高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題含答案

用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題（教師版）一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1．正數(shù)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，試求：（1）數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0解：（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，作差得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為正數(shù)數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0真題演練1：(06全國(guó)1卷理科22題)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）求首項(xiàng)SKIPIF1<0與通項(xiàng)SKIPIF1<0；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…將①和②相減得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,SKIPIF1<0=eq\f(3,2)SKIPIF1<0eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－SKIPIF1<0)<eq\f(3,2)二．先放縮再求和1．放縮后成等比數(shù)列，再求和例2．等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列．設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴公比SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模擬公式SKIPIF1<0猜想）∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0 （I）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：SKIPIF1<0. （I）解：SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 SKIPIF1<0即SKIPIF1<0 （II）證法一：SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0① SKIPIF1<0② ②－①，得SKIPIF1<0 即SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ③－④，得SKIPIF1<0 即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列 （III）證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<02．放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同號(hào)，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0．3．放縮后成等差數(shù)列，再求和例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0解：（1）在條件中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由條件SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，上述兩式相減，注意到SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0練習(xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，已知不論SKIPIF1<0為何實(shí)數(shù)，恒有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.對(duì)于正數(shù)列SKIPIF1<0，其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，試比較SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小并證明之.解：(Ⅰ)SKIPIF1<0（利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）SKIPIF1<0；（Ⅲ）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<02.（04全國(guó)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）寫出數(shù)列SKIPIF1<0的前三項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：SKIPIF1<0（n>1）化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故數(shù)列{SKIPIF1<0}是以SKIPIF1<0為首項(xiàng),公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列.故SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0.⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=SKIPIF1<0，如果我們把上式中的分母中的SKIPIF1<0去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來(lái)一起進(jìn)行放縮，嘗試知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，可將SKIPIF1<0保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為偶數(shù)，SKIPIF1<0所以對(duì)任意整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。3.（07武漢市模擬）定義數(shù)列如下：SKIPIF1<0求證：（1）對(duì)于SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0成立；（2）當(dāng)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立；（3）SKIPIF1<0分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0以上各式兩邊分別相乘得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）要證不等式SKIPIF1<0，可先設(shè)法求和：SKIPIF1<0，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題（學(xué)生版）一．先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）例1．正數(shù)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，試求：（1）數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0真題演練1：(06全國(guó)1卷理科22題)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）求首項(xiàng)SKIPIF1<0與通項(xiàng)SKIPIF1<0；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.二．先放縮再求和1．放縮后成等比數(shù)列，再求和例2．等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列．設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0 （I）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：SKIPIF1<0. 2．放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<03．放縮后成等差數(shù)列，再求和例4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPI