新高考數(shù)學(xué)2017-2020浙江省不分文理四年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（解析版）

新高考17-20浙江不分文理四年真題分類(lèi)匯編

一、拿八口

一、選擇題

1.（2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷）設(shè)集合S,T,SIN",TGN*,S,7中至少有兩個(gè)元素，且S,T滿足:

①對(duì)于任意x,y^S,若在y,都有“WT

②對(duì)于任意x,yeT,若x<y,則

x

下列命題正確的是

A.若S有4個(gè)元素,則SUT有7個(gè)元素

B.若S有4個(gè)元素,則SU7有6個(gè)元素

C.若S有3個(gè)元素,則SU7有4個(gè)元素

D.若S有3個(gè)元素,則SUT有5個(gè)元素

【答案】A

【解析】首先利用排除法:

若取S={1,2,4},則丁={2,4,8},此時(shí)ST={1,2,4,8},包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)。;

若取S={2,4,8},則7={8,16,32},此時(shí)S7={2,4,8,16,32},包含5個(gè)元素，排除選項(xiàng)

C；

若取S={2,4,8,16},則7={8,16,32,64,128},此時(shí)ST={2,4,8,16,32,64,128},包含7

個(gè)元素，排除選項(xiàng)B；

下面來(lái)說(shuō)明選項(xiàng)A的正確性：

設(shè)集合S={〃],〃2，〃3，〃4}，且PI<P2<P3<P4，Pl，P2，P3，P4eN*，

則P|P2<P2P4,且P1P2，P2P4cT,則%"eS,

P\

同理義eS,—eS,—GS,—eS,—GS,

PlP3PlPlPl

若P1=l,則P2N2,則久<〃3,故m=P2即，3=局，

〃2P1

又“啜吟”故，登i所以

故5={1,02，夕；,?：},此時(shí)區(qū)故矛盾，舍.

若P]N2,則上<以<23，故且=。2，衛(wèi)=Pl即凸==P；，

PlPlPlPl'

又〃4,故二所以〃4=p：,

PlPl〃3P3P\

故S={P],p：,p：,p：},此時(shí){p；,p：,p；,p：,p：kT.

若qGT,則geS,故工=p；,i=l,2,3,4,故夕=p；'\i=1,2,3,4,

PiPi

即qG{p：,P；,p；,",P：},故{P：,Pi，Pi，pf,PI}=T,

此時(shí)SuT=伍,4,E，",p：,p：,p；,4}即ST中有7個(gè)元素.

故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)

此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理

解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌

握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

2.(2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知集合尸={x|l<x<4},Q={2<x<3},則PQ=()

A.{x|l<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|3<x<4}D.{x|1<x<4}

【答案】B

【解析】PI2=(1,4)I(2,3)=(2,3)

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1),則也&4

()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

【答案】【答案】A

【解析】由于0A={-1,3},則(0A)B={-1}.故選A.

4.(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,3},則加4=()

A.0B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】c

解析：￡/={1,2,3,4,5},A={1,3},則-A={2,4,5}.

5.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知集合尸={x|-l<x<l},Q={x|0<x<2},那么尸Q=

()

A.㈠⑵B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)

【答案】A

【解析】PQ取P,Q集合的所有元素，即T<x<2.故選A.

【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算

二、函數(shù)

一、選擇題

1.(2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知R且ab/0,^(x-a)(x-b)(x-2a-b)>0在x>0上恒成立,則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【解析】因?yàn)閍bHO，所以且設(shè)/(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-力，則/(x)零

點(diǎn)

為Xi=a,x2=h,x3-2a+b

當(dāng)a>()時(shí)，則工2<七，X|>0,要使/(x)NO,必有2a+b=a,且h<0,

即，=-?,且6<0,所以。<0；

當(dāng)a<0時(shí)，則/>工3，當(dāng)<0，要使/(x)20，必有6<0.

綜上一定有h<0.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分類(lèi)討論思想，是一道中檔

題.

x,x<0,

2.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)設(shè)“，人wR,函數(shù)/。)=八、1八，八若函數(shù)

-x--(a+l)x'+ar,x>0.

〉=/(*)-依-加恰有3個(gè)零點(diǎn)，則()

A.a<-\,b<0B.a<-\,b>0

C.a>-\,b<0D.a>-1,b>0

【答案】C

【解析】解法一：設(shè)g(x)=f(x)-ax-。.

