人教版初中數(shù)學(xué)同步講義七年級(jí)下冊(cè)第06講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算專題集訓(xùn)（解析版）

第05講實(shí)數(shù)的運(yùn)算專題集訓(xùn)一．選擇題1．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“?”：a?b＝2a﹣b，例如：3?2＝2×3﹣2＝4．若代數(shù)式1﹣4b+2a的值是17，則b?a的值為（）A．2 B．4 C．8 D．﹣8【分析】首先根據(jù)a?b＝2a﹣b，可得：b?a＝2b﹣a；然后根據(jù)1﹣4b+2a＝17，求出2b﹣a的值即可．【解答】解：∵a?b＝2a﹣b，∴b?a＝2b﹣a，∵代數(shù)式1﹣4b+2a的值是17，∴1﹣4b+2a＝17，∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16，∴2b﹣a＝﹣8，∴b?a＝2b﹣a＝﹣8．故選：D．2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“”，其運(yùn)算規(guī)則為：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，則不等式3x≥x﹣2的解集為是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根據(jù)運(yùn)算定義列出算式，再解一元一次不等式．【解答】解：由題意得，3x﹣2×3≥x﹣2，解得x≥2，故選：B．3．若2023的兩個(gè)平方根是m和n，則m+2mn+n的值是（）A．0 B．2023 C．﹣4046 D．4046【分析】根據(jù)平方根的意義可得m+n＝0，mn＝﹣2023，然后代入式子進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解答】解：∵2023的兩個(gè)平方根是m和n，∴m+n＝0，mn＝﹣2023，∴m+2mn+n＝m+n+2mn＝0+2×（﹣2023）＝﹣4046，故選：C．4．設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是（）A．±1 B．±2 C．±3 D．±4【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則列出關(guān)于x與y的方程組，求解方程組得到x＝25，y＝﹣4，代入計(jì)算即可求出的平方根．【解答】解：x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，∴，解得：，∴，∴的平方根是±1，故選：A．二．填空題5．用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a☆b＝2a﹣3b+1．例如：2☆1＝2×2﹣3×1+1．若x☆（﹣3）＝2，則x＝﹣4．【分析】直接利用已知得出關(guān)于x的方程，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：x☆（﹣3）＝2＝2x﹣3×（﹣3）+1＝2x+10，解得：x＝﹣4．故答案為：﹣4．6．計(jì)算：＝2023．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，二次根式的性質(zhì)，化簡絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：＝﹣1+2+2022＝2023．故答案為：2023．7．在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個(gè)新運(yùn)算“Δ”如下：當(dāng)x≤y時(shí)，xΔy＝；當(dāng)x＞y時(shí)，xΔy＝y(tǒng)，則[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值為﹣9．【分析】根據(jù)新運(yùn)算列式計(jì)算即可．【解答】解：∵﹣9＜﹣3，4＞﹣3，∴原式＝×（﹣3）＝3×（﹣3）＝﹣9，故答案為：﹣9．8．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，則方程1※x＝﹣1的解為﹣1．【分析】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，可得：x2+2x＝﹣1，據(jù)此求出x的值為多少即可．【解答】解：∵a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，得：x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得：x＝﹣1，故答案為：﹣1．9．＝．【分析】先計(jì)算9的算術(shù)平方根、（﹣1）2009，再化簡絕對(duì)值，最后加減，即可求解．【解答】解：原式＝＝，故答案為：．10．計(jì)算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝3．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1＝9﹣3﹣2﹣1＝3，故答案為：3．11．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示．化簡﹣|a+b|++|b+c|﹣＝b+2c﹣a．【分析】利用數(shù)軸知識(shí)分析a、b、c的取值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義，絕對(duì)值的定義，立方根的定義計(jì)算即可．