2024年內(nèi)蒙古包頭中考數(shù)學試卷試題解讀及答案解析

年中考數(shù)學真題完全解讀（內(nèi)蒙古包頭卷）試卷內(nèi)容與結(jié)構(gòu)：本次試卷從題目數(shù)量與題型上看，相比去年本著在不變中的變化，依然是10（選擇）+6（填空）+7（解答）的試卷結(jié)構(gòu)，從試卷內(nèi)容上看，本次試題在保持相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，適當調(diào)整了命題方向，降低了命題的難度。試題體現(xiàn)了數(shù)學課程的基本理念，全面評價學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面的表現(xiàn)，對初中數(shù)學學習中的核心知識進行了重點全面的考查。試題難度與區(qū)分度：試卷難易程度比去年有所降低，選擇題和填空題相對簡單，解答題相較去年略有變化，考察的知識面更廣，集中度也提別集中于幾何的相似部分，試卷也更加具有區(qū)分度，用后面最后三道解答題拉開差距，更加有利于選撥性考試。試卷命題質(zhì)量：1、本次試題注重基礎(chǔ)，同時也考查學生的思維能力。其中有知識考點的變化，這也提醒了老師們在教學過程中，要注重數(shù)學試題的多元性，不能單就重點知識花費大量時間機械化地刷題訓練。2、從命題要求看注重基礎(chǔ)扎實和計算，在中等難度以上的題目需要考查知識的交匯，大大提高了試卷的區(qū)分度。3、更加注重數(shù)學在生活應(yīng)用部分，注重運用數(shù)學解決生活中的實際問題：在5，18，19和20題適當生活情景，將數(shù)學知識運用到社會生產(chǎn)與生活中，體現(xiàn)了數(shù)學在實際生活的應(yīng)用。4、難易程度合理：注重考察學生思維，強調(diào)重視基礎(chǔ)的命題理念，在選擇題和填空題考察了大部分都是基礎(chǔ)類型，解答題后面三道重點考察幾何和函數(shù)的交匯，使得題目更加有區(qū)分度，不同能力的學生拿到不同的分數(shù)。解答題20題，降低了難度，體驗一次函數(shù)求關(guān)系式，對書寫規(guī)范過程提出了說明理由的要求。解答題21題延續(xù)了去年的多種解題思路，培養(yǎng)學生發(fā)散思維，難度繼續(xù)降低。解答題22-23題，不再按之前的考點出題，提高交匯知識的考查，不再單一固定考查某個知識點，而是重視學生思維的靈活程度，大大提高了試卷的命題質(zhì)量。備考建議：1、在后續(xù)備考過程中，一定要回歸課本，回歸基礎(chǔ)，多注重對概念，性質(zhì)，關(guān)系，規(guī)律變換與關(guān)聯(lián)的理解。2、多注意結(jié)合生活實際，將數(shù)學知識與生活實踐相結(jié)合。3、不要盲目刷題，尤其是“點對點”的專一刷題，要更加注重知識點的深度與寬度，適當?shù)木毩暩嗟念}目類型，多思考題目之間的相同點與不同點。4、內(nèi)蒙古包頭數(shù)學非常注重基礎(chǔ)和計算，計算能力是數(shù)學的基石，所以一定要有一個非常好的計算功底，是解決難題的基礎(chǔ)。5、根據(jù)今年的命題特點，后面?zhèn)淇歼^程中注重知識交匯的訓練，特別是幾何綜合與函數(shù)交匯的壓軸類型有一定的變化，降低了難度，增加哦了靈活性。1、選擇題、填空題、解答題的數(shù)量本年相較于去年沒有發(fā)生變化；2、在選填的壓軸類型均為知識的交匯，但是難度比去年降低了很多，填空并增加了開放題的類型，難度不大，打好基礎(chǔ)就可以。填空題15題反比例函數(shù)類型主要考察幾何意義的考題，降低了難度，考察了反比例函數(shù)的增減性，也是比較大的變化。3、解答題19題是一次新變化，解直角三角形類型更貼近于生活，增強了學生從理論向?qū)嵺`設(shè)計操作的能力訓練。4、解答題型22題，幾何綜合題型不斷創(chuàng)新，降低難度增加靈活度。解答題二次函數(shù)與幾何綜合逐步從形到量的轉(zhuǎn)折。綜合題型對相似的綜合運用考頻在提高，體現(xiàn)了得相似者得高分，在備考過程中需要特別重視。5、一元二次方程根與系數(shù)的考題，而是變?yōu)閹缀尉C合和函數(shù)交匯壓軸題，考點有所改變，在備考過程中需要特別重視。題號分值題型考查內(nèi)容考查點13選擇題二次根式運用二次根式的性質(zhì)化簡；23選擇題倒數(shù)的定義倒數(shù)的定義，代入及解一元一次方程；33選擇題三視圖三視圖；43選擇題平行的性質(zhì)根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)；53選擇題生活中的概率問題根據(jù)概率公式計算概率；63選擇題二次函數(shù)的平移二次函數(shù)的平移以及頂點式73選擇題實數(shù)與數(shù)軸，解不等式組實數(shù)與數(shù)軸，求不等式組的解83選擇題弧長公式，等邊三角形，線段垂直平分線弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)93選擇題坐標與圖形坐標的解讀，平面直角坐標系中圖形面積的求法；103選擇題矩形，相似，三角函數(shù)本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值；113填空題多邊形多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)；123填空題不等式組在數(shù)軸上表示不等式的解集；求不等式組的解集；133填空題一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)；143填空題等腰三角形，切線，圓內(nèi)接四邊形切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；153填空題反比例函數(shù)，負整數(shù)指數(shù)冪反比例函數(shù)的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪163填空題菱形，等邊三角形，勾股定理菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理178解答題整式的運算，二次根式的運算，解分式方程整式的運算，二次根式的運算，解分式方程188解答題統(tǒng)計頻率分布表，中位數(shù)，平均數(shù)的意義198解答題解直角三角形應(yīng)用利用測角儀設(shè)計方案，并利用三角函數(shù)解直角三角形2011解答題一次函數(shù)實際應(yīng)用一次函數(shù)求關(guān)系式，解不等式；2112解答題圓的綜合垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)；2212解答題幾何綜合平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線，構(gòu)造全等三角形；2313解答題函數(shù)與幾何交匯二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似；1、減少死記硬背和‘機械刷題’現(xiàn)象”，擴大試題的開放性與靈活度，進一步降低死記硬背和“機械刷題”的得分收益。