高三-高考理科數(shù)學真題

1.設集合”=卜,-4x+3<0},B={x|2x-3>0},則4n8=

2.設O+i)x=l+W,其中x,尸實數(shù)，貝臚+我|=

A.1

B.72

C.拈

D.2

3.已知等差數(shù)列也}前9項的和為27,%=8,則%0=

A.100

B.99

C.98

D.97

4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到

達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不

超過10分鐘的概率是

D.J

5.已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為

m+n3m-n

4,則刀的取值范圍是

A.(1,3)

B.(-L@

C.(0,3)

D.(o,>/3)

6.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互

垂直的半徑.若該幾何體的體積是等，則它的表面積是

A.17兀

B.1既

C.20萬

D.284

7.函數(shù)卜=”一朋在［-2,2］的圖像大致為

8.若a>6>L0<c<l,則

A.ac<be

B.abc<ba

C.alog,c<61ogac

D.logfl<<loghc

9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x0,y=\,〃=1,則輸出X,P的值滿

足

I開:]

輸入*J,"，/

|n=n+l|LX+了，y^ny

解束

A.y=2x

B.y=3r

C.J=4x

D.y=5x

10.以拋物線。的頂點為圓心的圓交。于/、方兩點,交。的準線于A

￡兩點.已知I四|=4c，|應7及5則。的焦點到準線的距離為

11.平面a過正方體/a7匕4?。〃的頂點A,a〃平面CBD,al平面

ABCS平面ABBA=n,則勿、〃所成角的正弦值為

B.當

C,皂

D.

12.已知函數(shù)/（外=8皿標+以0＞。,閘4|^》=-?為/（x）的零點，x=:為

”/⑴圖像的對稱軸，且〃x）在徑，當單調，則。的最大值為

A.11

B.9

C.7

D.5

填空題（本大題共4小題，每小題一

分，共一分。）

13.設向量3=5,1）,爐（1,2）,且I（3+引三|a|2+|*,則2ZF.

14.3+6）5的展開式中，發(fā)的系數(shù)是—.（用數(shù)字填寫答案）

15.設等比數(shù)列｛4｝滿足a+a=10,a+&=5,則aa…a的最大值為.

16.某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生

產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件

產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產一件產品A

的利潤為2100元生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材

料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、

產品B的利潤之和的最大值為一元.

簡答題（綜合題）（本大題共6小題，每小題

分，共一分。）

A/tffC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,C,已知2cosc(acos8+6cosZ)=c.

17.求C：

18.若c=",A/<5C的面積為竽，求口處的周長.

如圖，在以4氏歹為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，A芹2FD,

4F￡)=90。，且二面角萬石與二面角已冊分都是60。.

19.證明：平面/跳KL平面笈叨C；

20.求二面角E-BC-A的余弦值.

某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易

損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.

在機器使用期間，如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購

買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機

器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零

件數(shù)發(fā)生的概率，記x表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，〃

表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).

21.求x的分布列;

22.若要求P(X4〃)N0.5,確定〃的最小值;

23.以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在M=19與〃=20之中

選其一，應選用哪個？

設圓》2+/+標-15=0的圓心為4直線/過點B(1,0)且與X軸不重

合，/交圓/于C〃兩點,過方作/C的平行線交加于點E.

24.證明的|+|班為定值,并寫出點￡的軌跡方程；

25.設點片的軌跡為曲線C,直線/交G于"N兩點，過月且與/垂直的

直線與圓力交于A0兩點,學.科網求四邊形/仍圖面積的取值范圍.

已知函數(shù)/(x)=(x-2)/+a(x—l)2有兩個零點.

26.求a的取值范圍；

27.設木,X,是/(X)的兩個零點，證明：陽十三<2.

請考生在以下3題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分,

做答時請寫清題號

【選修4T：幾何證明選講】(請回答28、29題)

如圖，△如夕是等腰三角形，//嬌120°.以。為圓心，;如為半徑作圓.

【選修4—4：坐標系與參數(shù)方程】(請回答30、31題)

在直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為(方為參數(shù),a>

0).

在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線G夕二4

cosO.

【選修4—5：不等式選講】(請回答32、33題)

已知函數(shù)〃力=|1+1卜|2*-3].

28.證明：直線48與口。相切；

29.點在。。上，且4瓦C〃四點共圓，證明：AB//CD.

30.說明G是哪一種曲線,并將。的方程化為極坐標方程；

31.直線G的極坐標方程為。=4,其中％滿足tana°=2,若曲線。與C的

公共點都在G上,求a.

32.在答題卡第(24)題圖中畫出y=/(1)的圖像；

33.求不等式|/卜)|〉1的解集.

答案

單選題

1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.D8.C

9.C10.B11.A12.B

填空題

13.

14.

io

15.

64

16.

216000

簡答題

17.

18.

5+y/l

19.

見解析

20.

2則

19

21.

16Q17。18。19。20。21。22。

0.20.08

PP0.04P。。

0.160.240.24~30.04c

22.

19

23.

w=19

24.

—+—=i(y*o)

43

25.

[12,84)

26.

(0,+oo)；

27.

見證明。

28.

見解析

29.

見解析

圓，p-2〃0口。+1-。=0

31.

1

32.

|||||||F|||||||

|口；_|

33.

（9,加。，3）U（5,+a））

解析

單選題

1.

試題分析：因為介付，-4x+3<。｝=卜|1<*<3卜8=.中>|>，所以

A^\B=|xl<x<310,x|x>1-l=1x||-

<x<3，，故選D。

2.

因為x(“O=l+yi,所以x+xi=l+Wi=ly=x=l,|x+W|=|l+i|=Vi,故選B.

3.

試題分析：由已知，產二^了,所以4=_]/=],/0=4+9%=_1+99=98,故

選C.

4.

試題分析：如圖所示，畫出時間軸：

7:307:407:508:008:108:208:30

ACDB

小明到達的時間會隨機落在途中線段加中，而當他的到達時間線段

公或少時，才能辦證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型，

所求概率尸=曙弓，故選B.

5.

22

試題分析：~4--------9=1表示雙曲線，貝1」(*4〃乂3*_")>()

222

-m<n<3m,由雙曲線性質知:c=(H2+n)+(3/n2-n)=4m2,其中c是半

焦距

；?焦距為=2-2網=4,解得網=1,/.-l<n<3,故選A.

6.

試題分析：該幾何體直觀圖如圖所示:

是一個球被切掉左上角的;，設球的半徑為R,則v=3*R3=等，解得

R=2,所以它的表面積是:的球面面積和三個扇形面積之和

O

S1x4)x2?+3x,〃x22=17乃故選A.

84

7.

試題分析：函數(shù)〃幻=匯-/在卜2,2］上是偶函數(shù)，其圖像關于了軸對稱,

因為/⑵=8-e2,0<8-e?<l,所以排除45選項；當xe［0,2］時，/=4x-/有

一零點，設為不，當xe(0,x°)時，/(x)為減函數(shù)，當xe(%,2)時，f(x)為

增函數(shù).故選D.

8.

試題分析：用特殊值法，令"3,6=2,c=g得3；>2；，選項A錯誤，

3x2：>2>:3；，選項B錯誤，310g2；<21嗚2,選項C正確，log3|>log2i,選

項D錯誤，故選C.?

9.

試題分析：當x=o,y=l,〃=l時，x=0+—,J=1X1=1,不滿足，+/236；

2_]]一口j3_]3

zi=2,x=C+-----=—,y=2x1=2,不滿足x2>36；”=3/=F------=—,y=2x3=6,

22222

滿足，“、36；輸出x=|,y=6,則輸出的XJ的值滿足y=4x,故選C.

10.

試題魁析：如圖，設拋物線方程為/=2px,四普交x軸于q尸點，則

AC=2&A2>/2A-OC=-

,即點縱坐標為，則點橫坐標為〃，即J省勾股

221222122

DF+OF=DO=rAC+OC=AO=r（后+（守=（2揚?+（_）

定理知=4,，即2P,

解得〃一，即。的焦點到準線的距離為4,故選B.

11.

試題分析：如圖，設平面C4〃n平面/BCD=M,平面C%An平面?4

二〃因為a〃平面C4A,所以m//M,〃〃才,則風〃所成的角等于田”所

成的角，延長過4作。也/圖。，連接。區(qū)5四，則a為力，同理郎;

為〃而BD//CE，M〃AB,則所成的角即為48,即所成的角，即為

60。，故凡〃所成角的正弦值為半，選A.

2

12.

4/=?為/⑶圖像的對稱軸，所以

----()=—vkl——=------T=---0=42+1("獷)，(x)

4----44，即2「,所以，又因為

n5萬乃乃

在而與-=-a)<12。

單調，所以3618—12功，即,由此的最大值為9.

故選B.

填空題

13.

試題分析:由|“+奸=|?！?|。『,得示口，所以mxl+lx2=0,解得m=-2.

14.

試題分析：(2x+6y的展開式通項為C；(2x)"y(Jxy1=0,12…5)，

令5->3得r=4,所以V的系數(shù)是2c=10.

15.

試題分析：設等比數(shù)列的公比為小由卜得卜0解得

=5[qqQ+g)=5

%=8"1)1j7

?1.所以心…。小片夕―=8"x(3丁=22'2",于是當〃=3或4時，

[^=22

4勺…4取得最大值26=64.

16.

試題分析：設生產產品4、產品3分別為X、n件，利潤之和為z元,那

么

15x+Q5a5Q

x+0.3y<9Q,

-5x+3y<60Q,①

y>0.

目標函數(shù)z=2100x+900y.

二元一次不等式組①等價于

3x+y<300,

10x+3y<900,

.5x+3yW600,②

x>0,

y>0.

作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域(如圖)，即可行域.

iy

京5x+3y=600

o

3x?尸38

2100x+90(h=z

110/3產900

將z=2100x+900y變形,得y=_*+急，平行直線丁=-彳，當直線蚱一白+會

經過點M時，z取得最大值.

解方程組膘卓瑞\得”的坐標(6。,】。。).

所以當工=60,”100時，Zin?=2100x60+900x100=216000.

故生產產品八產品3的利潤之和的最大值為216000元.

簡答題

17.

試題分析：本題屬于正余弦定理的綜合應用問題，屬于簡單題，只要

掌握相關的知識，即可解決本題，解析如下：

2cosc(acos8+bcos4)=c

由正弦定理得：2cosC(sin/l-cos5+sin/J-cos/l)sinC

2cosc?sin(/I?8)=sinC

*/4+B+C二方,A、"、CG(O,n)

sin(J+B)=sinC>0

，2cosc=1,'cosC=2-

*/CG(0,元)

???唱

18.

試題分析：本題屬于正余弦定理的綜合應用問題，屬于簡單題，只要

掌握相關的知識，即可解決本題，解析如下：

由余弦定理得：c?=，+/一2如8sC

7=，+62-2ab--

2

(a+b>-3必二7

人sinc&*

242

二?ab—6

.二(4+6)2-18=7

a^b=5

/SJIBC周長為a+b+c=5+，7

19.

試題分析：本題屬于立體幾何的綜合應用問題，屬于中檔題，只要掌

握相關立體幾何的知識，即可解決本題，解析如下：

由已知可得AFIDF,AF_FE,所以AF1平面EFDC.

又AFu平面ABEF,故平面ABEF_L平面EFDC.

20.

試題分析：本題屬于立體幾何的綜合應用問題，屬于中檔題，只要掌

握相關立體幾何的知識，即可解決本題，解析如下：

過D作DG_LEF,垂足為G,由（I）知DGJ.平面ABEF.

以G為坐標原點，而的方向為x軸正方向，|詞為單位長度,建立如圖所

示的空間直角坐標系G-斗.

由(I)矢口/DFE為二面角D-AF-E的平面角，故NDFE=60,，貝lJ|DF|=2,

10Gl=3,可得A(L4,O),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(O,O,G).

由已知，AB//EF,所以AB//平面EFDC.

又平面ABCDfl平面EFDC=DC,故AB//CD,CD//EF.

由BE〃AF,可得BE_L平面EFDC,所以NCEF為二面角C-BE-F的平面角,

ZCEF=6l)°.從而可得C(-2,0,^).

所以反=卜,0,6),EB=(O,4,O),公=(-3,工#)，AB=(-4,O,O).

設”(x,y,z)是平面BCE的法向量，則

日京=0x+后z=0

亦麗=0’4y=0

所以可取為=（3,0,力）.

旦m-AC=0

設m平面ABCD的法向量，財

m-AB=0

003

同理可取而=（。，3,4）.則〈沆玩〉=向病=一4^?

故二面角E-BC-A的余弦值為—呼.

21.

試題分析：本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結合在一起進行考

查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關鍵是讀懂題意，屬于簡單

題，只要掌握相關的知識，即可解決本題，解析如下：

每臺機器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11

記事件4為第一臺機器3年內換掉i+7個零件（i=I23,4）

記事件”為第二臺機器3年內換掉i+7個零件（i=123,4）

由題知P（4）=P（4）=P（4）=P（4）=P（%）=P（4）=0.2,尸（%）=p（%）=04

設2臺機器共需更換的易損零件數(shù)的隨機變量為％,則x的可能的取

值為16,17,18,19,20,21,22

P[X=16）=尸（4）P（4）=02x0.2=0.04

P（X=17）=尸（4）尸（5j+P（4）尸（4）=02x04+04x02=016

P（X=18）=P（4）尸（瑞）+P（4）P（鳥）+P（4）P（4）=02X0.2+0.2x0.2+0.4x0.4=0.24

P（X=19）=P（4）尸（乙）+尸（4）尸（叫）+尸（4）P（fiJ+P（4）尸（4）=02x0.2+0.2x0.2+04x02

10.2x0.4=0.24

P（X=20）=P（4）P（氏）+尸（4）P（用）+尸（4）尸（叫）=04x0-2+0一2x04+0.2x0.2=02

P（x=21）=尸（4）尸（也）+尸（4）尸（屬）=0.2x0.2+02x0.2=008

尸（X=22）=P（4）尸（紇）=0.2x0.2=0.04

所以X的分布列為

16「17~18。1%20~2222。

0.20.08

尸20.040.16p0.240.24—0.04，

。。3

22.

試題分析：本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結合在一起進行考

查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關鍵是讀懂題意，屬于簡單

題，只要掌握相關的知識，即可解決本題，解析如下：

由(I)知P(X<18)=0.44,P(XK19)=0.68,故〃的最小值為19.

23.

試題分析：本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結合在一起進行考

查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關鍵是讀懂題意，屬于簡單

題，只要掌握相關的知識，即可解決本題，解析如下：

記y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).

當〃=19時，Er=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+09x200+2x500)x0.08

+(19x200+3x500)x0.04=4040.

當〃=20時,

EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

可知當“19時所需費用的期望值小于〃=20時所需費用的期望值,故應

選〃=19.

24.

試題分析：本題屬于圓錐曲線的綜合應用問題，屬于拔高題，不容易

得分，解析如下：

因為|叫冒4。|,EB〃AC,故ZEBD=ZACD=AADC,

所以|知HE0,故|以|+|網耳"HEDH3I.