【解答】解：由圖可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|c|，|a|＞|b|，|c|＞|b|，∴﹣|a+b|++|b+c|﹣＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）﹣b＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c﹣b＝b+2c﹣a．故答案為：b+2c﹣a．12．用“☆”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a、b，都有a☆b＝b2+1．例如：7☆4＝42+1＝17，那么5☆3＝10；當(dāng)m為有理數(shù)時(shí)，m☆（m☆2）＝26．【分析】根據(jù)新運(yùn)算列式計(jì)算即可．【解答】解：5☆3＝32+1＝9+1＝10；m☆（m☆2）＝m☆（22+1）＝m☆5＝52+1＝26；故答案為：10；26．三．解答題（共19小題）13．（1）；（2）．【分析】（1）直接利用乘法分配律計(jì)算得出答案；（2）直接利用立方根的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣24×﹣（﹣24）×+（﹣24）×＝﹣12+4﹣3＝﹣11；（2）原式＝﹣16﹣6+6××2＝﹣16﹣6+18＝﹣4．14．計(jì)算：（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8；（2）﹣5+6÷（﹣2）×+|﹣4|；（3）；（4）﹣22+23÷﹣．【分析】（1）直接利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（3）直接利用乘法分配律計(jì)算得出答案；（4）直接利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8＝（﹣2﹣8﹣3）+8＝﹣13+8＝﹣5；（2）|﹣4|＝﹣5﹣3×+4＝﹣5﹣1+4＝﹣2；（3）＝×（﹣20）﹣×（﹣20）+×（﹣20）＝﹣16+15﹣10＝﹣11；（4）﹣22+23÷﹣＝﹣4+8×2+3＝﹣4+16+3＝15．15．規(guī)定兩個(gè)非零數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a?b：如果ak＝b，那么a?b＝k．例如：因?yàn)?3＝8，所以2?8＝3；因?yàn)椋ī?）2＝9，所以（﹣3）?9＝2．根據(jù)上述規(guī)定，解答下列問題：（1）填空：4?16＝2，3?27＝3；（2）求證：對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)p，m，n，總有p?m﹣p?成立．【分析】（1）由42＝16得出4?16＝2；由33＝27得出3?27＝3；（2）設(shè)p?m＝a，p?n＝b，則有p?m﹣p?n＝a﹣b，從而求出的值，根據(jù)題中給出的規(guī)定即可得出，從而問題得證．【解答】（1）解：因?yàn)?2＝16，所以4?16＝2；因?yàn)?3＝27，所以3?27＝3；故答案為：2，3；（2）證明：設(shè)p?m＝a，p?n＝b，則p?m﹣p?n＝a﹣b，依題意有，pa＝m，pb＝n，∴，根據(jù)規(guī)定即有：，．16．實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為，求代數(shù)式x2+（a+b）cdx+的值．【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)及倒數(shù)的定義可得a+b＝0，cd＝1，根據(jù)已知條件可得x2＝7，然后將其代入代數(shù)式中計(jì)算即可．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為，∴a+b＝0，cd＝1，x2＝7，原式＝7+0+0+1＝8．17．計(jì)算：．【分析】根據(jù)平方根與立方根的定義得到原式＝5﹣（﹣2）+2×，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，然后進(jìn)行實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝5﹣（﹣2）+2×＝5+2+1＝8．18．計(jì)算：．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的算術(shù)平方根計(jì)算即可．【解答】解：＝＝．19．計(jì)算：．【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根，再去絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可．【解答】解：原式＝＝＝3．20．計(jì)算：．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)乘方運(yùn)算，立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：＝＝＝．21．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，用“※”定義新運(yùn)算如下：（1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的結(jié)果是6，求m的值．（2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）結(jié)果為﹣508，求n的值．【分析】（1）根據(jù)題目所給新定義的運(yùn)算法則，得出m2+2＝6，根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）根據(jù)題目所給新定義的運(yùn)算法則，得出（n﹣2）3+4＝﹣508，根據(jù)立方根的定義即可求解．