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=(\-a)x-b,此時(shí)最多一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)xNO時(shí)，g(x)=^x3-^(a+l)x2-b,g'(x)=x2-(a+l)x,

若a+lMO,即。4-1,g'(x)2O,g(x)在［0,e)上遞增，此時(shí)g(x)最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;

若。+1>0,即。>一1時(shí)，又g'(x)20知g(x)在5+1,內(nèi))上函數(shù)遞增，在［OM+D上函數(shù)遞減.此

時(shí)函數(shù)g(x)最多有2個(gè)零點(diǎn)；

要使g(x)=/(x)-5-。恰有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)="r)-ar-〃必滿足在(-0,0)上有1個(gè)零

點(diǎn)，

在［0,+00)上有2個(gè)零點(diǎn).

卜方>0

i

如圖，可知，”<0且，131,,解得b<0,I—a>0,b>——{a+\),

\-a-(67+1)--(a+l)(a+l)--b<06

132

解法二：當(dāng)x<0時(shí)，x^ax+b,最多一個(gè)零點(diǎn).(取決于x=3與0的大小)，所以關(guān)鍵研究

\-a

當(dāng)時(shí)，方程^xi-^(a+］)x2+ax=ax+b的解的個(gè)數(shù)，即

11

匕=：d+2+X，二［X六(，利用奇穿偶回畫(huà)右邊的三次函數(shù)g。)的圖象，分類(lèi)

討論如下.

33

①當(dāng)彳(。+1)<0,即。<一1時(shí)，x=0處為偶重零點(diǎn)反彈，x=「(a+l)為奇重零點(diǎn)穿過(guò)，又g(x)

22

在［0,+00)單調(diào)遞增，故與y=〃最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)T(a+l)=O,即a=-l時(shí)，x=0處為3重零點(diǎn)穿過(guò)，也不符合題意.

y

/:

O]

33

③當(dāng)；（a+l）>0,即。>一1時(shí)，x=0處為偶重零點(diǎn)反彈，》=彳（。+1）為奇重零點(diǎn)穿過(guò)，若Z?<0,

22

則g（x）與y=b可以有兩個(gè)交點(diǎn)，且同時(shí)需》=/也<0,故b<0.故選C.

3.（2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=,,y=log.（x+；）（a>0,且awl）的圖

象可能是（）

【答案】D

【解析】當(dāng)0<“<1時(shí)，函數(shù)）'=/的圖象恒過(guò)點(diǎn)（°」），且在R上單調(diào)遞增；+的

圖象恒過(guò)點(diǎn)2'在'2上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D滿足條件.當(dāng)時(shí)，函數(shù),優(yōu)的圖

象恒過(guò)（0,1）,在R上單調(diào)遞減；）的圖象恒過(guò)點(diǎn)（E'°）,在（一展+8）上單調(diào)遞增,

各選項(xiàng)均不符合.

4.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷）函數(shù)丁=2.sin2x的圖像可能是（）

【答案】B

解析：設(shè)/(x)=2?sin2x,則/(一幻=2卜%皿-2?=才飛吊2%=一義*，所以該函數(shù)是一

JI—

個(gè)奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除A,B,又/(5)=22sin〃=0,排除C,故選D.

5.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷)若函數(shù)/(幻=/+以+/,在區(qū)間［0」］上的最大值是加，最小值是加，

則M-加()

A.與。有關(guān)，且與人有關(guān)B.與。有關(guān)，但與人無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與〃無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與。有關(guān)

【答案】B

【解析】(特值法)取。=0,。=0得M-m=l;取a=0,b=l得/一加=1;取a=l/=0得

M—m=2,故M—m與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān).故選B.

(特例法)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸小于。時(shí)，；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸大于1吐M-m=-(\+a);故加一根

與。有關(guān)，與人無(wú)關(guān).故選B.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與最值

二、填空題

2

6.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知aeR,函數(shù)=ar，-x.若存在feR,使—/⑺區(qū)耳，

則實(shí)數(shù)a的最大值是.

【答案】|

2?