又圓/的標準方程為(xMy+/=16,從而［4。|=4,所以|M+|即=4.

由題設得次TO),B(1,O),|4B|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：

—+—=i(y*o).

43

25.

試題分析：本題屬于圓錐曲線的綜合應用問題，屬于拔高題，不容易

得分，解析如下：

當/與X軸不垂直時，設」的方程為歹=%0-1)(h0),乂)，NG，yJ.

y=k(x-l)

由｛x?/得(4/+3)--8A巳+4〃-12=0.

---+---=1

143

同X+X-工工一*12

川玉2-破+3,咕―4必+3,

所以|A/N|="|x1Tzi=第￥.

4K+3

過點次助且與/垂直的直線叫y=Y(x-l),4到m的距離為《;所以

k41

母子.故四邊形MW0的面積

S=；|砌|尸0|=12b+島.

乙丫*TA.I"J

可得當/與X軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為口2,8。).

當/與x軸垂直時,其方程為“1,|9|=3,|尸0|=8,四邊形的面積為

12.

綜上，四邊形MW。面積的取值范圍為口2,8力).

26.

試題分析：本題屬于導數(shù)的綜合應用問題，屬于拔高題，不容易得分,

解析如下：

(I)yW=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-lXex+2a).

(i)設30,則〃x)=(x-2育，/Q)只有一個零點.

(ii)設4>0,貝|J當xe(Y),l)時，八x)<0；當xe(l,中?)時，「(x)>0.所以

/(x)在(田,1)上單調遞減,在(1,內)上單調遞增.

又/(1)=Y,/(2)=%取6滿足b<0且b<ln],則

/(6)>^(i-2)+a(6-l)2=a(62-^6)>0,

故/(x)存在兩個零點.

(iii)設。<0,由/3=。得x=l或x=hi(-2a).

若°2-|,則ln(-2a)Wl,故當xe。-吐/⑺>0,因此在(L+?)上單調遞

增.又當xKl時，〃x)<0,所以/(x)不存在兩個零點.

若。<一],則ln(-2a)>l,故當xe(l,ln(-2a))時，/?)<0；當xe(ln(-2a),+a))時，

l(x)>0.因此/(X)在(l,h(-2a))單調遞減，在(ln(-2a),E)單調遞增.又當

時，/(x)<0,所以f(x)不存在兩個零點.綜上，。的取值范圍為電長)).

27.

試題分析：本題屬于導數(shù)的綜合應用問題，屬于拔高題，不容易得分,

解析如下：

由已知得：/&）=/（9）=0,不難發(fā)現(xiàn)%W1,。翅,

（玉_2”=6_2）*

故可整理得:-a=

（$-1）2（弓T）'

設g（力冒〉則汆）一⑸

那么,（加鉀*當I時,g什。，g⑴單調遞減;當Z時,

g1x）＞0,g（x）單調遞增.

設山＞0,構造代數(shù)式:

尸學儀斗訓

設“伽）=宗:"+1，m>Q

tnIi

2加2

則"故皿）單調遞增，有七）＞㈣=。.

因此，對于任意的m＞。，g（l+m）＞g（l-m）.

由g&）-以j）可知菁、%不可能在g（x）的同一個單調區(qū)間上，不妨設不＜三,

則必有占＜1y

令m=lf＞0,貝lj有g[l+（l-、）]＞g[l-（"凝）]08（2-%）＞8（%）=8缶）

而2-玉＞1,g（x）在。,m）上單調遞增，因此：8（2-2）＞8（4）。2-%＞馬

整理得：蒼+0＜2.

28.

試題分析：本題屬于圓的綜合應用問題，屬于簡單題，只要掌握相關

圓的知識，即可解決本題，解析如下：

設E是/出的中點，連結期,

因為04=08,4(08=120。，所以。笈,加，ZAOE=GO°.

在用A/1曲中，?！?；*，即。到直