改變部分題目的順序與題型，減少答題的“偶然性”、“技巧性”的得分收益，使得題目更具有區(qū)分性。2、回歸數(shù)學探究本身，深入理解中考數(shù)學每個考點，切實練好數(shù)學基本功。要注重落實基礎(chǔ)，練好基本功，考生一定要回歸教材，回歸課堂。3、注重數(shù)學應(yīng)用于生活實踐，19題解直角三角形題型的設(shè)計變化，指導了數(shù)學生活化、實踐化的理念，在課堂教學中把教學活動真正的實踐化，讓學生走出教室，解決實際問題，掌握原理，培養(yǎng)學生運用數(shù)學解決問題，并能準確表達的能力。包括20題一次函數(shù)的應(yīng)用的變化，重點強調(diào)了表達理由，擴大了差異性，必須強調(diào)原理的重要性。4、重點、難點題型交匯于相似題三角形，10題，21、22題、23題，都運用了相似三角形。在相似三角形這一內(nèi)容的要做反復模型化練習，并進行綜合應(yīng)用強化，在復習平行四邊形、圓、一次函數(shù)、二次函數(shù)與相似三角形要做綜合詳細復習。5、考試題目的綜合性，靈活性逐年加強，強調(diào)知識的融會貫通，學以致用?？忌趯W習的過程中，一方面要注意梳理知識點，注意各知識點之間的關(guān)聯(lián)性，另一方面通過一定的練習，加深對知識的理解，能夠理解萬變不離其宗的“宗”。2024年內(nèi)蒙古包頭數(shù)學試題1.計算所得結(jié)果是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查化簡二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可．【詳解】解：；故選C．【點睛】本題主要考查有理數(shù)計算和認識算術(shù)平方根，掌握“平方數(shù)計算并做差，開算數(shù)平方根，或者運用平方差公式簡便運算開算數(shù)平方根，“區(qū)分平方根和算術(shù)平方根”是解題的關(guān)鍵.2.若互為倒數(shù)，且滿足，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)互為倒數(shù)，則，把代入，即可得出m的值，進一步即可得出n的值．【詳解】解：∵互為倒數(shù)，∴，∵，∴，則，故選：B．【點睛】本題主要考查有理數(shù)互為倒數(shù)的性質(zhì)，以及代入思想，解一元一次方程。掌握“互為倒數(shù)積為1，并代入解方程，掌握“互為倒數(shù)積為1”是解題的關(guān)鍵.3.如圖，正方形邊長為2，以所在直線為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三視圖，根據(jù)題意，得到主視圖為長為4，高為2的長方形，進行求解即可．【詳解】解：由圖可知：圓柱體的主視圖為長為4，高為2的長方形，∴面積為；故選A．【點睛】本題主要考查讀題，審清楚題意。理解圓柱體的主視圖是長方形，長為直徑，寬為CD的長。掌握“圓柱體的主視圖是長方形，并分析出長方形的長和寬的長度”是解題的關(guān)鍵.4.如圖，直線，點在直線上，射線交直線于點，則圖中與互補的角有（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，補角的定義等知識，利用平行線的性質(zhì)得出，得出結(jié)合對頂角的性質(zhì)，根據(jù)鄰補角的定義得出，即可求出中與互補的角，即可求解．詳解】解∶∵，∴，∵，∴，又，∴圖中與互補的角有，，，共3個．故選∶C．【點睛】本題主要考查平行線被一條直線所截，認識鄰補角、對頂角及其性質(zhì)，并能利用平行線性質(zhì)出同位角相等或者內(nèi)錯角相等，找到互補角的個數(shù)。分析出“鄰補角，對頂角，平行線性質(zhì)”是解題的關(guān)鍵.5.為發(fā)展學生的閱讀素養(yǎng)，某校開設(shè)了《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個整本書閱讀項目，甲、乙兩名同學都通過抽簽的方式從這四個閱讀項目中隨機抽取一個．則他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查概率的計算，掌握畫樹狀圖法或列表法是關(guān)鍵，事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的次數(shù)所有可能出現(xiàn)的次數(shù)，解題的易錯點是分清題目中抽簽是否放回．先畫樹狀圖求出兩位同學恰好都抽到同一個閱讀項目的情況，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個整本書閱讀項目分別為，畫樹狀圖如下：一共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到同一個閱讀項目的結(jié)果有4種可能，∴他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率是，故選：D．【點睛】本題主要考查率的計算，掌握畫樹狀圖法或列表法是關(guān)鍵，再根據(jù)概率公式求解即可．6.將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，則拋物線變?yōu)?，∴化成頂點式則為，故選：A．【點睛】本題主要考查率的計算，掌握畫樹狀圖法或列表法是關(guān)鍵，再根據(jù)概率公式求解即可．7.若，，這三個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點從左到右依次排列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，求不等式組的解集，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，列出不等式組，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選B．【點睛】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸，列不等式組，并能解不等式組即可．8.如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了弧長公式，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)或者等腰三角形的判定得出，從而確定是關(guān)鍵，并能運用弧長公式計算弧長。9.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別是，，，，則四邊形的面積為（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形，過A作于M，過B作于N，根據(jù)A、B、C的坐標可求出，，，，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解∶過A作于M，過B作于N，∵，，，，∴，，，，∴，，∴四邊形的面積為，故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形，化不規(guī)則在四邊形為規(guī)則圖形和差，掌握化為兩個直角三角形和一個梯形面積之和是關(guān)鍵，并能求三角形面積，梯形面積，并進行準確計算。