【解析】解法一：存在fwR,使得I/Q+2)—/⑺區(qū)即|。(，+2)3-《+2)-〃3+，區(qū)§,

2?4

E|J|2a(3r+6/+4)-2|<-.設(shè)相=3『+6/+3=3(/+1y+1e［l,+oo),得一<a<一，所以

337H3m

4,,4

0<6^<—,所以，的最大值為

t+2)

解法二：定積分的幾何意義，.f'(x)=3加-1,則I/Q+2)-f(t)P|Jf(sW~.故只需求

Ij/'(x)公I(xiàn)的最小值.不妨設(shè)a>0.根據(jù)定積分的幾何意義知，只需(1月］，故

ID

x—4xN4

7.(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷)己知4eR,函數(shù)/(x)={,'當(dāng)4=2時(shí)，不等式

x~—4x+3,x<A

/(x)<0的解集是,若函數(shù)/(幻恰有2個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍是

【答案】{x|l<x<4},(1,3](4,+oo)

x-4,x22

解析：當(dāng)2=2時(shí),f(x)=<

x2-4x+3,x<2

若x22,f(x)-x-4,x-4<0得x<4,于是2Wx<4；

若x<2,f(x)=x2-4x+3,_4x+3<0得1<%<3,于是1<XW2；

/.不等式/(x)<o的解集為｛x|l<x<4｝；

第二空兩種解法

方法一：代數(shù)法(分類(lèi)討論兩段函數(shù)根的個(gè)數(shù))

①當(dāng)2W4時(shí)，由于/(x)=x-4(x2/l)有一個(gè)零點(diǎn)，問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x<4時(shí)，

/(x)=%—4x+有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)閂—4x+3=0=>x=l,x=3,只需要1<4W3；

②當(dāng)；1>4,由于/(x)=x—4(x22)無(wú)零點(diǎn)，問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x<%時(shí)，/(x)=f—4x+3有

兩個(gè)零點(diǎn)，

而;1>4,當(dāng)x<4時(shí)，/(幻=%2-4x+3有兩零點(diǎn)1,3滿足條件；

綜上可知，1<%W3或%>4.

方法二：幾何法(圖像觀察)

lx=A

當(dāng)直線x=/l從左到右的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)1<4W3或4>4時(shí);

JQ—4x2

f(x)=\'與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，

x-4x+3,x<A

即人的取值范圍是1<4<3或；1>4.

8.(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值

錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞

x+y+z-100

翁、雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則,1，當(dāng)z=81時(shí)，x=______,y=______.

5x+3y+-z=100

【答案】x=S,y=\l

x+y=19[x=8

解析:解方程組《得

.5x+3y=73>=11

9.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知aeR,函數(shù)/(x)=x+g-a+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則

。的取值范圍是.

【答案】a<4.5

【解析】(絕對(duì)值幾何意義)

令"X+—.Xe[l,4],則re[4,5],所以/Q)="a|+a"e[4,5]的最大值是5.

X

?,.a<4,

f(t)=\t-a\+a=<.—I

當(dāng)aW4時(shí)，/(，)=，最大值為5,成立；

當(dāng)a>4時(shí)，〃(“)=卜—。|+同=|。一4+|。一0|,/44,5],其幾何意義為數(shù)軸上的數(shù)a到數(shù)行口數(shù)

a到數(shù)0的距離之和最大值為5,則4<aW4.5.綜上，aW4.5.

法二:因?yàn)?(0=卜一4+a,fe[4,5]最大值為max{/(4),/'(5)},

/(4)=|4—a|+a=5f/(4)=|4-a|+a<5a=4.5a<4.5

即或〈，解得《或v，所以a44.5.

/(5)=|5-a|+a?5-|7(5)=|5-a|+a=5a<5a<5

【考點(diǎn)】絕對(duì)值，函數(shù)最值

三、導(dǎo)數(shù)

一、選擇題

1.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)丁=/'(X)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=/(x)的

圖象可能是

(第7題圖)

CD

【答案】D

【解析】(定義法)導(dǎo)數(shù)大于零,原函數(shù)遞增，導(dǎo)數(shù)小于零,原函數(shù)遞減,對(duì)照導(dǎo)函數(shù)圖象和原函數(shù)圖

象.故選D.

(特例法)取導(dǎo)函數(shù)/'(x)=(x+2)(x—l)(x—4),勾畫(huà)原函數(shù)/(x)圖象.故選D.

【考點(diǎn)】函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)

二、填空題

三、解答題

2.（2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷）已知l<aW2,函數(shù)，（x）=e*—x-a,其中e=2.71828…為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)y=/(x)在(0，+8)上有唯一零點(diǎn)；

(11)記迎為函數(shù)丁=/(力在(0，+8)上的零點(diǎn)，證明：

(i)Ja-14X。4，2(a-1)；

A

(ii)xo/(eo)>(e-l)(a-1)?.

【答案】(D證明見(jiàn)解析，(ID(i)證明見(jiàn)解析，(ii)證明見(jiàn)解析.

【解析】(I)Qf'(x)=統(tǒng)-1,Qx>0,.>I,/.f'(x)>0,f(x)在(0,-boo)上單調(diào)遞增,

Ql<a<2,.\/(2)=?-2-a>?-4>0,/(0)=1-a<0,

所以由零點(diǎn)存在定理得/*)在(0,+°。)上有唯一零點(diǎn)；

(ID(i)Q/(Xo)=O,；"。一天―a=0，

ci—1?XgWJ2(a—1)e°—x?！?<x^~W2(e11—x()—1)>

V**2*

令g(x)="—(0<x<2),〃(x-E(0<X<2),

一方面：/?'(無(wú))=e*-l-x=%(x),4'(%)="-1>0,

:.h'(x)>〃'(())=0,:.h(x)在(0,2)單調(diào)遞增，.?/(x)>〃(0)=0,

2

ex-x-l-->0,2(er-x-1)>x2,

2

另一方面：Ql<6r<2/.^—1<1,

所以當(dāng)天21時(shí)，Ja-lMx。成立,

因此只需證明當(dāng)0vxvl時(shí)g(x)=ex-x-1-x2<0,

因?yàn)閤v

g'(x)=e—l—2x=gl(x),g：(x)=e—2=0=>x=In2

當(dāng)xw((),ln2)時(shí)，g；(x)〈0，當(dāng)xw(ln2,l)時(shí)，&'(幻>0，

所以g'a)vmax{g'(0),g'(l)},Qg'(0)=0,g'(l)=e-3v0,.〈g'3v0,

???其乃在（0,1）單調(diào)遞減一,.8（%）<8（0）=0，.??d一4_1<42,

綜上，e°-xo—1?W2(e"—x0—1),■Jci-lWWJ2(a—1)?

fl

(ii)f(Xo)=//(*)=//(%0+a)=/[(e"-l)x0+tz(e-2)]>

Qt'(x0)=2(e"-1)%()+a(e"—2)〉0,y/a—1Vx。VJ2(a-1),

.i.f(/)2f(x/a-1)-Ja-a-1+a(e0—2)]=(e"—1)(。—1)+a1a-1(e"—2),因?yàn)?/p>

l<a<2,所以e">e,aN2(a—l),

二.7(%)2(e—l)(a—1)+2(a—1)Ja—l(e“-2)>

只需證明2(a-1)&二i(e"-2)N(e-l)(a-I)2,

即只需證明4(e"-2)2Z(e—l)2(a—l),

令s(a)=4(e"-2>-(e-1)2(a-1),(1<a<2),

則s'(a)=8e"(e"-2)-(e-l)2>8e(e-2)-(e-l)2>0,

5(a)>5(1)=4(e-2)2>0,即4(ea-2)2>(e-l)2(a-1)成立，

因此Xo/(e">)2(e—l)(a-l)a.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力

描述難題.

3.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知實(shí)數(shù)awO,設(shè)函數(shù)/(x)=mnx+^/^7,x>0.

3

(1)當(dāng)。=一[時(shí)，求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(II)對(duì)任意Xwd，E)均有f(x)V立，求。的取值范圍.

e2a

注：e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

【答案】【意圖】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和

綜合應(yīng)用能力。滿分15分。

【解析】(1)當(dāng)。=-°時(shí)，/(x)=--lnx+V1+%.x>0

44

/,(t)=_A+I=(7^-2)(27171+1)

4x2jl+x4xjl+x

所以，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,yo)

1口

(11)由“4,以，得。<小?

當(dāng)0<q,也時(shí)，/(%)?—,等價(jià)于g—獨(dú)三—2/HX..0

44aaa

令r=1,則f..2后

a

設(shè)g?)=產(chǎn)石-2*1+x-llnx，t..2y/2

1+x

貝ijg(t)=&t-一21nx

(i)當(dāng)天￡；,+8卜j,

l+-?2&

X

則g(x)..g(2&)=8區(qū)-4&J1+x-21nx

記p(x)=4>/x-2應(yīng)Jl+x-Inx

2yX+1-\[^2.X-Jx+1

xjx+1

X\/x+l(\/x+l)(Jx+l+yjlx)

列表討論:

X2（/1(1,+00)

7

“（X）—0+

P(X)M；）單調(diào)遞減極小值MD單調(diào)遞增

p(x)..p(1)=0

g?)喇2后)=2p(x)=2〃(x)0

/..、wr11、2〃、zLT、-2\/xbvc-(x+1)

GO當(dāng)x—時(shí)，g?)?.g(、1+—)=---------尸——-

e7VxJx

令q(x)=2Glnx+(x+1),xw

bvc+2

則0(%)=+l>0

故式X）在上單調(diào)遞增，”（x）,,夕（；），

由(i)得式3)=_^^〃(；)<一^^〃(1)=0

q(x)<0"g（舊=-警＞。

由(i)(〃)知對(duì)任意xe，?,+(?],fe[275,+oo),g(f)..O,

即對(duì)任意xeJ，+00］，均有/（X）”~，

（何

綜上所述，所求的〃的取值范圍是0，\-.

\_

4.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷）（本題滿分15分）已知函數(shù)f（x）=?-Inx.

⑴若在％=內(nèi)，々（再處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/Ui）+/（%2）＞8-81n2；

⑵若aW3-41n2,證明：對(duì)于任意攵＞0,直線y=日+。與曲線y=/（x）有唯一公共點(diǎn).

【答案】【解法1】（1）函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)/（%）=」=一」,

2jxx

由/（須）=/'（巧）得

1____1___1___1_

2-y/^i-X2JX?々

因?yàn)橥?，所?/p>

-11--1=—1

玉x22

由基本不等式得

g1y=在+嘉22^^

因?yàn)閄1。了2，所以

xxx2>256

./■(%)+f(x2)=g-ln(x,x2).

設(shè)

g(x)-Inx.

則

g'(x)=[(4-4).

4x

所以

X(0,16)16(16,+oo)

g'(x)—0+

g(x)2-41n2/

所以g(x)在［256,+8)上單調(diào)遞增，故

8(中2)>g(256)=8-8In2,

即，(玉)+/(%2)>8—8心2

(2)令機(jī)=建他外,n=(包當(dāng)2+1,則

k

f(m)-km-a>\a\+k-k-a>0

,1。7、/J&I+1八

f(H)x—kn—a<〃z(一尸----k)?〃(—~r=—&)<0

所以，存在x0使

/(%)=依o+a,

所以，對(duì)任意的。sR及ke(0,+oo)，直線y=kx+a曲線y=/(x)有公共點(diǎn).

由/(%)=丘+。得

,yjx-InX-。

K=------------

X

設(shè)

,/、y[x-ynx-a

h(x)=------------

x

則

如)=————=_g(x)T+"

廠X

其中g(shù)(x)=^--\nx.

由(I)可知g(x)2g(16),又aW3-41n2,故

-g(x)-1+aW-g(16)-l+a=-3+41n2+aW0

所以"(x)WO,即函數(shù)/z(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，因此方程7(x)-依-a=0至多1個(gè)實(shí)根.

綜上，當(dāng)aW3-41n2時(shí)，對(duì)于任意左〉0,直線y=去+a與曲線y=/(x)有唯一公共點(diǎn).