【解答】解：（1）由題意，得2※m＝m2+2，∵2※m＝6，∴m2+2＝6，則m2＝4，∴m＝±2；（2）由題意，得4※（n﹣2）＝（n﹣2）3+4，∵4※（n﹣2）＝﹣508，∴（n﹣2）3+4＝﹣508，則（n﹣2）3＝﹣512，∴n﹣2＝﹣8，∴n＝﹣6．22．計(jì)算：|﹣3|．【分析】首先計(jì)算乘方、開方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝3+（﹣4）÷4﹣3＝3﹣1﹣3＝﹣1．23．計(jì)算題（1）|（2）（﹣2）3×【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、乘方、立方根、絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)立方、算術(shù)平方根、立方根的意義化簡后，再進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝﹣8×4+4﹣3＝﹣32+4﹣3＝﹣31．24．計(jì)算：（1）﹣22+|﹣2|+；（2）+1．【分析】（1）利用有理數(shù)的乘方法則，絕對(duì)值的意義，立方根的意義和二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)，立方根的意義化簡運(yùn)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣4+2﹣3+2＝﹣（4+3）+（2+2）＝﹣7+4＝﹣3；（2）原式＝3﹣4+1＝﹣1+1＝0．25．（1）計(jì)算：；（2）已知5x+19的立方根是4，2y﹣3的算術(shù)平方根是3，求的平方根．【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（2）根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的定義求解．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）∵5x+19的立方根是4，∴5x+19＝43＝64，∴x＝9，∵2y﹣3的算術(shù)平方根是3，∴2y﹣3＝32＝9，∴y＝6，∴，∵，∴的平方根為：±5．26．計(jì)算：．【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根、去絕對(duì)值符號(hào)，再計(jì)算加減可得．【解答】解：原式＝9﹣3+2﹣（﹣2）＝9﹣3+2﹣+2＝10﹣27．計(jì)算：（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）；（2）；（3）﹣；（4）．【分析】（1）先變有理數(shù)的加減運(yùn)算為加法運(yùn)算，再進(jìn)行求解；（2）先計(jì)算有理數(shù)的乘除法，再計(jì)算加減運(yùn)算；（3）先計(jì)算立方、變除法為乘法，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減；（4）先計(jì)算絕對(duì)值、算術(shù)平方根和立方根，再計(jì)算加法．【解答】解：（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）＝4+8﹣6＝6；（2）＝17﹣4×5﹣1×＝17﹣20﹣＝﹣3；（3）﹣＝﹣8+（﹣+）×24＝﹣8+×24﹣×24+×24＝﹣8+8﹣20+18＝﹣2；（4）＝2﹣﹣2﹣4＝﹣4﹣．28．計(jì)算：+﹣．【分析】原式利用平方根，立方根定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．29．計(jì)算：（1）；（2）．【分析】（1）利用平方根以及立方根的性質(zhì)化簡，再利用實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）利用平方和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡，結(jié)合實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣2+5+2＝5，（2）原式＝＝．30．（1）計(jì)算：；（2）已知a2＝16，，且ab＜0，求a+b的算術(shù)平方根．【分析】（1）本題考查了立方根，平方根的定義．（2）本題考查了立方根，平方根和算術(shù)平方根的定義．【解答】解：（1）＝3+（﹣2）﹣2＝﹣1；（2）由題意得：a＝±4，b＝8，∵ab＜0，∴a＝﹣4，b＝8．∴a+b的算術(shù)平方根為．31．已知x，y為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算※，滿足x※y＝xy+x+y+1．（1）求﹣2※4的值；（2）任意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，分別計(jì)算x※y和y※x，并比較兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果，初步判斷此運(yùn)算是否滿足交換律？（3）對(duì)于實(shí)數(shù)a＝2、b＝﹣1、，這種運(yùn)算※是否滿足結(jié)合律（a※b）※c＝a※（b※c），請(qǐng)通過計(jì)算判斷．【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算，求值．（2）選兩個(gè)實(shí)數(shù)，運(yùn)算兩次．比較結(jié)果，做出判斷．（3）分步計(jì)算求出（a※b）※c和a※（b※c