云南省昆明市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理含解析

PAGE17-昆明市2024-2025學(xué)年高二期末質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)交集的定義，即可求出結(jié)果?！驹斀狻?，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算。2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得計(jì)算結(jié)果.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再依據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出.【詳解】由得，解得，故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)表示。4.已知雙曲線，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求出?！驹斀狻苛睿从须p曲線的漸近線方程為，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線漸近線方程的求法。5.綻開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理綻開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出?！驹斀狻烤`開式的通項(xiàng)公式是令，所以系數(shù)為，故選?！军c(diǎn)睛】本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的綻開式中某一項(xiàng)的系數(shù)。6.古印度“漢諾塔問題”：一塊黃銅平板上裝著三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱上套著個大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動規(guī)則如下：一次只能將一個金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若柱上現(xiàn)有個金盤（如圖），將柱上的金盤全部移到柱上，至少須要移動次數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)細(xì)柱上套著個大小不等的環(huán)形金盤，至少須要移動次數(shù)記為，則，利用該遞推關(guān)系可求至少須要移動次數(shù).【詳解】設(shè)細(xì)柱上套著個大小不等的環(huán)形金盤，至少須要移動次數(shù)記為.要把最下面的第個金盤移到另一個柱子上，則必需把上面的個金盤移到余下的一個柱子上，故至少須要移動次.把第個金盤移到另一個柱子上后，再把個金盤移到該柱子上，故又至少移動次，所以，，故，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求依據(jù)問題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.7.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，A，C，D均是錯誤的，選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識別，留意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、特別點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)等方面刻畫函數(shù)的圖像.8.設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個推斷即可.【詳解】直線所在的方向向量分別記為，則它們分別為的法向量，因，故，從而有，A正確.B、C中可能平行，故B、C錯，D中平行、異面、相交都有可能，故D錯.綜上，選A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假推斷，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對立事務(wù)的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【詳解】，即，所以，，故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵。10.設(shè)，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)的單調(diào)性即可得出的大小關(guān)系?！驹斀狻慷?，所以最小。又，，所以，即有，因此，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。11.在平行四邊形中，，點(diǎn)在邊上，，將沿直線折起成，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線共面 B.C.可以是直角三角形 D.【答案】C【解析】【分析】（1）通過證明是否共面，來推斷直線與直線是否共面；（2）取特別位置，證明是否成立；（3）找尋可以是直角三角形的條件是否能夠滿意；（4）用反證法思想，說明能否成立?！驹斀狻?，如圖，因?yàn)樗狞c(diǎn)不共面，所以面，故直線與直線不共面；沿直線折起成，位置不定，當(dāng)面面，此時；取中點(diǎn)，連接，則，若有，則面即有，在中，明顯不行能，故不符合；在中，,，而，所以當(dāng)時，可以是直角三角形；【點(diǎn)睛】本題通過平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何學(xué)問與立體幾何學(xué)問連接過渡實(shí)力，涉及反證法、演繹法思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理實(shí)力。12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上為單調(diào)函數(shù)，下述四個結(jié)論：①滿意條件的取值有個②為函數(shù)的一個對稱中心③在上單調(diào)遞增④在上有一個極大值點(diǎn)和一個微小值點(diǎn)其中全部正確結(jié)論的編號是（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③【答案】D【解析】【分析】依照題意找出的限制條件，確定，得到函數(shù)的解析式，再依據(jù)函數(shù)圖像逐一推斷以下結(jié)論是否正確?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，又在上為單調(diào)函數(shù)，，即，所以或，即或所以總有，故①②正確；由或圖像知，在上單調(diào)遞增，故③正確；當(dāng)時，只有一個極大值點(diǎn)，不符合題意，故④不正確；綜上，全部正確結(jié)論的編號是①②③。【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，意在考查學(xué)生綜合分析解決問題的實(shí)力。二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.在等差數(shù)列中，，，則公差__________．【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而．【詳解】因?yàn)?，故，所以，填．【點(diǎn)睛】一般地，假如為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.14.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點(diǎn)斜式方程寫出切線方程?！驹斀狻?，，又所以切線方程為，即?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像在某點(diǎn)處的切線方程求法。15.已知是以為直徑的半圓弧上的動點(diǎn)，為圓心，為中點(diǎn)，若，則__________．【答案】【解析】【分析】先用中點(diǎn)公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值?！驹斀狻?，【點(diǎn)睛】本題主要考查向量中的中點(diǎn)公式應(yīng)用以及數(shù)量積的定義。16.已知橢圓，，，斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若直線平分線段，則的離心率等于__________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則須要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，可用點(diǎn)差法求解．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.梔子原產(chǎn)于中國，喜暖和潮濕、陽光足夠的環(huán)境，較耐寒.葉，四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，特別清麗.某地區(qū)引種了一批梔子作為綠化景觀植物，一段時間后，從該批梔子中隨機(jī)抽取棵測量植株高度，并以此測量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖（單位：），其中不大于（單位：）的植株高度莖葉圖如圖所示.(1)求植株高度頻率分布直方圖中的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點(diǎn)值的頻率，估計(jì)這批梔子植株高度的平均值.【答案】（1）；（2）1.60.【解析】【分析】（1）依據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計(jì)算.（2）利用組中值可計(jì)算植株高度的平均值.【詳解】（1）由莖葉圖知，.由頻率分布直方圖知，所以.（2）這批梔子植株高度的平均值的估計(jì)值.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的計(jì)算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，是上的點(diǎn)，平分，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式將題目等式化成關(guān)于的方程，求出即可求出角（2）依據(jù)角平分線定義先求出，再依銳角三角函數(shù)的定義求出，最終依據(jù)三角形面積公式求出?！驹斀狻浚?）解：因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?，解?所以或（舍去）,因此,.（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，在中，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，以及三角形面積的求法。19.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求出當(dāng)時的通項(xiàng)，依據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，所以，?【點(diǎn)睛】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，我們常利用這個關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理，在面中找尋一條直線與平行，即可由線面平行的判定定理證出；(2)建系，分別求出平面，平面的法向量，依據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求出二面角的余弦值?！驹斀狻浚?）證明：如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以與平行與且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，所以，，在中，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理應(yīng)用以及二面角的求法，常見求二面角的方法有定義法，三垂線法，坐標(biāo)法。21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上的射影為，且是邊長為的正三角形.（1）求；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.【答案】（1）2；（2）16.【解析】【分析】（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，利用解直角三角形可得.（2）直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，同理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，最終用基本不等式可求的最小值.【詳解】（1）解：設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭钦切?，且，在中，，所?（2）設(shè)，直線，由知，聯(lián)立方程：，消得.因?yàn)?，所以，所以，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問題，往往須要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以為斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過基本不等式或?qū)?shù)等求得.22.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定