【解法2】(1)/，(%)=^=-1，/'(芭)=/'(工2)=7^=2(嘉+嘉)=>7^>16

令，=7^>16,/(X,)+f(x2)=-ln(x(x2)=1-2Inr=g(z),

12r-4

g，⑺=5-7=3->0,故g(f)在(16,+oo)上單調(diào)遞增，g?)>g(16)=8-81n2

(2)直線y=fcc+a與曲線y=/(x)有唯一公共點(diǎn)，則a=6-lnx-依有唯一解，即

y=a與y=4-In尤一五有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令h⑴=t-2舊f-k『,

當(dāng)女時(shí)，△<(),-2kt2+t-2<0,即"(f)WO,此時(shí)/z(f)單調(diào)遞減，又f-0時(shí)，

/z(f)—>+00Jf+OO時(shí)，h(t)—>-00,故〃(X)單調(diào)且人(元)￡/?,即%(x)=a有唯一解，

當(dāng)我>-1-時(shí)，h(t)=t。_2kt=片*

22,A>0

16tt

k=

又廣。)=\-=-—,即"4,

2\JxxItt216

IInJ.；ZX2_,—2%廣+f—2t

此時(shí)/?(r)=7----2kt------------=---2Inf+1,

tt2

f—4

又““)=——，re(0,4),//,(/)<0,fe(4,+oo),〃Q)>0,

2t

故7zQ)>〃(4)=3—41n2,即aW3—41n2.

5.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知函數(shù)/(x)=(x—J2x—1)"*(x2g).

(I)求/1(求的導(dǎo)函數(shù);

(II)求/(X)在區(qū)間+00)上的取值范圍.

『秋安』小\(2—V2x-l)(x-l)eA111

【答案】(1)/(x)=-------.------(x>—(2)[0,--)=]

。2元一122yJe

【解析】(1)因?yàn)?x-缶-1)'=1-——，(4")’=一二，

V2x-1

所以/3=a一看

⑵由/'(X)=(2427)(曰￡1=0

解得x=l或x=*.

2

因?yàn)?/p>

1_j)55、

X1吟(5,+8)

22

fXx)—0+0—

I.A

12

/（X）—e20晨

22

/----(X—1)-

又/(x)=(X-J2x-I)e-X=~7^=.>0,

x+\/2x—1

所以/（%）在區(qū)間g,+00）上的取值范圍是［0,.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的最值

四、數(shù)列

一、選擇題

1.（2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷）已知等差數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和S”公差分0,幺41.記"=S2,為+i=S,+2-S2",

d

〃eN*，下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=a2+a（＞B.2仇=歷+〃6C.a；=a2a$D.b｝=b2bs

【答案】D

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由4+4=2+6

可得，2%=4+。6，A正確；

a

對(duì)于B，由題意可知，bn+l=S2n+2~S2n=^,,+1+2n+2>a=52=4+。2,

/.b2=a3+a4,%=%+。8，匕6=。11+。12，仇=。15+。16.

+a

/.2b4=2(%+4)，b2+b6=%+%+4ii2■

根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由3+11=7+7,4+12=8+8可得

偽+4=/+&+41+/=2(%+%)=次，B正確；

對(duì)于C,a；—a,4=(6+3d)—(4+d)(4+7d)=2d?—2a、d-2d(d—4)，

當(dāng)q="時(shí)，a；=a2Og,C正確；

對(duì)于D,氏=(q+例)2=(2勾+13d1=4a；+52a/+169屋，

b2ba=(q+/)(%+G]6)=(2a1+54)(24+29d)=4a；+68qd+145t/2,

闿—偽4=24d2_]6^d=8d(3d_2aJ.

當(dāng)d>0時(shí)，at<d,3d—24=d+2(d—q)>0即一匕2々>0；

當(dāng)d<0時(shí)，a｛>d,二3d-2q=d+2(d—q)<0即b：-3/>0，所以b：—<0>0,D

不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知。，beR,數(shù)列｛《｝滿足4=a,aIIti=a；,+b,〃eN*,則

()

A.當(dāng)6=g時(shí)，?10>10B.當(dāng)〃=；時(shí);4o>lO

C.當(dāng)6=-2時(shí)，即>>10D.當(dāng)匕=Y時(shí)，aw>10

【答案】A

【解析】解法一：對(duì)于B,由*+(=(),得x=g.取4=g,則4=；<10,所以/<10,

不合題意；

對(duì)于C,由/一工一2=0，得％=2或%=-1.取4=2,則a〃=2<10,所以qo<lO,不合題意；

對(duì)于D,由/一工一4=0,得苫=生叵.取《,=匕膽，則q=2<10,所以《。<10,不合題

22

意.