10.如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點作，證明，得到，再證明，分別求出的長，進而求出的長，勾股定理求出的長，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過點作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；【點睛】故選A．本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值。構(gòu)造平行線相似模型，是解題的關(guān)鍵，得到，再證明，分別求出的長，進而求出的長，勾股定理求出的長，再利用正弦的定義，求解即可．二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分．請將答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線上．11.計算：______．【答案】3【解析】【分析】本題考查實數(shù)的混合混算，先進行開方和乘方運算，再進行加法運算即可．【詳解】解：原式；故答案為：3．12.已知一個n邊形的內(nèi)角和是，則________．【答案】7【解析】【分析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，多邊形的內(nèi)角和可以表示成，依此列方程可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．故答案為：713.在平面直角坐標系中，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，請寫出一個符合該條件的一次函數(shù)的表達式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意判斷出k、b的符號是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限判斷出函數(shù)k及b的符號，再寫出符合條件的一次函數(shù)解析式即可．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，∴，∴符合該條件的一個一次函數(shù)的表達式是：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．14.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點在四邊形內(nèi)部，過點作的切線交的延長線于點，連接．若，，則的度數(shù)為______．【答案】或者105度【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，連接，利用等邊對等角得出，，利用切線的性質(zhì)可求出，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶連接，∵，，∴，，∵是切線，∴，即，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，揭示了同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，并感受圓心角度數(shù)與弧度的關(guān)系。15.若反比例函數(shù)，，當時，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則______．【答案】或者【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪，正確得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分別得出與，再代入進而得出答案．【詳解】解：函數(shù)，當時，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，時，，，當時，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的增減性，運用增減性得出最值，進行負整數(shù)指數(shù)冪運算。16.如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，過D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出，進而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解∶過D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，構(gòu)造過D作于H，判斷等邊三角形，得出60度，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出AE長，進而求出，，然后利用勾股定理求解即可．三、解答題：本大題共有7小題，共72分．請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在答題卡的對應(yīng)位置．17.（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解方程：．【答案】（1），7；（2）【解析】【分析】本題考查了整式的運算，二次根式的運算，解分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）先利用完全平方公式、去括號法則化簡，然后把x的值代入計算即可；（2）先去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可．【詳解】解：（1），當時，原式；（2）去分母，得，解得，把代入，∴是原方程的解．18.《國家學生體質(zhì)健康標準（2014年修訂）》將九年級男生的立定跳遠測試成績分為四個等級：優(yōu)秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示測試成績（單位：）．某校為了解本校九年級全體男生立定跳遠測試的達標情況，精準找出差距，進行科學合理的工作規(guī)劃，整理了本校及所在區(qū)縣九年級全體男生近期一次測試成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，信息如下：a．本校測試成績頻數(shù)（人數(shù)）分布表：等級優(yōu)秀良好及格不及格頻數(shù)（人數(shù)）40706030b．本校測試成績統(tǒng)計表：平均數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率及格率222.5228c．本校所在區(qū)縣測試成績統(tǒng)計表：平均數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率及格率218.7223請根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）求出的值；（2）本校甲、乙兩名同學本次測試成績在本校排名（從高到低）分別是第100名、第101名，甲同學的測試成績是，請你計算出乙同學的測試成績是多少？（3）請你結(jié)合該校所在區(qū)縣測試成績，從平均數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率和及格率四個方面中任選兩個，對該校九年級全體男生立定跳遠測試的達標情況做出評價，并為該校提出一條合理化建議．【答案】（1）（2）乙同學的測試成績是（3）見解析【解析】【分析】本題考查的是頻率分布表，中位數(shù)，平均數(shù)的意義．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計表中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)本校測試成績頻數(shù)（人數(shù)）分布表求出本次測試的總?cè)藬?shù)，利用優(yōu)秀率成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)第100名、第101名成績的平均值為該校本次測試成績的中位數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)優(yōu)秀率和平均數(shù)的意義說明即可．【小問1詳解】解：本次測試的總?cè)藬?shù)為：（人），成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為：40人，則優(yōu)秀率為：；【小問2詳解】解：第100名、第101名成績的平均值為該校本次測試成績的中位數(shù)，中位數(shù)為228，則，答：乙同學的測試成績是；【小問3詳解】解：本校測試成績的平均數(shù)為222.5，本校所在區(qū)縣測試成績平均數(shù)為218.7，本校測試成績的優(yōu)秀率為，本校所在區(qū)縣測試成績優(yōu)秀率為，，從平均數(shù)角度看，該校九年級全體男生立定跳遠的平均成績高于區(qū)縣水平，整體水平較好；從優(yōu)秀率角度看，該校九年級全體男生立定跳遠成績中等水平偏上的學生比例低于區(qū)縣水平，該校測試成績的優(yōu)秀率低于區(qū)縣水平；建議：該校在保持學校整體水平的同時，多關(guān)注接近優(yōu)秀的學生，提高優(yōu)秀成績的人數(shù)．19.如圖，學校數(shù)學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動．教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大?。?）請你設(shè)計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應(yīng)測數(shù)據(jù)標記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設(shè)計進行說明；（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算教學樓的高度（用字母表示）．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為即可；（2）過C作于E，分別在和中，利用正切的定義求出、，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為；【小問2詳解】解：如圖，過C作于E，則四邊形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教學樓的高度為．20.圖是1個碗和4個整齊疊放成一摞的碗的示意圖，碗的規(guī)格都是相同的．小亮嘗試結(jié)合學習函數(shù)的經(jīng)驗，探究整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度（單位：）隨著碗的數(shù)量（單位：個）的變化規(guī)律．下表是小亮經(jīng)過測量得到的與之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)：個123468.410.813.2（1）依據(jù)小亮測量的數(shù)據(jù)，寫出與之間的函數(shù)表達式，并說明理由；（2）若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過，求此時碗的數(shù)量最多為多少個？【答案】（1）（2）10個【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表達式即可解答；（2）根據(jù)（1）中y和x的關(guān)系式列出不等式求解即可．【小問1詳解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，∴，檢驗∶當時，；當時，；當時，；當時，；∴；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，∴碗的數(shù)量最多為10個．21.如圖，是的直徑，是的兩條弦，點與點在的兩側(cè)，是上一點（），連接，且．（1）如圖1，若，，求的半徑；（2）如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）【答案】（1）3（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：過O作于F，利用垂徑定理等可得出，然后利用定理證明，得出，然后利用平行線的判定即可得證；法二：連接，證明，得出，然后利用平行線判定即可得證【小問1詳解】解∶∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，解得，即的半徑為3；【小問2詳解】證明：法一：過O作于F，∴，∵∴，又，，∴，∴，∴；法二：連接，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，為銳角，點在邊上，連接，且．

（1）如圖1，若是邊的中點，連接，對角線分別與相交于點．①求證：是的中點；②求；（2）如圖2，的延長線與的延長線相交于點，連接的延長線與相交于點．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）①見解析；②（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)，得出為的中點，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到線段的數(shù)量關(guān)系求解；（2）連接交于點，證明，進一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，