】某公司要生產(chǎn)960件新產(chǎn)品，準(zhǔn)備讓A、B兩廠生產(chǎn)，已知先由A廠生產(chǎn)30天，剩下的B廠生產(chǎn)20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B廠生產(chǎn)30天，剩下的A廠可用15天完成，共需支付工程款81000元．（1）求A、B兩廠單獨(dú)完成各需多少天；（2）若公司可以由一個廠完成，也可由兩廠合作完成，但為保證質(zhì)量，加工期間公司需派一名技術(shù)員到現(xiàn)場指導(dǎo)（若兩廠同時生產(chǎn)也只需派一名），每天需支付這名技術(shù)員工資及午餐費(fèi)120元，從經(jīng)費(fèi)考試應(yīng)怎樣安排生產(chǎn)，公司花費(fèi)最少的金額是多少？【變式4】隨著康養(yǎng)醫(yī)療社會需求的進(jìn)一步增大，某康養(yǎng)中心正在擴(kuò)大規(guī)模，準(zhǔn)備裝修一批新房舍．若甲、乙兩個裝修公司合作，需6周完成，共需裝修費(fèi)為5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費(fèi)4.8萬元，康養(yǎng)中心研究后決定只選一個公司單獨(dú)完成（工作總量為1）．（1）設(shè)甲公司每周的工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，則可列出方程為；（2）如果從節(jié)約時間的角度考慮，你幫康養(yǎng)中心確定一下，應(yīng)選哪家公司？請說明理由；（3）如果從節(jié)約開支的角度考慮呢？請說明理由．題型04商品利潤問題問題【典例1】某商場計劃銷售一批運(yùn)動衣，能獲得利潤12000元．經(jīng)過市場調(diào)查后，進(jìn)行促銷活動，由于降低售價，每套運(yùn)動衣少獲利潤10元，但可多銷售400套，結(jié)果總利潤比計劃多4000元．求實際銷售運(yùn)動衣多少套？每套運(yùn)動衣實際利潤是多少元？設(shè)原計劃銷售運(yùn)動衣x套，原計劃每套運(yùn)動衣的利潤是y元．可列方程組為（）A． B． C． D．【變式1】某商場按定價銷售某種商品時，每件可獲利30元；按定價的八折銷售該商品5件與將定價降低20元銷售該商品8件利潤相等．設(shè)該商品的進(jìn)價、定價分別為x，y，則可列方程組為（）A． B． C． D．【變式2】列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進(jìn)葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進(jìn)價分別為5元、2元，售價分別為8元、5元．（1）求購進(jìn)兩種水果各多少千克？（2）8月，水果店以7月的進(jìn)價又購進(jìn)葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值．【變式3】2023年夏天，成都將舉辦第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會，成都掀起了一股熱愛體育的熱潮，為響應(yīng)積極鍛煉的同學(xué)們，西川中學(xué)計劃同時購進(jìn)一批籃球和排球，若購進(jìn)2個籃球和1個排球，共需要資金280元；若購進(jìn)3個籃球和2個排球，共需要資金460元．（1）求籃球和排球的價格分別為多少元？（2）學(xué)校計劃購進(jìn)兩種球類共20個，商場售出一個籃球，利潤率為25%，一個排球的進(jìn)價為50元．為了促銷，商場決定每售出一個排球，返還現(xiàn)金m元，而籃球售價不變，要使商場所有購買方案獲利相同，求m的值．【變式4】某電器經(jīng)銷商計劃同時購進(jìn)一批甲、乙兩種型號的微波爐，若購進(jìn)1臺甲型微波爐和2臺乙型微波爐，共需要資金2600元；若購進(jìn)2臺甲型微波爐和3臺乙型微波爐．共需要資金4400元．（1）求甲、乙型號的微波爐每臺進(jìn)價為多少元？（2）該店計劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的微波爐銷售共20臺進(jìn)行銷售，請問有幾種進(jìn)貨方案？請寫出進(jìn)貨方案；（3）該店計劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的微波爐銷售共20臺進(jìn)行銷售，其中甲型微波爐a臺，甲型微波爐的售價為1400元，售出一臺乙型微波爐的利潤甲為45%．為了促銷，公司決定甲型微波爐九折出售，而每售出一臺乙型微波爐，返還顧客現(xiàn)金m元，若全部售出購進(jìn)的微波爐所獲得的利潤與a無關(guān)，則m的值應(yīng)為多少？1．一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝76瓶．大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（）A． B． C． D．2．如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，下列方程組正確的是（）A． B． C． D．3．在學(xué)習(xí)完“垃圾分類”的相關(guān)知識后，小明和小麗一起收集了一些廢電池，小明說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池??！”小麗說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池數(shù)量就是你的2倍”．如果他們說的都是真的，設(shè)小明收集了x節(jié)廢電池，小麗收集了y節(jié)廢電池，則可列方程組為（）A． B． C． D．4．甲、乙兩種商品原來的單價和為300元．因市場變化，甲商品降價5%，乙商品提價20%，調(diào)價后，兩種商品的單價和比原來的單價和提高了10%．設(shè)甲種商品原來的單價是x元，乙種商品原來的單價是y元，可列出的方程組是（）A． B． C． D．5．2023年成都大運(yùn)會上，努力拼搏的不只有運(yùn)動員們，在賽場外，到處都能看到志者們忙碌的身影，大批大學(xué)生報名參與志愿者服務(wù)工作，某大學(xué)計劃組織本校學(xué)生志愿者乘車去了解比賽場館情況，若單獨(dú)調(diào)配30座（不含司機(jī)）客車若干輛，則有5人沒有座位；若只調(diào)配25座（不含司機(jī)）客車，則用車數(shù)量將增加3輛，并空出5個座位．設(shè)計劃調(diào)配30座客車x輛，該大學(xué)共有y名大學(xué)生志愿者，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．6．經(jīng)歷了三年疫情，2023年12月3日，終于迎來了全新的深圳市馬拉松比賽，總參賽規(guī)模為20000人，共來自37個國家和地區(qū)．某國家一共有50名男運(yùn)動員來深圳參加比賽，住在福田區(qū)某酒店，租住了該酒店若干間房，且剛好住滿，該酒店有三人間和兩人間兩種客房，三人間每天450元，兩人間每天360元，一天共需要住宿費(fèi)7920元，兩種客房各租住了幾間？設(shè)租住了x間三人間，y間兩人間，下列方程組正確的是（）A． B． C． D．7．某人帶了100元去市場買水果，他買了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，還剩30元．設(shè)哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．則下列說法中，正確的是（）A．1千克青提葡萄的價格可以是36元 B．若1千克哈密瓜的價格是12元，則1千克青提葡萄的價格是20元 C．若是方程x+2y＝70的解，則m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的單價 D．若m，n分別表示哈密瓜、青提葡萄的單價，則m，n一定是方程x+2y＝70的解8．老師利用兩塊大小一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按照圖①方式放置，再交換兩木塊兒的位置，按照圖②方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm9．為筑牢拒毒防線，提升青少年識毒能力，2022年秋季學(xué)期花溪區(qū)某校舉行“珍愛生命，遠(yuǎn)離毒品”知識競賽活動，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題加10分，答錯一題扣5分，不回答扣2分；一共10個題，每個隊的基本分均為0分，A、B兩個參賽隊前8題的答題情況如表，則a與b的值分別為（）參賽隊題目數(shù)量（題）答對（題）答錯（題）不回答（題）得分（分）A860256B8ab035A．a(chǎn)＝2，b＝6 B．a(chǎn)＝5，b＝3 C．a(chǎn)＝6，b＝2 D．a(chǎn)＝3，b＝510．圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻(xiàn)給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x﹣y的值應(yīng)為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．211．已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字和是9，若顛倒個位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)小63，則這個兩位數(shù)是．12．學(xué)校開展以環(huán)保為主題的演講活動，計劃拿出120元錢全部用于購買甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），用來獎勵表現(xiàn)突出的學(xué)生．已知甲種獎品每件15元，乙種獎品每件10元，則購買方案有種．13．小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，如圖所示，請你根據(jù)圖中的信息，若小明把50個紙杯整齊疊放在一起時，它的高度約是cm．14．某配餐公司需用甲、乙兩種食材為在校午餐的同學(xué)配置營養(yǎng)餐，兩種食材的蛋白質(zhì)含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白質(zhì)0.3單位0.7單位每克所含碳水化合物0.6單位0.4單位若每位中學(xué)生每餐需要21單位蛋白質(zhì)和40單位碳水化合物，那么每餐甲、乙兩種食材各多少克恰好滿足一個中學(xué)生的需要？設(shè)每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程組為．15．“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》中，現(xiàn)將1，2，3，4，5，7，8，9這八個數(shù)字填入如圖1所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等．若按同樣的要求重新填數(shù)如圖2所示，則x﹣y的值是，m﹣n的值是．16．2024年元旦，驛城區(qū)某校勤工儉學(xué)小組為籌集養(yǎng)老院春節(jié)文藝匯演費(fèi)用，他們用274元錢從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了西紅柿和豆角共40kg到菜市場去賣，西紅柿和豆角這天的批發(fā)價與零售價如表所示：品名西紅柿豆角批發(fā)價（單位：元/kg）6.27.2零售價（單位：元/kg）7.89則他們當(dāng)天賣完這些西紅柿和豆角能賺到多少錢可用于匯演費(fèi)用？17．某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機(jī)器人模型．已知A型機(jī)器人模型單價比B型機(jī)器人模型單價多200元，購買5臺A型機(jī)器人模型的費(fèi)用比購買7臺B型機(jī)器人模型的費(fèi)用多400元．（1）求A型，B型機(jī)器人模型的單價分別是多少元？（2）現(xiàn)在需要購買A型號機(jī)器人模型5臺，B型號機(jī)器人模型7臺，求共需要花費(fèi)多少錢？18．列方程解應(yīng)用題：某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的倍多15件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價和售價如下表：（注：獲利﹣售價﹣進(jìn)價）甲乙進(jìn)價（元/件）2230售價（元/件）2940（1）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品分別為多少件？（2）該超市第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折