對(duì)于A,6f=a2+->-,a,=(a2+-)2,tz=(tz4+a2+-)2+->—+-=—>1,

22222444216216

%-a“>°，/“｝遞增,當(dāng)"24時(shí),&k=a+￡>]+L3，.吟>,，/>"|,,?>:，迭

4Z

a?"an220%"%"

乘法得駒Afly,.〔aioAZ多>10,A正確.故選A.

a4264

解法二:借助圖形

其中選項(xiàng)B,C,力中均含有不動(dòng)點(diǎn)，由于。的不確定性，故都不能說(shuō)明40>10.故選A.

3.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷）已知q,4,4，4成等比數(shù)列，且4+%+“3+。4=ln（4+生+“3），

若4〉1,則()

A.4V<。4B.<。4

C.4<。3，。2>&D.a]>a3,a2>a4

【答案】B

解析：由a1+%+%+%=ln(q+4+生)的結(jié)構(gòu)，想到對(duì)數(shù)放縮最常用公式InxWx-l,

所以q+。2+%+。4=1n(q+。2+/)Wq+4+/一1，得至iJ%W-l,于是公比</<().

若4W—1,則+生+。3+。4=%(1+,)(1+/)W0,

而％+生+%=4(l+q+d)2%>1，即ln(q+%+%)>。，矛盾，

2

所以一1V夕vO,于是6=%(1->0,a2-a4=a[q(i-q)<0,故選B.

二、填空題

4.(2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知數(shù)列｛而滿足區(qū),=〃"；",則S3=.

【答案】10

【解析】因?yàn)閍,,=,所以%=],々=3,%=6.

即§3=4+。2+。3=1+3+6=10.

故答案為:10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題.

三、解答題

5.(2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷)已知數(shù)列｛a,,｝,｛d｝,｛c“｝中，

b*

4="=q=l,c=a-a,c=-^-c?(neN).

nll+tnn+l2+2

(I)若數(shù)列｛d｝為等比數(shù)列，且公比4>(),且4+4=6伍，求g與小的通項(xiàng)公式：

(H)若數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：c,+c2++%<1+工.

a

14""+2

【答案】(Dq，,a〃=.；(II)證明見(jiàn)解析.

【解析】(I)依題意優(yōu)=1,%=4，%=q2,而a+偽=6&,即l+q=6q2,由于q>0,所以

解得q=g,所以"=擊.

1

所以a+2=擊，故，用=卒?%=4?%，所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，

所以q,=4"，

所以。“+1-4=￡,=4"7(〃22,〃677*).

.4"T+2

所以a“=q+1+4+…+4=---.

ch

(II)依題意設(shè)〃=l+(n-l)d=d〃+l-d,由于口^二7匚

所以一^=7^("N2,〃eNI,

^,.b_b_5且y

故g=工—?=|n2n3

bbb

Cn-lCn-2C2C\%n%43'

+「

b.b2\+d(11)(.4?

bb

d\bn%J

nn+ld[bnb,l+]JI

所以q+c+L+c”=(1+工)HJ____i_Y

2__YL(\

bl刈也^3J也

=m〕.

ld\%J

所以〔"/-土卜+%

由于d>0,伉=1,所以2+1>0,

即q+c,+…+c“<1H—，nGN*.

d

【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.

6.(2019年高考數(shù)學(xué)浙江卷)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，a3n4,4=S3.數(shù)列｛2｝滿足：對(duì)

任意成等比數(shù)列.

“eN*,S?+bn,S?+l+b?,S“+2+?

(I)求數(shù)列｛q｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

(II)記c”=,neN*?證明：q+。2++c“<2&,HGN

[a,+2d=4,

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛?！ǎ墓顬?,由題意得「山公々解得4=0,4=2,

M+34=3。]+3d,

從而4=2〃-2,〃￡N*,所以3="—〃，〃￡N*.

解法一：由S〃+〃，S〃jb“,Sm+d成等比數(shù)列得0川+4)2=0+4)0.2+b),

解得2SS+2)，所以。="+〃，〃￡N*.

a

S+bS2+b”

解法二：由成等比數(shù)列得

s〃+b?,5?tl+bn,S?+2+b?；'+b=,兩邊同減去1,得

S?+1+b.

2,

0n+l"〃+2cmSn+i+""+2—r-^-n-、i,1~~q、*[、i.zcqa?LI=1，所以2⑸+幻=(—>,

,,=,八，即0』八=>再兩邊同減去1，得c